廣東省揭陽市東埔中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省揭陽市東埔中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)中取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．300

B．216

C.180

D．162參考答案：C2.過曲線（）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.已知直線的傾斜角為，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A4.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（i）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，兩個(gè)解，舍去．（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．對(duì)a分類討論：①當(dāng)a＜0時(shí)，由題意可得；②當(dāng)a＞0時(shí)，推出極值點(diǎn)不滿足題意，推出結(jié)果即可．【解答】解：（i）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去．（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①當(dāng)a＜0時(shí)，＜0，當(dāng)x＜或x＞0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則：，即：，可得a＜﹣2．②當(dāng)a＞0時(shí)，＞0，當(dāng)x＞或x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．不滿足函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：C．5.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是(

)A．2 B．1 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由橢圓的定義可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m?n的值，利用△F1PF2的面積是m?n求得結(jié)果．【解答】解：由橢圓的方程可得a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由橢圓的定義可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m?n=2，∴△F1PF2的面積是m?n=1，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和定義，以及勾股定理的應(yīng)用．6.已知平面與平面相交，直線，則（

）A．內(nèi)必存在直線與平行，且存在直線與垂直B．內(nèi)不一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直C．內(nèi)不一定存在直線與平行，但必存在直線與垂直D．內(nèi)必存在直線與平行，不一定存在直線與垂直參考答案：C試題分析：作兩個(gè)相交平面，交線為，使得直線，假設(shè)內(nèi)一定存在直線與平行，因?yàn)椋?，所以直線，而，所以，這與平面與平面相交不一定垂直矛盾，所以內(nèi)不一定存在直線與平行，因?yàn)橹本€，，所以，所以在內(nèi)不一定存在直線與平行，但必存在直線與垂直，故選C．考點(diǎn)：線面位置關(guān)系的判定與證明．7.設(shè)平面向量=（1，2），=（-2，y），若

//，則|3十|等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)必要而不充分條件是（） A．﹣3＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜1參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】使直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需圓心（0，﹣1）到直線的距離小于半徑，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離表示出圓心到直線的距離，求得m的范圍，進(jìn)而可推斷出﹣3＜m＜1是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充要條件，排除A；當(dāng)﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1時(shí)直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故其是充分條件，排除B，D；﹣4＜m＜2時(shí)特別是﹣4＜m＜﹣3時(shí)，直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0無交點(diǎn)，可知﹣4＜m＜2是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的不充分條件；同時(shí)線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的必要條件；進(jìn)而可推斷出C正確． 【解答】解：要使直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需圓心（0，﹣1）到直線的距離小于半徑， 即＜，求得﹣3＜m＜1 ﹣3＜m＜1是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充要條件，故A不正確， 當(dāng)﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1時(shí)直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故其是充分條件，故B，D不正確； ﹣4＜m＜2時(shí)特別是﹣4＜m＜﹣3時(shí)，直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0無交點(diǎn)，可知﹣4＜m＜2是直線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的不充分條件；同時(shí)線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是線x﹣y+m=0與圓x2+y2+2y﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的必要條件； 故選C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)和充分條件，必要條件和充分必要條件的判斷定．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力． 9.雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程是(

)．(A)

(B)(C)

(D)參考答案：B10.等差數(shù)列中的是函數(shù)的極值點(diǎn)，則等于A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：A

解析：.因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn),所以，是方程的兩實(shí)數(shù)根,則.而為等差數(shù)列,所以,即,從而,選A.【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知滿足，則的最小值為_

__.參考答案：212.寫出命題“”的否定：

．參考答案：13.一個(gè)直角梯形的兩底長分別為2和5，高為4，繞其較長的底旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體的側(cè)面積為

。參考答案：14.已知向量＝（4，2），向量＝（x，3），且//,則x＝

參考答案：6；

15.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，學(xué)號(hào)的四位同學(xué)的考試成績(jī)，且滿足，則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況的種數(shù)為________種.參考答案：15【分析】分兩類，按的情況，共有種，按的情況，共有種，再用分類計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】從所給的5個(gè)成績(jī)中，任取4個(gè)，即可得到四位同學(xué)的考試成績(jī)，按的情況，共有種，從所給的5個(gè)成績(jī)中，任取3個(gè)，即可得到四位同學(xué)的考試成績(jī)，按的情況，共有種，綜上：滿足，這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況的種數(shù)為15種.故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查組合問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.16.若斜率互為相反數(shù)且相交于點(diǎn)P（1，1）的兩條直線被圓O：x2+y2=4所截的弦長之比為，則這兩條直線的斜率之積為．參考答案：﹣9或﹣【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)這兩條直線的斜率分別為k、﹣k，利用點(diǎn)斜式求得兩條弦所在的直線方程，求出各自的弦心距，再結(jié)合弦長之比為得到關(guān)于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的兩根之積．【解答】解：設(shè)這兩條直線的斜率分別為k、﹣k，則這兩條直線的方程分別為m：y﹣1=k（x﹣1），n：y﹣1=﹣k（x﹣1），即m：kx﹣y+1﹣k=0，n：kx+y﹣1﹣k=0．圓心O到直線m的距離為d==，可得弦長為2．圓心O到直線n的距離為d′==，可得弦長為2．再由弦長之比為=，即=，可得3k2﹣10k+3=0．求得k=3，或k=，∴當(dāng)k=3時(shí)，這兩條直線的斜率之積為3×（﹣3）=﹣9；當(dāng)k=時(shí)，兩條直線的斜率之積為×（﹣）=﹣，故答案為：﹣9或﹣．17.已知直線恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為

▲

.

參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在棱長為3的正方體中，.⑴求兩條異面直線與所成角的余弦值；⑵求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.參考答案：（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,則,所以即兩條異面直線與所成角的余弦值為(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得，所以，則不妨取則19.已知，分別用“For”語句和“While”語句描述計(jì)算S這一問題的算法過程。參考答案：20.（本小題6分）已知函數(shù)滿足，且在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)。（Ⅰ）求解析式；（Ⅱ）若函數(shù)求的值。參考答案：解：（Ⅰ）∵，∴。①

1分又∵在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，∴的對(duì)稱軸為，即。②由②得，。

2分把代入①得，。3分（Ⅱ）∵∴4分，5分∴。6分21.如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(cè)(左)視圖、俯視圖，側(cè)(左)視圖是底邊長分別為2和4的直角梯形，俯視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求出該幾何體的體積；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅲ）求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可知，四棱錐B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，則四棱錐B－ACDE的體積為．……4分（Ⅱ）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

………5分設(shè)平面BDE和平面BCD的法向量分別為，取

………6分，取

………7分，∴平面BDE⊥平面BCD

………8分（Ⅲ），

………11分直線CE與平面BDE的夾角正弦值為

………12分略22.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．（1）求曲線C的方程；（2）是否存在整數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點(diǎn)，列出方程求解即可．（2）設(shè)過點(diǎn)M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）．設(shè)l的方程為x=λy+m，聯(lián)立利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積推出m2﹣6m+1＜4λ2，對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，4λ2的最小值為0，轉(zhuǎn)化求解即可得到m的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P（x，y）滿足：，化簡(jiǎn)得y2=