高中數學人教A版第三章函數的應用 學業(yè)質量標準檢測

第三章學業(yè)質量標準檢測本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知函數f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是eq\x(導學號69175095)(C)A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]由題意知f(1)＝eq\f(6,1)－log21＝6>0，f(2)＝eq\f(6,2)－log22＝3－1＝2>0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0.故f(2)·f(4)<0.由零點存在性定理可知，包含f(x)零點的區(qū)間為(2,4)．2．若函數f(x)在[a，b]上連續(xù)，且同時滿足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f(eq\f(a＋b,2))＞0.則eq\x(導學號69175096)(B)A．f(x)在[a，eq\f(a＋b,2)]上有零點 B．f(x)在[eq\f(a＋b,2)，b]上有零點C．f(x)在[a，eq\f(a＋b,2)]上無零點 D．f(x)在[eq\f(a＋b,2)，b]上無零點[解析]由已知，易得f(b)·f(eq\f(a＋b,2))＜0，因此f(x)在[eq\f(a＋b,2)，b]上一定有零點，但在其他區(qū)間上可能有零點，也可能沒有零點．3．(2023～2023黑龍江大慶實驗中學高一期末)，根據表格內的數據，可以斷定方程ex－x－3＝0的一個根所在區(qū)間是eq\x(導學號69175097)(C)x－10123ex1x＋323456A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)[解析]令f(x)＝ex，g(x)＝x＋3，f(－1)－g(－1)<0，f(0)－g(0)<0，f(1)－g(1)<0，f(2)－g(2)>0，∴H(x)＝f(x)－g(x)的根位于(1,2)內，選C．4．下列圖象所表示的函數中，能用二分法求零點的是eq\x(導學號69175098)(C)[解析]∵二分法研究的是函數的變號零點，C中零點左右兩側的函數值的符號相反，∴選C．5．對于函數f(x)在定義域內用二分法的求解過程如下：f(2023)<0，f(2023)<0，f(2023)>0，則下列敘述正確的是eq\x(導學號69175099)(D)A．函數f(x)在(2023,2023)內不存在零點B．函數f(x)在(2023,2023)內不存在零點C．函數f(x)在(2023,2023)內存在零點，并且僅有一個D．函數f(x)在(2023,2023)內可能存在零點[解析]在區(qū)間(2023,2023)內零點的個數不確定，故B，C錯誤，在區(qū)間(2023,2023)內可能有零點，故選D．6．已知x0是函數f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則eq\x(導學號69175100)(B)A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0[解析]由于函數g(x)＝eq\f(1,1－x)＝－eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上單調遞增，函數h(x)＝2x在(1，＋∞)上單調遞增，故函數f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以函數f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零點x0，且f(x1)＜0，f(x2)＞0，故選B．7．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6由此可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根所在的區(qū)間是eq\x(導學號69175101)(A)A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)[解析]∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，∴f(－3)·f(－1)＜0.∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區(qū)間分別是(－3，－1)和(2,4)．8．某研究小組在一項實驗中獲得一組關系y、t之間的數據，將其整理得到如圖所示的散點圖，下列函數中，最能近似刻畫y與t之間關系eq\x(導學號69175102)(D)A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝log2[解析]由點(2,1)，(4,2)，(8,4)，故選D．9．某廠2023年年產量為a,2023年年產量增長10%,2023比2023年減產10%，設2023年年產量為b，則eq\x(導學號69175103)(A)A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．無法判斷[解析]∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－eq\f(1,100))＝a×eq\f(99,100)，∴b＜a，故選A．10．若方程lnx＋x－4＝0在區(qū)間(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，則a的值為eq\x(導學號69175104)(B)A．1 B．2 C．3 D．[解析]設f(x)＝lnx＋x－4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0，∴根在區(qū)間(2,3)內，∴a＝2.故選B．11．若函數f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,]內的一個零點附近函數值用二分法逐次計算列表如下x1f(x)－1－－那么方程x3－x－1＝0的一個近似根(精確度為0,1)為eq\x(導學號69175105)(B)A． B．1.3125 C．[解析]由于f＞0，f＜0，且－＜，故選B．12．已知三個函數f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a，b，c，則eq\x(導學號69175106)(B)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b[解析]因為f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)的零點a∈(－1,0)；因為g(2)＝0，所以g(x)的零點b＝2；因為h(eq\f(1,2))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，所以h(x)的零點c∈(eq\f(1,2)，1)．因此a＜c＜b.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．若函數y＝mx2＋x－2沒有零點，則實數m的取值范圍是__m<－eq\f(1,8)__.eq\x(導學號69175107)[解析]當m＝0時，函數有零點，所以應有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝1＋8m<0，))解得m<－eq\f(1,8).14．