第四章電路與電路定律

第四章

電路基本概念與電路定律§4―1電路

電路理論主要研究電路中的電磁過程，即電壓、電流、電荷和磁通（或磁鏈）所表征的物理過程。上述四個(gè)物理變量通常用I、U、Q

和Φ（或ψ）分別表示。對(duì)于隨時(shí)間變化的電流、電壓、電荷等變量，一般用小寫字母i、u、q表示。理想化的數(shù)學(xué)方程在一定條件下能正確反映實(shí)際器件的基本物理現(xiàn)象，通常把理想化電器件的數(shù)學(xué)模型叫做電路元件。由電路元件連接而成的理想化電路可做為實(shí)際電路的模型，簡(jiǎn)稱為電路。電路模型：R+RoE-手電筒的電路模型燈泡開關(guān)電池導(dǎo)線S

為了便于用數(shù)學(xué)方法分析電路,一般要將實(shí)際電路模型化，用足以反映其電磁性質(zhì)的理想電路元件或其組合來模擬實(shí)際電路中的器件，從而構(gòu)成與實(shí)際電路相對(duì)應(yīng)的電路模型。一些重要概念約束方程

線性元件非線性元件參數(shù)

非時(shí)變?cè)r(shí)變?cè)袇?shù)元件分布參數(shù)元件(電路元件端子變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式)激勵(lì)、響應(yīng)線性電路非線性電路(電路元件端子變量間以及他們導(dǎo)數(shù)之間相互聯(lián)系的系數(shù))端子數(shù)目可分為二端、三端、四端元件等?！?―2電流和電壓的參考方向

事先假定電流的正方向，用實(shí)線箭頭表示，稱為電流的參考方向。（如圖4―1）圖4―1對(duì)電路中兩點(diǎn)之間的電壓也可選定參考方向或參考極性。兩點(diǎn)之間的電壓參考方向可由正（＋）、負(fù)（―）極性表示，正極指向負(fù)極的方向代表電壓的參考方向，如圖4―2所示。圖4―2一個(gè)元件的電流或電壓的參考方向可以獨(dú)立地任意選定。如果選定流過元件的電流參考方向是從標(biāo)以電壓正極性的一端指向負(fù)極性的一端，即電流參考方向與電壓參考方向一致，則把兩者的這種參考方向稱為關(guān)聯(lián)參考方向，如圖4―3（a）、（b）所示；當(dāng)兩者參考方向不一致時(shí)，稱為非關(guān)聯(lián)參考方向。如圖4―3（c）所示。圖4―3關(guān)于電流和電壓的參考方向，還需做幾點(diǎn)說明：(1)電流、電壓的參考方向可任意地獨(dú)立選定。但一經(jīng)選定，在電路分析計(jì)算過程中不應(yīng)改變；(2)在今后電路分析計(jì)算中，對(duì)電路圖中所有已標(biāo)出方向的電流、電壓均可認(rèn)為是電流的參考方向，而不是指實(shí)際方向?！?―3電功率與電能電路在單位時(shí)間內(nèi)吸收的能量稱為電路吸收的電功率，簡(jiǎn)稱功率。圖4―4所示的ab電路，其電流和電壓的參考方向一致，在dt時(shí)間內(nèi)通過該電路的電荷量為dq=idt，它由a端移到b端，電場(chǎng)力做功為dA=u?dq。根據(jù)能量轉(zhuǎn)換定律，在此過程中，ab電路吸收的能量為

dW=dA=u?dq即dW=u?i?dt

（4―1）則電路吸收的功率為

P=dW/dt=ui

（4―2）圖4―4

在SI中，功率的單位是瓦特，符號(hào)為W。工程上常用的功率單位有MW（兆瓦）、KW（千瓦）和mW（毫瓦）等，它們與W的換算關(guān)系為1MW=106W，1KW=103W，1mW=10-3W。電路中的能量是電功率對(duì)時(shí)間的積分。由t0到t時(shí)間內(nèi)電路（或元件）吸收的能量由下式表示，即

