第二章話務(wù)量理論基礎(chǔ)

1第二章

話務(wù)量理論基礎(chǔ)2本章主要內(nèi)容§2.1引言統(tǒng)計時分復用話務(wù)量理論§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量§2.3服務(wù)等級服務(wù)等級要解決的問題問題的解決（泊松公式、愛爾蘭-B公式、愛爾蘭-C公式）3§2.1引言統(tǒng)計時分復用話務(wù)量理論統(tǒng)計時分復用：定義：通過利用不同用戶需要通信服務(wù)時刻隨機出現(xiàn)的特征，來對網(wǎng)絡(luò)資源進行分時使用的方式；使用目的：提供網(wǎng)絡(luò)資源的利用率，節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源數(shù)量，降低通信網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)和運營成本；使用條件：在任意一段觀測時間T內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)資源數(shù)量有限；用戶的通信繁忙程度較小，通信時間僅占T的極小一部分；用戶需要通信服務(wù)的時刻隨機出現(xiàn)，即在T內(nèi)各時刻出現(xiàn)通信服務(wù)的概率相等；用戶對服務(wù)質(zhì)量要求不嚴，能容忍偶爾得不到通信服務(wù)以及短時間的等待。使用方法：按需分配；應用范圍：網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、交換網(wǎng)絡(luò)設(shè)計。4§2.1引言統(tǒng)計時分復用話務(wù)量理論話務(wù)量理論：要解決的問題：在統(tǒng)計時分復用中，在服務(wù)質(zhì)量一定的條件下，如何用盡可能少的網(wǎng)絡(luò)資源給盡可能多的用戶提供通信服務(wù)？奠基人：丹麥數(shù)學家A.K.Erlang，定義了描述通信繁忙程度的物理量—話務(wù)量；定義了描述服務(wù)質(zhì)量好壞的物理量—服務(wù)等級；求出了話務(wù)量、服務(wù)等級時，最新網(wǎng)絡(luò)資源的數(shù)量。5話務(wù)量定義：在時間觀測T內(nèi)，各次服務(wù)持續(xù)時間的總和，即

(2.1)式中－在時間T內(nèi)的話務(wù)量，單位：小時。－在時間T內(nèi)服務(wù)發(fā)生的次數(shù)，單位：次。－各次服務(wù)的持續(xù)時間，單位：小時。如果定義每次服務(wù)的平均保持時間單位：小時）為

(2.2)則有(2.3)

§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量源與服務(wù)器源：請求服務(wù)的用戶；

服務(wù)器：被請求的對象，如：各種網(wǎng)絡(luò)資源。6§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量話務(wù)量影響AT的因素：n：服務(wù)需求的頻繁程度；hav：每次服務(wù)所持續(xù)的時間。話務(wù)流量目的：n是一個與T有關(guān)的量，所以AT也是一個與T有關(guān)的量，因此話務(wù)量就無法描述用戶通信的繁忙程度；定義：單位時間內(nèi)的話務(wù)量，也就是單位時間內(nèi)各次服務(wù)時間的總和。（2.4）式中－單個源的話務(wù)流量，單位：愛爾蘭(erl)；T－觀測時間，單位：小時。－單個源的服務(wù)強度或單位時間內(nèi)的服務(wù)次數(shù)，單位：次/小時。（2.5）7話務(wù)流量物理意義：當時，

：就變成一個確定量，就是單位時間內(nèi)呼叫發(fā)生（或到達）的概率；：也變?yōu)橐粋€確定量，即源一次服務(wù)的平均保持時間。：變?yōu)橐粋€確定量。根據(jù)(2.4)式，此時就是源忙時的概率，且它就等于用戶呼叫的到達概率與呼叫平均保持時間的乘積。若T不夠大，則、和仍然都是隨機變量，即它們可能取不同的值，且取各不同值的概率也各不相同，同時這些概率還會隨時間和地點的不同而不同。下面將對影響、和統(tǒng)計特性的因素分別加以介紹?！?.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量8§2.2話務(wù)量話務(wù)流量服務(wù)強度的概率分布通常要受以下因素影響：時間：在一天中，通常在上午10點和下午4點，取較大值的概率較大。而在一周中，同樣是在星期一到五，出現(xiàn)較大值的概率較大。另外一年中的某些節(jié)假日（如：春節(jié)），也會突然地增大；突發(fā)事件：當發(fā)生地震等自然災害時，通信的數(shù)量也會突然增多；話機普及率：服務(wù)強度基本上與話機普及率成反比。當使用同一部話機的用戶越多，則這部話機的服務(wù)強度會越大；用戶遇忙時的表現(xiàn)：當用戶呼叫卻遇到網(wǎng)絡(luò)或受話方正忙時，有些用戶立即放棄呼叫，有些則會不斷地重撥，因此用戶遇忙時的表現(xiàn)不同，服務(wù)強度也會隨之不同。用戶遇忙時的表現(xiàn)主要有呼叫清除(LCC--LostCallClear)、呼叫保持(LCH--LostCallHeld)和呼叫延遲(LCD—LostCallDelayed)等三種類型。費率：由于目前的電話交換網(wǎng)采用了分時段計費的方式，所以在收費低的時段，服務(wù)強度通常較高，而在費率高的時段，服務(wù)強度則相對較低。9§2.2話務(wù)量話務(wù)流量服務(wù)保持時間：其概率分布除要受費率和用戶習慣的影響以外，還要與以下因素有關(guān)：通話性質(zhì)：在通常情況下，公務(wù)對話較簡潔，因而保持時間短，而私人電話的通話時間一般則較長；通話距離：一次服務(wù)的保持時間通常與通話距離成正比，長途通話的時間通常大于市話通話時間。話務(wù)流量：也是隨機變量，且概率分布隨時間而變化，因此A1的大小通常用忙時話務(wù)流量來描述。忙時話務(wù)流量的定義通常有以下三種：平均忙時話務(wù)量：一年中最忙的30天內(nèi)的忙時話務(wù)量的平均值；/*CCITT建議Q.80*/異常忙時話務(wù)量：一年中最忙的5天內(nèi)的忙時話務(wù)量的平均值；/*CCITT建議Q.87*/平均忙時話務(wù)量(北美)：一年中最忙的10天內(nèi)的忙時話務(wù)量的平均值；10§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量通話保持時間T：定義：每次通話的保持時間，單位：小時；統(tǒng)計特性：T是隨機變量，其概率分布被認為與時間無關(guān)，且其概率密度函數(shù)服從(2.6)概率分布函數(shù)(2.7)通話保持時間的期望值