已知二次函數f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，則在(m，m＋1)上函數零點的個數是\x(導學號69175108)[解析]設函數f(x)的兩個零點為x1，x2，則x1＋x2＝－1，x1·x2＝a.∵|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1－4a)<1，又f(m)<0，∴f(m＋1)>0.∴f(x)在(m，m＋1)上零點的個數是1.15．若關于x的方程eqlog\s\do8(\f(1,2))x＝eq\f(m,1－m)在區(qū)間(0,1)上有解，則實數m的取值范圍是__0<m<\x(導學號69175109)[解析]要使方程有解，只需eq\f(m,1－m)在函數y＝logeq\f(1,2)x(0<x<1)的值域內．∵x∈(0,1)，∴eqlog\s\do8(\f(1,2))x>0.∴eq\f(m,1－m)>0，∴0<m<1.16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的圖象如圖所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋，則下列關于f(x)＝0的解敘述正確的是__①⑤\x(導學號69175110)①有三個實根；②x＞1時恰有一實根；③當0＜x＜1時恰有一實根；④當－1＜x＜0時恰有一實根；⑤當x＜－1時恰有一實根(有且僅有一實根)．[解析]f(x)的圖象是將函數y＝x(x－1)(x＋1)的圖象向上平移個單位得到．故f(x)的圖象與x軸有三個交點，它們分別在區(qū)間(－∞，－1)，(0，eq\f(1,2))和(eq\f(1,2)，1)內，故只有①⑤正確．三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x∈[1，＋∞，,x2－2x，x∈－∞，1，))求函數g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零點.eq\x(導學號69175111)[解析]求函數g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零點，即求方程f(x)－eq\f(1,4)＝0的根．當x≥1時，由2x－2－eq\f(1,4)＝0得x＝eq\f(9,8)；當x<1時，由x2－2x－eq\f(1,4)＝0得x＝eq\f(2＋\r(5),2)(舍去)或x＝eq\f(2－\r(5),2).∴函數g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零點是eq\f(9,8)或eq\f(2－\r(5),2).18．(本小題滿分12分)設函數f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的兩個零點分別是－3和2；eq\x(導學號69175112)(1)求f(x)；(2)當函數f(x)的定義域是[0,1]時，求函數f(x)的值域．[解析](1)因為f(x)的兩個零點分別是－3,2，所以－3與2是一元二次方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8－b,a)＝－1，,\f(－a－ab,a)＝－6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))故f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18，其圖象的對稱軸為x＝－eq\f(1,2)，開口向下，所以f(x)在[0,1]上為減函數，則f(x)的最大值為f(0)＝18，最小值為f(1)＝12.所以值域為[12,18]．19．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥\f(3,2)，,lg3－x，x<\f(3,2).))若方程f(x)＝k無實數解，求k的取值范圍.eq\x(導學號69175113)[解析]當x≥eq\f(3,2)時，函數f(x)＝lgx是增函數，∴f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞]；當x<eq\f(3,2)時，函數f(x)＝lg(3－x)是減函數，∴f(x)∈(lgeq\f(3,2)，＋∞)．故f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞)．要使方程無實數解，則k<lgeq\f(3,2).故k的取值范圍是(－∞，lgeq\f(3,2))．20．(本小題滿分12分)某公司2023年的年產值為1000萬元，若計劃10年后的2023年增加到5000萬元，如果每年產值增長率相同，則每年的平均增長率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝，ln10＝eq\x(導學號69175114)[解析]設每年年增長率為x，則1000(1＋x)10＝5000，即(1＋x)10＝5，兩邊取常用對數，得10·lg(1＋x)＝lg5，∴l(xiāng)g(1＋x)＝eq\f(lg5,10)＝eq\f(1,10)(lg10－lg2)＝eq\f(7,100).又∵lg(1＋x)＝eq\f(ln1＋x,ln10)，∴l(xiāng)n(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴l(xiāng)n(1＋x)＝eq\f(7,100)×ln10＝eq\f(7,100)×＝＝%.又由已知條件：ln(1＋x)≈x得x≈%.故每年的平均增長率約為%.21．(本小題滿分12分)關于x的方程x2－2x＋a＝0，求a為何值時：eq\x(導學號69175115)(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一個根在(－1,1)內，另一個根在(2,3)內；(3)方程的兩個根都大于零？[解析]設f(x)＝x2－2x＋a，(1)結合圖象知，當方程一根大于1，一根小于1時，f(1)＜0，得1－2＋a＜0，所以a＜1.(2)由方程一個根在區(qū)間(－1,1)內，另一個根在區(qū)間(2,3)內，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＞0，,f1＜0，,f2＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋a＞0，,1－2＋a＜0，,4－4＋a＜0，,9－6＋a＞0，))解得－3＜a＜0.(3)由方程的兩個根都大于零，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a＞0，,－\f(－2,2)＞0，,f0＞0，))解得0＜a＜1.22．(本小題滿分12分)一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).eq\x(導學號69175116)(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？[分析](1)根據10年的砍伐面積為原來的一半，列方程求解．(2)根據到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f