（4―3）在SI中，能量的單位為焦耳，符號(hào)為J。工程和生活中還采用千瓦小時(shí)（KWh）作為電能的單位，1KWh也稱為1度（電）。

1KWh=103W×3600s=3.6×106J§4―4電阻元件一個(gè)二端元件，如果在任何時(shí)間t，其端子間電壓u與端子電流i之間的關(guān)系可用代數(shù)方程u=u（i）或i=i（u）表示，則稱之為電阻元件，簡(jiǎn)稱電阻，其約束方程u=u（i）或i=i（u）稱為電阻的伏安特性，或伏安關(guān)系。

如果電阻元件的伏安特性是線性的，則稱之為線性電阻。如果電阻元件的伏安特性是非線性的，則稱之為非線性電阻。

線性電阻是這樣的理想元件：當(dāng)電壓和電流取關(guān)聯(lián)方向時(shí)，在任何時(shí)刻，其兩端的電壓和電流關(guān)系服從歐姆定律，即

或（4―4）線性電阻元件的圖形符號(hào)如圖（a）所示。上式中的R稱為元件的電阻，它與元件的材料、幾何特性、溫度等因素有關(guān)。對(duì)于給定的元件，其電阻R是一個(gè)正實(shí)常數(shù)。在SI中，R的單位為歐姆，符號(hào)為（Ω）。通常令G=1/R，則上式變?yōu)?/p>

i=Gu

（4―5）式中G反映了元件對(duì)電流的導(dǎo)通能力，稱為電阻元件的電導(dǎo)。在SI中，電導(dǎo)的單位是西門子，簡(jiǎn)稱西，符號(hào)為（S）。R和G都是電阻元件的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)溫度一定時(shí)，橫截面積為S，長為L的一段均勻?qū)w的電阻為

（4―6）式中ρ是一個(gè)僅僅與導(dǎo)體材料有關(guān)的物理量，稱為材料的電阻率。電阻率的倒數(shù)（）稱為電導(dǎo)率。在SI中，電阻率的單位是歐姆·米（Ω·m）。對(duì)于導(dǎo)體，其內(nèi)部各點(diǎn)的電阻率可以是不同的，但只要電阻率在導(dǎo)體各橫截面上各點(diǎn)相同，則該導(dǎo)體的電阻可由下面的積分公式計(jì)算，即

實(shí)驗(yàn)還表明，當(dāng)導(dǎo)體溫度發(fā)生變化時(shí)，導(dǎo)體的電阻率也隨之發(fā)生變化。所有的金屬導(dǎo)體，其電阻率都隨溫度升高而增大。在0°C附近，且溫度的變化范圍不大時(shí)，導(dǎo)體的電阻率ρ與溫度之間近似地有下述線性關(guān)系，即

ρt=ρ0（1＋αt）（4―7）式中t表示溫度，ρ0是0°C時(shí)導(dǎo)體的電阻率，α是電阻的溫度系數(shù)。線性電阻元件的伏安特性如圖4―5（b）所示，它是通過以i―u為軸的平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的一條直線，直線的斜率與元件的R有關(guān)。圖4―5o當(dāng)一個(gè)線性電阻元件的端電壓不論為何值時(shí)，流過它的電流恒為零值，則稱之為“開路”。（如圖4―6（a））當(dāng)流過一個(gè)線性電阻元件的電流不論為何值時(shí)，它的端電壓恒為零值，則稱之為“短路”。（如圖4―6（b））圖4―6對(duì)于線性電阻元件，當(dāng)其電壓u和電流i為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，其消耗的功率為（4―8）或 由于R和G是正實(shí)常數(shù)，功率P恒為非負(fù)值，所以線性電阻元件是一種無源元件。在t0到t時(shí)間內(nèi)，線性電阻元件吸收的電能為(4―9)電阻元件一般把吸收的電能轉(zhuǎn)換成熱能消耗掉，所以電阻元件也是一種耗能元件。

非線性電阻元件的伏安特性在u―i平面上不是一條通過原點(diǎn)的直線，而是曲線。其電壓與電流的關(guān)系一般寫為

u=f（i）或i=h（u）如果一個(gè)電阻元件具有以下電壓電流關(guān)系

u（t）=R（t）i（t）或i（t）=G（t）u（t）由于比例系數(shù)R是隨時(shí)間變化的，故稱之為時(shí)變電阻元件?！?―5電容元件一、線性電容元件