(2.8)

11§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量呼叫離去率：定義：是指單位時間內(nèi)服務(wù)結(jié)束的概率，常記作；計算：假設(shè)單位時間，滿足，則有多個源的話務(wù)流量：定義：當話務(wù)流量由N個統(tǒng)計特性相同的源產(chǎn)生時，總的話務(wù)流量等于(2.11)其中A－N個源產(chǎn)生的總話務(wù)流量，單位：erl；－N個源的服務(wù)強度或單位時間內(nèi)產(chǎn)生的服務(wù)次數(shù)；物理意義：當且時，

12多個源的話務(wù)流量：物理意義：當時，為N個源單位時間內(nèi)產(chǎn)生服務(wù)的概率；而當時，則為N個源單位時間內(nèi)產(chǎn)生服務(wù)的次數(shù)。A：在任意時刻，N個源中有且僅有A個源處于忙狀態(tài)，或N個源中平均需要占用A個服務(wù)器。§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個源的話務(wù)流量多個源的話務(wù)流量例2.1

設(shè)一個源在2小時內(nèi)共發(fā)生了4次呼叫，各次呼叫的持續(xù)時間依次為600s、100s、900s和200s，則呼叫的平均保持時間為hav＝（600＋100＋900＋200）／4＝450s＝0.125h話務(wù)量為AT＝nhav

＝4×0.125＝0.5h話務(wù)流量為A1＝AT／T＝0.5／2＝0.25erl呼叫強度為λ1＝n／T＝4/2＝2次/h

13§2.2話務(wù)量當有20個相同的源時，呼叫強度變?yōu)棣耍?/p>

Nλ1＝20×2＝40次/h話務(wù)流量變?yōu)锳＝λhav＝40×0.125＝5erl當有一個源、一個服務(wù)器時，服務(wù)器的占用率是A1＝AT／T＝0.25當有20個源、若干個服務(wù)器時，占用服務(wù)器的平均個數(shù)是M＝N＝514服務(wù)等級（GradeofService，GOS）目的：描述服務(wù)質(zhì)量的好壞；呼損率：由于服務(wù)器全忙，而使部分源的服務(wù)被丟棄的概率，主要以下兩種定義方法：時間擁塞率：是指服務(wù)器全忙的概率。若假設(shè)服務(wù)器的個數(shù)為M，其中k個服務(wù)器被占用的概率為，則時間擁塞率可以用數(shù)學公式表示為(2.13)呼叫擁塞率：呼叫產(chǎn)生但無服務(wù)器空閑的概率。同樣根據(jù)以上假設(shè)，呼叫擁塞率可以用數(shù)學公式表示為(2.14)通常情況下，，但當服務(wù)器個數(shù)M>>1時，服務(wù)等級：系統(tǒng)所能達到的呼損率稱為系統(tǒng)的服務(wù)等級。服務(wù)等級的高低由服務(wù)器的數(shù)量和源的話務(wù)量決定。

