【教案】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計必修第一冊

必修15.4.3正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用第9頁共9頁5.4.3正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用（一）教學(xué)內(nèi)容正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用。（二）教學(xué)目標會用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些簡單的問題。（三）教學(xué)重點難點教學(xué)重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用。教學(xué)難點：探索求函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間的思路及所對結(jié)論的理解。（四）教學(xué)過程【環(huán)節(jié)一】知識點復(fù)習(xí)回顧導(dǎo)入：前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這節(jié)課我們一起探討它們的一些簡單應(yīng)用，請同學(xué)們思考下面問題。問題1：回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)和圖象，完成下面表格：正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域圖象周期奇偶性對稱軸對稱中心單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間最大值點最小值點師生活動：學(xué)生完成后，互相批改，修改完善。正弦函數(shù)y＝sinx余弦函數(shù)y=cosx定義域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性最小正周期最小正周期單調(diào)區(qū)間k∈Z增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點k∈Z最大值點最小值點最大值點最小值點對稱中心k∈Z對稱軸k∈Z追問：（1）如何理解點也正弦函數(shù)的對稱中心？（2）如何理解直線是正弦函數(shù)的對稱軸？你能類比函數(shù)奇偶性的研究作出回答嗎？師生活動：學(xué)生基于上節(jié)課課后作業(yè)，放在函數(shù)奇偶性的研究作答。代數(shù)論證作為選做內(nèi)容。（1）直觀感知：函數(shù)圖象在點的特征與在點處的特征一樣，呈現(xiàn)出關(guān)于點中心對稱。代數(shù)論證：對于，，，得證。（2）直觀感知：函數(shù)圖象相對于直線的特征與相對于y軸的特征一樣，呈現(xiàn)出關(guān)于直線的軸對稱。代數(shù)論證：對于，，，得證。設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)公共正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，為本機課的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)?！经h(huán)節(jié)二】例題分析與鞏固例2求下列函數(shù)的周期：（1），；（2），；（3），.追問1：請說出周期性定義，并思考要想獲得周期，得到怎樣的關(guān)系式就可得出周期？對例2中函數(shù)表達式進行怎樣變形？師生活動：由學(xué)生說出周期性定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于每一個，都有，且，那么函數(shù)就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。周期函數(shù)的周期不止一個。我們更關(guān)系最小正周期。要得到周期，需要得到形式才能確定周期。我們目前知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期均為，要想求出例2中函數(shù)的周期，需要從此出發(fā)，對比研究獲得的形式。對于（1）顯然有，即的形式成立；對于（2）要想利用，需先換元，可設(shè)，這樣，也獲得了的形式；對于（3），根據(jù)（1）（2）的處理經(jīng)驗，，，也獲得了的形式；解法如下：（1），有，由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為；（2）令，由，得，且的周期為，即，于是，所以，.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（3）令，由得，且的周期為，即，于是，所以.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.追問2：對于上面3個問題，（3）的形式實際是（1）（2）形式的組合，據(jù)此你能抽象出這類函數(shù)的一般形式嗎？師生活動：共同歸納其形式為：或。追問3：你能根據(jù)上面3個問題的解答，歸納出求解形如或的周期的步驟和一般方法嗎？師生活動：學(xué)生梳理之后，交流展示。教師點撥、完善。周期問題求解的步驟如下：第1步：先用換元法轉(zhuǎn)換。（可參考問題（2）進行說明）；第2步：利用已知的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的周期找關(guān)系；第3步：根據(jù)定義變形變形為的形式；第4步，確定結(jié)論。周期與自變量的系數(shù)有關(guān)。根據(jù)（1）（2）（3）的函數(shù)形式和答案，可歸納為：。理由如下：形如或的函數(shù)（其中，，為常數(shù)，且，），設(shè)，由，得，根據(jù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)周期為，有，可知與的周期都為，進一步推理如下：因為，則有，得到，即當自變量增加，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)；且增加量小于時，函數(shù)值不會重復(fù)出現(xiàn)。即是使等式成立的最小正數(shù)，從而，的周期為。同理，的周期為。