一個(gè)二端元件，如果在任何時(shí)間t，其端子電壓u與元件所儲(chǔ)存的電荷q之間的關(guān)系可用代數(shù)方程q=q（u）或u=u（q）來表示，則稱之為電容元件，簡(jiǎn)稱電容。在電路圖中用兩條隔離的平行短線表示，其對(duì)應(yīng)著實(shí)際電容器的兩個(gè)極板。電容的符號(hào)為C，如圖4－7（a）所示。關(guān)系式q=q(u)或u=u(q)稱為電容的庫伏特性，可用q－u（或u－q）為軸的平面直角坐標(biāo)系中的一條曲線來表示。

庫伏特性為一通過坐標(biāo)原點(diǎn)直線的電容元件，稱為線性電容，如圖4－7（b）所示。圖4―7C

線性電容元件正（或負(fù)）極板上所儲(chǔ)存電荷量的大小q與極板間的電壓成正比，即

q=Cu

(4―10)式中C為電容元件的參數(shù)，簡(jiǎn)稱電容，對(duì)給定的電容元件，它是一個(gè)正實(shí)常數(shù)。在SI中，電容的單位是法拉，簡(jiǎn)稱法，符號(hào)為F。工程技術(shù)中，電容的單位還有微法（μF）和皮法（PF），它們與法拉的換算關(guān)系為1μF＝10－6F，1PF＝10－12F。二、電容元件的伏安特性電容元件的電壓u隨時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，儲(chǔ)存在電容元件極板上的電荷隨之變化，這樣便出現(xiàn)充電或放電現(xiàn)象，連接電容元件的導(dǎo)線中就有電流流過。如果電流i和電壓u取關(guān)聯(lián)參考方向，則有(4―11)如果i、u取非關(guān)聯(lián)參考方向，則有

現(xiàn)在就（4－11）式作如下討論：

1、式（4－11）表明線性電容元件的伏安特性關(guān)系有如下特點(diǎn)：(1)電容元件上任一時(shí)刻的電流取決于同一時(shí)刻電容電壓的變化率，而與該時(shí)刻電容電壓的數(shù)值無關(guān)。(2)電容電壓變化越快，電流越大。即使某時(shí)刻電壓為零，也可能有電流。(3)當(dāng)電容電壓為恒定值時(shí)（即直流電壓），由于電壓不隨時(shí)間而變，即使恒定電壓值較大，但也沒有電流，電容元件相當(dāng)于開路。所以電容元件有隔直流的作用。以上三點(diǎn)表明，電容元件是一種動(dòng)態(tài)元件。2、式（4－11）還表明，若任一時(shí)刻電容電流為有限值時(shí)，電容電壓不能躍變，如果躍變，則i=→∞，則i就不是有限值了。所以，一般情況下電容電壓是不能躍變的。電容元件的這一特性是分析動(dòng)態(tài)電路的依據(jù)。3、如果激勵(lì)是電流，響應(yīng)是電壓，將式（4―11）等號(hào)兩邊積分后可得（4―13）

電容元件有記憶電流的作用，所以電容元件又是一種記憶元件。與電流過去的全部歷史有關(guān)！三、電容元件的儲(chǔ)能當(dāng)電容元件的電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電容元件吸收的瞬時(shí)功率為

若P>0，說明電容元件實(shí)際上是在吸收能量，即處于充電狀態(tài)；若P<0，說明電容元件在釋放能量，處于放電狀態(tài)。當(dāng)電路從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t給電容元件充電時(shí)，這期間電容元件吸收的能量為

電容元件吸收的能量以電場(chǎng)能量的形式儲(chǔ)存在電容元件的電場(chǎng)中。如果在t0時(shí)刻電容元件的初始電壓u（t0）=0，其電場(chǎng)能量也為零。這樣，電容元件在任何時(shí)刻t儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量W（t）將等于它所吸收的能量，即