§2.3服務(wù)等級服務(wù)等級要解決的問題問題的解決15§2.3服務(wù)等級服務(wù)等級要解決的問題問題的解決要解決的問題問題：已知：（1）N個源產(chǎn)生話務(wù)量A；（2）每次服務(wù)持續(xù)的時間hav。求：滿足BT≤C，最小的M？思路：根據(jù)只需由A，hav，N求出ps(k)，進而反推出M。16問題的解決假設(shè)：單個源的統(tǒng)計特性不隨時間、地點而變化，且有（1）單個源忙時的概率為A/N；（2）單個源的呼叫到達率為A/（Nhav）；（3）單個源的呼叫離去率為1/hav；解決：（1）當時，N個源中有且只有A個忙，即式中為N個源中恰有k個忙的概率。由于故式中[]表示取整?！?.3服務(wù)等級服務(wù)等級要解決的問題問題的解決17問題的解決解決：（2）當N不夠大時，k可以不同的概率取不同的值，且pu(k)和ps(k)與用戶遇忙時的行為有關(guān)。用戶遇忙時的行為模型主要有三種：呼損保持模型（LostCallHeld，LCH）呼損清除模型（LostCallClear，LCC）呼損延遲模型（LostCallDelay，LCD）§2.3服務(wù)等級服務(wù)等級要解決的問題問題的解決18§2.3服務(wù)等級呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損保持模型模型介紹：模型特點：在LCH模型中，一個服務(wù)在服務(wù)器全忙時的部分話務(wù)量會丟失，而這個服務(wù)在服務(wù)器空閑時的那部分話務(wù)量則可以得到服務(wù)，因此不管源產(chǎn)生的服務(wù)得否到服務(wù)器的服務(wù)，它都將保持，直至達到保持時間而結(jié)束。服務(wù)全忙對源的統(tǒng)計特性沒有任何影響。當k>M時，pu(k)>0。適用范圍：這種模型常用于北美地區(qū)公共電話交換網(wǎng)分析。19呼損保持模型ps(k)：M個服務(wù)器中有1個被占用概率就等于N個源中恰有1個忙的概率，即同理當有空閑服務(wù)器時，有下式因此服務(wù)器全忙時的概率則為忙源個數(shù)大于M的概率，即

由于服務(wù)器全忙對N個源的統(tǒng)計特性沒有影響，所以各源就是相互獨立的，pu(k)服從二項式分布§2.3服務(wù)等級呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型20§2.3服務(wù)等級呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損保持模型ps(k)

：當時，于是，pu(k)服從迫松分布時間擁塞率：上式被稱為Molina公式。觀察表2-2，當時，21§2.3服務(wù)等級呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損清除模型模型介紹：模型特點：當服務(wù)器全忙時，服務(wù)的全部話務(wù)量被丟棄；源的統(tǒng)計特性受外界因素，即服務(wù)器個數(shù)及其忙閑狀態(tài)，的影響，主要表現(xiàn)：服務(wù)器全忙會使某些源由忙變閑；N-k個源空閑的原因既可能是由于沒有服務(wù)產(chǎn)生，也有可能是在前一時刻服務(wù)器全忙而使服務(wù)被丟棄造成的；因此源忙的概率會變小，而源空閑的概率會增大；pu(k)將不再是二項式分布或迫松分布，且k越接近M，pu(k)與二項式分布或迫松分布區(qū)別越大；忙源的個數(shù)不可能大于服務(wù)器的個數(shù)，既pu(k)=0，k>M。適用范圍：除北美以外的公共電話網(wǎng)。22呼損清除模型ps(k)：須用馬爾科夫-生死過程來求解。單個源當前一時刻k個源忙，每隔Δt觀測一次，若Δt足夠小，則一下觀測時刻，忙源的個數(shù)只可能是k-1，k，k+1。

當k<M時，當k=M時§2.3服務(wù)等級呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型23呼損清除模型ps(k)：對系統(tǒng)做m次觀測，其中在k狀態(tài)停留nk次，則有次轉(zhuǎn)移到k+1狀態(tài)；次轉(zhuǎn)移到k-1狀態(tài)；次仍停留在k狀態(tài)，若由k-1轉(zhuǎn)移至k的次數(shù)和由k轉(zhuǎn)移至k-1的次數(shù)完全相同（對任意k），則當時，極限存在，系統(tǒng)進入平衡狀態(tài)，且呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型§2.3服務(wù)等級24§2.3服務(wù)等級例2.2

一個二狀態(tài)單服務(wù)器的狀態(tài)圖如下圖所示。其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可寫成矩陣形式其中si為第i個周期時系統(tǒng)所處的狀態(tài)。設(shè)開機時系統(tǒng)處于狀態(tài)0，即其中P0(0)和P0(1)分別是系統(tǒng)在第0個周期恰好位于狀態(tài)0和狀態(tài)1的概率。于是在第1個周期結(jié)束時，系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率應是

在第二周期結(jié)束時，重復進行，我們最終得到如下圖所示。此時我們稱系統(tǒng)已達到平衡狀態(tài)。通過轉(zhuǎn)移邊界的概率之代數(shù)和為呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型25§2.3服務(wù)等級λ0P∞(0)－μ1P∞(1)＝0.75×0.1－0.25×0.3＝0或λ0P∞(0)＝μ1P∞(1)即當系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)后，通過轉(zhuǎn)移邊界的概率之代數(shù)和為零。

呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損清除模型ps(k)：系統(tǒng)進入平衡狀態(tài)后，λk-1Ps(k－1)

＝μkPs(k)

其中利用

26§2.3服務(wù)等級呼損保持模型呼損清除模型