根據(jù)這個結(jié)論，我們可以直接寫出，和，的周期為。推廣：如果函數(shù)的周期為T，則函數(shù)（）的周期為。設(shè)計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進而幫助學(xué)生理解的周期的求解步驟，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。例3下列函數(shù)有最大值?最小值嗎？如果有，請寫出取最大值?最小值時自變量x的集合，并求出最大值?最小值.（1），；（2），；追問1：能轉(zhuǎn)化為熟悉的形式求解嗎？師生活動：先讓學(xué)生思考，嘗試解決，教師再點評指正。因為，，因此對于（1），，這樣借助正弦函數(shù)的有界性，確定了函數(shù)的值域，同時也可得到最值；對于（2），為了能借助正弦函數(shù)的有界性，可設(shè)，，因，則，求的最值問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，由，利用不等式性質(zhì)，有，這樣通過換元就可解決最值問題。解法參考：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值?最小值。（1）使函數(shù)，取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)，取得最大值的x的集合；使函數(shù)，取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)，取得最小值的x的集合，函數(shù)，的最大值是；最小值是.（2）令，因，則，使函數(shù)取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合，由，得，所以，使函數(shù)，取得最大值的x的集合是；同理，使函數(shù)，取得最小值的x的集合是，函數(shù)，的最大值是3，最小值是-3.追問2：你能歸納出形如，和，的函數(shù)求最值的一般思路和方法嗎？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生歸納得出先通過變量代換，轉(zhuǎn)化為形如，和，，再利用正余弦函數(shù)的有界性，求最值或值域問題。設(shè)計意圖：理解正余弦函數(shù)的有界性，利用轉(zhuǎn)化的思想求解形如，和，的最值。例4不通過求值，比較下列各組數(shù)的大?。海?）與；（2）與.師生活動：學(xué)生先獨立思考，解決問題，完成后教師點評。如果學(xué)生有困難，可以這樣引導(dǎo)思考：可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小。為此，先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大小.解法參考：（1）因為，正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.（2），，因為，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即追問：你能借助單位圓直觀地比較上述兩對函數(shù)值的大小嗎？試一試，并把你的想法和同學(xué)交流。師生活動：學(xué)生獨立畫圖，教師利用幾何畫板展示圖象，由學(xué)生解答。設(shè)計意圖：嘗試利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性解決比大小問題，通過類比之前的利用函數(shù)單調(diào)性比大小方法，完成本例題解答，并積累三角函數(shù)值比大小經(jīng)驗。例5求函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間。追問：你能轉(zhuǎn)化為利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解嗎？可以類比前面的哪個例題獲得思路？師生活動：學(xué)生可以想到利用例，例3的想法進行轉(zhuǎn)化。令，，當自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.解法參考：令，，則，因為，的單調(diào)遞增區(qū)間是，且由，得，所以，函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是.變式：求函數(shù)，的遞增區(qū)間．追問：變式與例5有什么不同？這種不同對求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有什么影響？你能想到什么方法破解？師生活動：學(xué)生會有困難，仿照例5進行解答，教師對有困難學(xué)生指導(dǎo)，其他同學(xué)自己完成。學(xué)生可能會有不同思路，讓不同思路學(xué)生展示。最后教師歸納，引導(dǎo)學(xué)生注意可能出錯的地方。解法參考：令，，則，因為，的單調(diào)遞減區(qū)間是或，且由或，得或，所以，函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，.設(shè)計意圖：類比例2，例3求解，進一步熟練換元轉(zhuǎn)化思想方法。問題2：通過學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，你獲得了哪些解題思想方法和解題經(jīng)驗？解題過程中有哪些需要注意的問題？師生活動：解題過程中用到的主要思想方法有定義法、換元法、類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等。求解周期和單調(diào)區(qū)間時，主要系數(shù)的作用，特別是求單調(diào)區(qū)間是，自變量系數(shù)為負時的情況。（五）目標檢測設(shè)計1課前預(yù)習(xí)1.1求下列函數(shù)的周期：（1）；（2）；參考解法：（1）令，而，即．．∴T=2π．（2）令，則，，∴T=4π1.2求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值與最小值。（1），；（2），參考解法：（1）當即時,函數(shù)取得最大值2;當時,函數(shù)取得最小值-2；（2）當即即時,函數(shù)取得最大值3；當，即即當時，函數(shù)取得最小值1.設(shè)計意圖：檢驗預(yù)習(xí)效果，了解本節(jié)課的內(nèi)容。2課堂檢測不通過求值