（4―14）于是，在任意的時(shí)間間隔（t1到t2）內(nèi)，電容元件吸收的能量為電容元件充電時(shí)，|u（t2）|>|u（t1）|，WC（t2）>WC（t1），故在此時(shí)間內(nèi)元件吸收能量；電容元件放電時(shí)，WC（t2）<WC（t1），元件釋放能量。若電容元件原來沒有充電，則在充電時(shí)它所吸收并儲(chǔ)存起來的能量一定會(huì)在放電完畢時(shí)全部釋放出來，并不消耗能量。所以，電容元件是一種儲(chǔ)能元件。由于電容元件不會(huì)釋放出多于它吸收或儲(chǔ)存的能量，所以它又是一種無源元件。如果電容元件的庫伏特性在u―q平面直角坐標(biāo)系中不是通過原點(diǎn)的直線，則稱之為非線性電容元件。例如，晶體二極管中的變?nèi)荻O管就是一種非線性電容元件，其電容隨所加電壓而變。例4―1在本例圖（a）所示電路中，已知電容C=1F，電容電壓uC（t）的波形如本例圖（b）所示，試求電容電流ic。例4－1圖解據(jù)本例圖（b），可知uC（t）的表達(dá)式為

根據(jù)

，求0<t<1s時(shí)， 1s<t<2s時(shí)，

2s<t<3s時(shí)，

3s<t<4s時(shí)，的波形圖如本例圖（c）所示。

例4-2本例圖（a）為電容電流

的波形，試求電容電壓。設(shè)C=1μF，=0。例4－2圖0解根據(jù)本例圖（a）可知iC（t）的表達(dá)式為根據(jù)式（4―13）求0<t<1s時(shí)，1s<t<2s時(shí)，2s<t<3s時(shí)，的波形如本例圖（b）所示。0例4―3有2A的恒定電流源，從t=0開始對(duì)C=0.5F的電容器充電，求20秒后電容器所儲(chǔ)存的能量是多少？設(shè)電容器的初始電壓為。解

t=20秒時(shí)

則

§4―6電感元件一、線性電感元件一個(gè)二端元件，如果在任何時(shí)間t，其端子電流i與其磁鏈ψ之間的關(guān)系可用代數(shù)方程ψ=ψ（i）或i=i（ψ）來表示，則稱之為電感元件，簡(jiǎn)稱電感。電感元件是電路中實(shí)際導(dǎo)線繞制的螺旋線圈的一種理想化模型。它反映了所通電流產(chǎn)生的磁通和磁場(chǎng)能量儲(chǔ)存這一物理現(xiàn)象。一、線性電感元件磁鏈ψ與電流i之間的關(guān)系可用ψ―i為軸的平面直角坐標(biāo)系中的一條曲線表示，若ψ―i曲線是一條通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，見圖（b），則此電感元件稱為線性電感元件。電磁學(xué)理論指出，線性電感元件的ψ、i滿足以下關(guān)系，即

ψ=Li

（4―15）式中L稱為該元件的自感（系數(shù)）或電感，通常所指的電感元件就是這種線性電感元件（今后為敘述方便，去掉“線性”二字）。L是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，在SI中，L的單位是亨利（H）。常用單位是毫亨（mH）和微亨（μH），他們和亨利的換算關(guān)系為1mH=103H，1μH=10―6H。二、電感元件的伏安特性當(dāng)變化的電流i通過電感線圈時(shí)，在線圈中將會(huì)產(chǎn)生變化的磁通，變化的磁通在線圈兩端必然引起感應(yīng)電壓u，當(dāng)u與i為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)[如圖4―9]，根據(jù)楞次定律，則

（4―16）圖4―9式表明電感元件的伏安關(guān)系有如下特點(diǎn)：（1）電感元件任一時(shí)刻的電感電壓u取決于同一時(shí)刻電感電流i的變化率，而與該時(shí)刻電感電流的數(shù)值無關(guān)。（2）電感電流i變化越快（越大），u也越大。即使某時(shí)刻i=0，也可能有電壓u存在。（3）當(dāng)電流i為恒定值時(shí)，由于電流不隨時(shí)間變化（=0），則電感電壓u=0，電感相當(dāng)于短路。以上幾點(diǎn)說明，電感元件是一種動(dòng)態(tài)元件。式還表明，若任一時(shí)刻電感電壓u為有限值時(shí)，電感電流i不能躍變。如i躍變，則→∞。電感元件的這一特性，是分析動(dòng)態(tài)電路的重要依據(jù)。如果給定激勵(lì)電壓u，響應(yīng)為i時(shí)，式可寫為

