第三章多維隨機(jī)變量及其概率

第三章多維隨機(jī)變量及其概率3.1

二維隨機(jī)變量的概念3.1.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)：

(X,Y)的兩個分量X與Y各自的分布函數(shù)分別為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù),記為FX(x)與FY(y).邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)來確定.如下幾何意義：分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn)、位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形D內(nèi)的概率,見下圖.yx(x,y)0D

利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形域{x1<X≤

x2,y1<Y≤y2}內(nèi)(如下圖)的概率為：yxoy2y1x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)回憶:分布函數(shù)F(x)的性質(zhì).例3-1解3.1.2二維離散型隨機(jī)變量定義3-3

若二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取有限多對或可列無窮多對(Xi,Yj),(i,j=1,2,…)則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為(Xi,Yj),(i,j=1,2,…),(X,Y)在各個可能取值的概率為：P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)稱P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)為(X,Y)的分布律.(X,Y)的分布律還可以寫成如下列表形式：XYy1y2

…yj

…x1x2…xi…p11

p12…p1j

…p21

p22…p2j

…pi1

pi2…pij

…………………(X,Y)的分布律具有下列性質(zhì):回憶：分布律{PK}的性質(zhì).(1)

0

≤PK

≤1；(2)

P1+P2+

…+PK…

=1.(1)

0

≤Pij

≤1(i,j=1,2,…);反之,若數(shù)集{pij}(i,j=1,2,…

)

具有以上兩條性質(zhì),則它必可作為某二維離散型隨機(jī)變量的分布律.例3-2設(shè)(X,Y)的分布律為XY123

12求常數(shù)a的值.解由分布律性質(zhì)知，例3-3

設(shè)(X,Y)的分布律為XY123

00.10.10.3

10.2500.25求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X<1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}.解

(1){X=0}={X=0,Y=1}U{X=0,Y=2}U{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}兩兩互不相容,P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.所以，XY定義3-4

對于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律稱為(X,Y)關(guān)于X(或Y)的邊緣分布律，記為Pi.

(i=1,2,…)(或P.j

(j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出.事實(shí)上，XY則(X,Y)的分布律與邊緣分布率為：XY則(X,Y)的分布律與邊緣分布率為：XY1.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下,則a=______XY練習(xí)

2.二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下XY

則P{Y=2}=___________.3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下

則P{XY=0}=___________.XY4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取下列數(shù)組中的值：(1)寫出(X,Y)的分布律；(2)分別求(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布律.且取這些值的概率依次為

3.1.3

二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度

一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的可能取值為某個或某些區(qū)間，甚至是整個數(shù)軸.二維隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值范圍則為XOY平面上的某個或某些區(qū)域，甚至為整個平面，一維隨機(jī)變量X的概率特征為存在一個概率密度函數(shù)f(x)，滿足：定義3.5的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,函數(shù)或X與Y的聯(lián)合密度使對于對于二維隨機(jī)變量（X,Y)的概率密度

,隨機(jī)變量任意有如果存在非負(fù)的函數(shù)函數(shù).概率密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)：判斷一個二元函數(shù)是否可做為概率密度函數(shù)的依據(jù).如果已知(X,Y)的概率密度函數(shù)f(x,y)，則(X,Y)在區(qū)域D內(nèi)的取值的概率為：二維連續(xù)行隨機(jī)變量的均勻分布與二維正態(tài)分布yx0.5y=xx+y=1所以即1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為則常數(shù)a=_______.2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為則P{X>1,Y>1}=________.練習(xí)3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度則P{X+Y≤1}=________.5.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=________.4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為則(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為___________.3.2

隨機(jī)變量的獨(dú)立性回憶：兩個事件相互獨(dú)立的定義若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨(dú)立,簡稱A,B獨(dú)立.3.2.2二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性例3-16

設(shè)(X,Y)的分布律為YX這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0

的集合外，處處成立.聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布的關(guān)系:聯(lián)合分布可確定邊緣分布,但一般情況下,邊緣分布是不能確定聯(lián)合分布的.然而由隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及充要條件可知,當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時,(X,Y)的分布可由它的兩個邊緣分布完全確定.

1.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度是問X和Y

是否相互獨(dú)立?練習(xí)3.3

兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布3.3.1離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例3-24

設(shè)(X,Y)的分布律為求Z=X+Y的分布律.XY結(jié)論設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列為：試求：（