（4―17）可見，電感元件有記憶電壓的功能，所以它也是一種記憶元件。由于電感電壓與電流之間是微分關(guān)系，所以二者隨時(shí)間變化的波形不一定相同。三、電感元件的儲(chǔ)能

當(dāng)電感電壓與電感電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電感元件所吸收的瞬時(shí)功率為（4―18）

那么從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t期間內(nèi)，電感吸收的能量為

如果t0時(shí)刻電感的初始電流，此時(shí)的磁場(chǎng)能量為零，則電感元件在任意時(shí)刻t儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為（4―19）則從時(shí)間t1到t2期間內(nèi)，電感元件吸收的能量為由此可知，當(dāng)|i|增加時(shí)，WL>0，電感元件吸收能量；當(dāng)|i|減小時(shí)，WL<0，電感元件釋放能量?？梢婋姼性粫?huì)把吸收的能量消耗掉，而是以磁場(chǎng)能量的形式儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中。所以電感元件也是一種儲(chǔ)能元件。同時(shí)，由于電感元件不會(huì)釋放出多于它吸收（或儲(chǔ)存）的能量，所以它又是一種無源元件。還表明，電感元件在某一時(shí)刻t的儲(chǔ)能僅取決于該時(shí)刻的電流值i(t)，而與電壓值無關(guān)。如果電感元件的韋安特性不是ψ―i坐標(biāo)平面上過原點(diǎn)的一條直線，則為非線性電感元件。非線性電感元件的韋安特性可表示為

ψ=f（i）或i=h(ψ)例4―4在本例圖（a）中，已知L=2H,的波形如本例圖（b）所示，試計(jì)算t>0時(shí)的電感電壓u

(t)、瞬時(shí)功率P(t)，并繪出它們的波形。0解由本例圖（b）可知i(t)的表達(dá)式為根據(jù)

求。0≤t≤1，i=5tA

1<t≤3，

i=(―5t＋10)A03<t≤4，i=(5t―20)A電壓的波形圖如本例圖（c）所示。根據(jù)，求P功率P的波形圖如本例圖（d）所示?！?―7電壓源和電流源一、電壓源

一個(gè)二端元件，如果其端子間電壓能保持為一確定的時(shí)間函數(shù)或一確定值，而與通過它的電流和外接電路無關(guān)，則稱之為獨(dú)立電壓源，簡(jiǎn)稱電壓源。它是一個(gè)理想電路元件，其端電壓u(t)可表述為

式中為給定的時(shí)間函數(shù)。電壓源的圖形符號(hào)見圖（a）。

當(dāng)為恒定值時(shí)，這種電壓源稱為恒定電壓源或直流電壓源，其圖形符號(hào)見圖（b），其中長劃線表示電源“＋”極，短劃線表示電源“―”極，表示恒定電壓值。分析下邊的圖的含義：0圖（a）給出的是電壓源與外電路相聯(lián)接的情況。其端子1、2之間的電壓u(t)等于uS(t)，它不受外電路的影響。圖（b）給出了電壓源在t1時(shí)刻的伏安特性，它是一條不通過原點(diǎn)且與電流軸平行的直線。當(dāng)uS(t)隨時(shí)間改變時(shí)，這條平行于電流軸的直線將隨之改變位置，即u（t）=uS(t)的伏安特性是一族與電流軸（i軸）平行的直線。圖（c）給出的是直流電壓源的伏安特性，它是一條不隨時(shí)間改變且平行于電流軸的固定直線。

電壓源的電壓和通過電壓源的電流的參考方向通常取非關(guān)聯(lián)方向（如圖（a）所示），則電壓源發(fā)出的功率為此功率也是外電路吸收的功率。

電壓源在電路中一般起提供能量的作用，是一個(gè)激勵(lì)源。二、電流源

一個(gè)二端元件，如果提供的電流為一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)或常量，而與元件的端電壓和外接電路無關(guān)，則稱為獨(dú)立電流源，簡(jiǎn)稱電流源。即

式中為給定的時(shí)間函數(shù)，與元件的端電壓和外接電路無關(guān)。而電流源的端電壓則由外電路決定。電流源的圖形符號(hào)于圖（a）所示。當(dāng)為常量（恒定值）時(shí)，這種電流源稱為直流電流源。圖4―12（a）為直流電流源的伏安特性，它是一條不隨時(shí)間改變且平行于電壓軸的固定直線。

圖4―12（b）給出了電流源與外電路相聯(lián)接的情況。

圖4―12（c）為一給定電流源在t1時(shí)刻的伏安特性，它是一條不通過原點(diǎn)且與電壓軸平行的直線。當(dāng)iS(t)隨時(shí)間改變時(shí)，這條平行于電壓軸的直線也將隨之改變位置，即i(t)=iS(t)的伏安特性是一族與電壓軸平行的直線。

圖4―120

電流源的電流和電壓的參考方向通常取非關(guān)聯(lián)參考方向[圖（b）]，則電流源發(fā)出的功率為此功率也是外電路吸收的功率。

當(dāng)電壓源的電壓或電流源的隨時(shí)間作正弦（或余弦）規(guī)律變化時(shí)，則稱為正弦電壓源或正弦電流源。以正弦電壓源為例，有式中為正弦電壓的峰值，ω為正弦函數(shù)的角頻率，為初相位?！?―8受控電源(controlledsource

)受控源一般由兩條支路對(duì)外引出兩個(gè)端口（四個(gè)端子）構(gòu)成。其中一個(gè)為輸入端口，另一個(gè)為輸出端口。加在輸入端的是控制量，它可以是電壓也可以是電流，而在輸出端得到的則是被控制的電壓或電流。因此，受控電源（模型）可分為四種：(1)電壓控制電壓源（VCVS）；(2)電壓控制電流源（VCCS）；(3)電流控制電壓源（CCVS）；(4)電流控制電流源（CCCS）。為了與獨(dú)立源相區(qū)別，用菱形符號(hào)表示其電源部分。圖中控制端的u1和i1分別表示控制電壓和控制電流，受控端的μ、Υ、g、β分別是相關(guān)的控制系數(shù)。其中μ為受控端電壓（u2）與控制端電壓（u1）之比，即它是一個(gè)無量綱的純數(shù)，稱為電壓控制電壓源的轉(zhuǎn)移電壓比（或電壓放大系數(shù)）。

Υ為受控端電壓u2與控制電流i1之比，即它具有電阻的量綱，稱為電流控制電壓源的轉(zhuǎn)移電阻。

g為受控電流i2與控制端電壓u1之比，即它具有電導(dǎo)的量綱，稱為電壓控制電流源的轉(zhuǎn)移電導(dǎo)。

β為受控電流i2與控制電流i1之比，即它是一個(gè)無量綱的純數(shù)，稱為電流控制電流源的轉(zhuǎn)移電流比（或稱電流放大系數(shù)）。

在求解具有受控源的電路時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)首先要弄清楚受控源是受控電壓源還是受控電流源，每個(gè)受控源的控制量在哪里，控制量是電壓還是電流。(2)要注意受控電壓源是否有串聯(lián)電阻，受控電流源是否有并聯(lián)電阻。凡是有串聯(lián)電阻的受控電壓源和有并聯(lián)電阻的受控電流源稱為實(shí)際受控源，而沒有串聯(lián)電阻的受控電壓源和沒有并聯(lián)電阻的受控電流源稱為理想受控源。(3)在建立電路方程的過程中對(duì)受控源的處理與獨(dú)立電源無原則區(qū)別，唯一要注意的是：受控源的電壓（或電流）是取決于控制量的，不要把受控源的控制量消除掉。例4―5求本例圖所示電路中的電流i，其中VCVS的電壓為u2=0.5u1，電流源的iS=2A。解從圖中左方電路可知控制電壓u1為則§4―9含源電路的歐姆定律一、閉合電路的歐姆定律

如圖所示為一閉合電路，電源的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r，外電阻為R，電流I的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。設(shè)從A點(diǎn)出發(fā)，沿電流方向繞電路一周回到A點(diǎn)。經(jīng)過外電阻R時(shí)，電勢(shì)降落為IR，經(jīng)過電源時(shí)，電勢(shì)升高了ε，換言之，從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極時(shí)，電勢(shì)降落為（―ε）。同樣，沿電流方向經(jīng)電源內(nèi)阻r時(shí)，其電勢(shì)降落為Ir，最后回到A點(diǎn)。這樣把閉合回路上所有的“電勢(shì)降落”相加，其總和應(yīng)為零，即

IR―ε＋I(xiàn)r=0則 如果閉合電路中有多個(gè)電源，則上式可改寫為（4―20）這便是閉合電路歐姆定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。式中和為所有外電阻與所有電源內(nèi)阻之和，為電源電動(dòng)勢(shì)之和，其正負(fù)號(hào)可這樣確定：當(dāng)εi的方向與回路繞行方向一致時(shí)取正值，反之取負(fù)值。應(yīng)注意，這里“電勢(shì)降落”的含義是指沿回路繞行時(shí)，沿途電勢(shì)所經(jīng)歷的從高到低或從低到高的過程，統(tǒng)稱為“電勢(shì)降落”。二、一段含源電路的歐姆定律下圖所示的一段含源電路，如何來計(jì)算其兩端A、B間的電勢(shì)差呢？我們同樣可用“電勢(shì)降落”的方法來解決這類問題。因?yàn)殡妱?shì)差和電動(dòng)勢(shì)都是代數(shù)量，在列出電路方程時(shí)，為了確定電路中IiRi（或Iiri）及εi的正負(fù)號(hào)，特作如下約定：（1）任意選定一個(gè)沿電路的循行方向?yàn)闃?biāo)定參考方向；（2）若電路中電流方向與電路循行方向一致時(shí)，IRi（或Iri）為正，反之為負(fù)；（3）電路中εi的方向與電路循行方向相同，εi取負(fù)，反之取正；（4）如果電流Ii和電動(dòng)勢(shì)εi的方向事先不知道，則可對(duì)其假定一個(gè)方向。計(jì)算結(jié)果為正，說明假定方向與實(shí)際方向相同；計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明假定方向與實(shí)際方向相反。按照上述約定，對(duì)下圖中所示的電路可列出如下方程（電路的循行方向?yàn)橛葾到B）：即（4―21）

上式便是一段含源電路的歐姆定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。若>0，說明A點(diǎn)電勢(shì)高于B點(diǎn)電勢(shì)（UA>UB）；若<0，說明A點(diǎn)電勢(shì)低于B點(diǎn)電勢(shì)（UA<UB）。例4―6用導(dǎo)線將八個(gè)完全相同的電源順次連接為一閉合電路，如下圖所示。設(shè)每個(gè)電源的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r，求每個(gè)電源兩端的電壓。解由閉合電路的歐姆定律可得即ε=Ir設(shè)電路的繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，電流I的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，由一段含源電路的歐姆定律可知

UAB=ε―Ir=ε―ε=0結(jié)果表明，每個(gè)電源兩端的電勢(shì)差均為零，亦即該閉合電路中各點(diǎn)的電勢(shì)相等?！?―10基爾霍夫定律(Kirchhoff’sLaws)電路分為簡(jiǎn)單電路和復(fù)雜電路。凡是可以用串聯(lián)或并聯(lián)方法進(jìn)行單一簡(jiǎn)化的電路，稱為簡(jiǎn)單電路。然而有些電路僅憑串聯(lián)或并聯(lián)方法并不能完全進(jìn)行簡(jiǎn)化，這樣的電路稱為復(fù)雜電路，求解復(fù)雜電路的問題要應(yīng)用基爾霍夫定律。這里先介紹幾個(gè)相關(guān)的概念。

1、支路：在復(fù)雜電路中，通常把通有同一個(gè)電流的一段電路稱為一條支路。

2、節(jié)點(diǎn)：三條或三條以上的支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。

3、回路：由支路構(gòu)成的閉合路徑稱為回路。

4、網(wǎng)孔：復(fù)雜電路又稱為網(wǎng)絡(luò)。

一個(gè)網(wǎng)絡(luò)畫在平面上，除節(jié)點(diǎn)以外沒有任何支路相交疊，則稱為平面網(wǎng)絡(luò)或平面電路，平面網(wǎng)絡(luò)自然形成的互不重疊的回路稱為內(nèi)網(wǎng)孔，簡(jiǎn)稱網(wǎng)孔，它是一個(gè)自然的“孔”，在其所限定的孔區(qū)內(nèi)部不存在支路。左圖所示的平面網(wǎng)絡(luò)共有三條支路，即ab、acb、adb；兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，即a、b；三個(gè)回路，即abca、abda、adbca；兩個(gè)網(wǎng)孔，即abca、abda。共有4條支路2個(gè)節(jié)點(diǎn)共有5條支路3個(gè)節(jié)點(diǎn)復(fù)雜電路一般都是由集中參數(shù)元件相互連接而成，電路中各支路的電流和各支路的電壓（簡(jiǎn)稱支路電流和支路電壓）受到兩類約束。一類是受元件本身特性造成的約束。例如，線性電阻元件的電壓和電流必須滿足u=iR的關(guān)系，這種關(guān)系稱為元件的電壓電流關(guān)系，簡(jiǎn)寫為（VCR）。另一類約束是元件的相互連接給支路電流之間和支路電壓之間帶來的約束，有時(shí)稱之為“拓?fù)洹奔s束。基爾霍夫在總結(jié)了這類約束的基本規(guī)律后，于1848年提出了基爾霍夫電流定律（簡(jiǎn)寫為KCL）和電壓定律（簡(jiǎn)寫成KVL），也稱基爾霍夫第一定律和第二定律。一、基爾霍夫第一定律（KCL）基爾霍夫第一定律是用來研究節(jié)點(diǎn)電流規(guī)律的，其文字表述為：對(duì)于電路中任一節(jié)點(diǎn)，在任何時(shí)刻，流入該節(jié)點(diǎn)的電流恒等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流。寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式，即基爾霍夫第一定律的實(shí)質(zhì)是電荷守恒定律在電路理論中的具體表述，它揭示了電路中電流的連續(xù)性。電荷在電路中流動(dòng)，在任一點(diǎn)（包括節(jié)點(diǎn)在內(nèi)）它既不會(huì)消失，也不會(huì)堆積。

如果規(guī)定參考方向是流出節(jié)點(diǎn)的電流為正，則流入節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，于是基爾霍夫第一定律還可表述為：即電路中任一節(jié)點(diǎn)，在任何時(shí)刻流入（或流出）該節(jié)點(diǎn)電流的代數(shù)和恒等于零。此處的“代數(shù)和”是根據(jù)電流是流出節(jié)點(diǎn)還是流入節(jié)點(diǎn)來判斷的。

KCL不僅適用于電路中任一節(jié)點(diǎn)，也適用于電路中任一閉合面。如下圖所示的電路，取虛線表示的閉合面S（也叫電路的廣義節(jié)點(diǎn)），其內(nèi)有三個(gè)節(jié)點(diǎn)①、②、③，對(duì)這些節(jié)點(diǎn)分別有

將上面三個(gè)式子相加，即可求得對(duì)閉合面S的電流代數(shù)和為其中i1和i3流出閉合面，i2流入閉合面。二、基爾霍夫第二定律（KVL）

基爾霍夫第二定律指出：對(duì)電路中任一回路，在任一時(shí)刻，沿閉合回路電勢(shì)降落（電壓降）的代數(shù)和恒等于零。寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式，即

按上式列出電壓方程時(shí)，必須選定回路的循行（或稱繞行）方向（可選定為回路的順時(shí)針轉(zhuǎn)向，也可選定為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向），當(dāng)回路中所含支路電壓Ui的參考方向與回路循行方向一致時(shí)，Ui取正號(hào)；反之，Ui取負(fù)號(hào)。三、電路方程的獨(dú)立性實(shí)際過程中無須對(duì)電路中所有節(jié)點(diǎn)和回路都列出方程，而應(yīng)該判斷方程的獨(dú)立性：

可以證明：對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的電路，其獨(dú)立的KCL方程數(shù)為n-1，獨(dú)立的KVL方程數(shù)為b-(n-1)。獨(dú)立節(jié)點(diǎn)獨(dú)立回路三、電路方程的獨(dú)立性在已知電路中，可用以下兩種方法選取獨(dú)立回路：一種方法是，所選回路至少含有一條為其它被選回路所沒有的新支路則是獨(dú)立回路（此法為充分條件而非必要條件）；另一種方法是，對(duì)于