彎曲變形和剛度

彎曲變形和剛度第一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§10.1彎曲變形的基本概念第10章彎曲變形和剛度2第二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.1彎曲變形的基本概念一、工程中的彎曲變形問(wèn)題

工程中梁的變形和位移雖然都是彈性的，但設(shè)計(jì)中，對(duì)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的彈性變形和位移都有一定的限制。彈性變形和位移過(guò)大，也會(huì)使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能，即發(fā)生剛度失效。3第三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflectioncurve）。二、梁彎曲后的撓度曲線§6.1彎曲變形的基本概念4第四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：二、梁彎曲后的撓度曲線§6.1彎曲變形的基本概念5第五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日qqxM凸曲線凹曲線注意

拐點(diǎn)處彎矩為零，曲率為零。撓度曲線曲率與彎矩的關(guān)系拐點(diǎn)注意

判斷撓度曲線的形狀時(shí)應(yīng)注意梁的約束條件。彎矩為零彎矩為正彎矩為負(fù)判斷撓度曲線的大致形狀第六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日LLLmmmmmmmmmm分析和討論哪一種撓度曲線是正確的？M圖利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀第七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日LLLmmmmmmmm分析和討論哪一種撓度曲線是正確的？斜直線mm直線直線M圖利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀第八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日mmLLLmmmLLLmmm分析和討論兩種結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同嗎？?jī)煞N結(jié)構(gòu)的撓度曲線相同嗎？?jī)煞N結(jié)構(gòu)的撓度曲線之間有什么關(guān)系？?jī)煞N結(jié)構(gòu)的撓度曲線的曲率相同嗎？利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀第九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日［例］試畫(huà)出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫(xiě)出邊界條件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDam10第十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：作彎矩圖：邊界條件：（a）CaaABmDam/2m/211第十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：作彎矩圖：邊界條件：（b）CaaABqqa2/49qa2/3212第十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：作彎矩圖：邊界條件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/913第十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：作彎矩圖：邊界條件：（d）CaaABmDamm14第十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；

變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用表示；三、梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6.1彎曲變形的基本概念15第十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小變形情形下，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。

梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：三、梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6.1彎曲變形的基本概念16第十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：

在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝

w（x），稱為撓度方程（deflectionequation）。

三、梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6.1彎曲變形的基本概念17第十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日第6章彎曲變形和剛度§6.2撓曲線微分方程積分法18第十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式

小撓度微分方程

§6.2撓曲線微分方程積分法19第十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日小撓度情形下

對(duì)于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。

小撓度微分方程

§6.2撓曲線微分方程積分法20第二十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

小撓度微分方程

§6.2撓曲線微分方程積分法21第二十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

采用向下的w坐標(biāo)系，有

小撓度微分方程

§6.2撓曲線微分方程積分法22第二十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫(xiě)出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對(duì)x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

小撓度微分方程

§6.2撓曲線微分方程積分法23第二十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

積分常數(shù)的確定

§6.2撓曲線微分方程積分法24第二十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日1)支承條件：

2)連續(xù)條件：撓曲線是光滑連續(xù)唯一的lFAB式中C、D為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。

積分常數(shù)的確定

§6.2撓曲線微分方程積分法25第二十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例題

10.1

求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長(zhǎng)度為l。q、EI、l均已知。§6.2撓曲線微分方程積分法26第二十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

解：1．建立Oxw坐標(biāo)系

建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無(wú)需分段。

2．建立梁的彎矩方程O(píng)xw§6.2撓曲線微分方程積分法27第二十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

從坐標(biāo)為x的任意截面處截開(kāi)，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)§6.2撓曲線微分方程積分法28第二十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日3．

建立微分方程并積分Oxw

解：2．建立梁的彎矩方程將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

§6.2撓曲線微分方程積分法29第二十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日3．

建立微分方程并積分Oxw積分后，得到

§6.2撓曲線微分方程積分法30第三十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：

§6.2撓曲線微分方程積分法31第三十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程§6.2撓曲線微分方程積分法32第三十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。

于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：

§6.2撓曲線微分方程積分法33第三十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例題

2

求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。

已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知?！?.2撓曲線微分方程積分法34第三十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

解：1．

確定梁約束力

因?yàn)锽處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。

首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

2．

分段建立梁的彎矩方程

在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。§6.2撓曲線微分方程積分法35第三十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日AB段

解：2．

分段建立梁的彎矩方程BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

§6.2撓曲線微分方程積分法36第三十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分§6.2撓曲線微分方程積分法37第三十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定?！?.2撓曲線微分方程積分法38第三十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2§6.2撓曲線微分方程積分法39第三十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0§6.2撓曲線微分方程積分法40第四十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角

將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

§6.2撓曲線微分方程積分法41第四十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫(xiě)出彎矩方程§6.2撓曲線微分方程積分法42第四十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日第6章彎曲變形和剛度§6.3疊加法43第四十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.3疊加法

在很多工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱為撓度表。

基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個(gè)重要概念，以及在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原理，采用疊加法（superpositionmethod）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。44第四十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日Cl/2l/2ABMeCl/2l/2ABFCl/2l/2ABqCl-bbABF§6.3疊加法--撓度表45第四十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日qlABFlABlABMe§6.3疊加法--撓度表46第四十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

§6.3疊加法47第四十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。CL/2L/2BF1F2F3Fn疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形§6.3疊加法48第四十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角B。例題

3§6.3疊加法49第四十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡(jiǎn)單的情形。§6.3疊加法50第五十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角?！?.3疊加法51第五十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：3.應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加

將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

§6.3疊加法52第五十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日53§6.3疊加法53第五十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日54梁的總長(zhǎng)為l§6.3疊加法54第五十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日55BB§6.3疊加法55第五十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形§6.3疊加法56第五十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L(zhǎng)上連續(xù)分布載荷，然后在原來(lái)沒(méi)有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形§6.3疊加法57第五十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C。例題

4§6.3疊加法58第五十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用撓度表中關(guān)于梁全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

§6.3疊加法59第五十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

分別畫(huà)出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

§6.3疊加法60第六十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日變形后AB部分為曲線，但BC部分仍為直線。xM§6.3疊加法61第六十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

§6.3疊加法62第六十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：3．將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加

§6.3疊加法63第六十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日依據(jù)：若結(jié)構(gòu)可分為若干部分，且各部分在荷載作用下的變形不是相互獨(dú)立的，那么，結(jié)構(gòu)中某點(diǎn)的位移是各個(gè)部分在這一荷載作用下的變形在該點(diǎn)所引起的位移的疊加。二、逐段變形效應(yīng)疊加法(逐段剛化法)64第六十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日FFFFFFFFFFFw3FFFFFFw2FFFFFFw1FLaABC例

求力

F作用點(diǎn)處的豎向位移

w。65第六十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例3

結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說(shuō)明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價(jià)等價(jià)xwxwwPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxw66第六十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日6767第六十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日用疊加法求圖示外伸梁的θC和vC，梁的抗彎剛度是EI。aBACaqaM=qa2P=qa解使用疊加積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。(a)將梁上的載荷分解為三種簡(jiǎn)單載荷單獨(dú)作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)68第六十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日(b)而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)’BACaqaaqa(32)’BACaaaqa2/269第六十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日(c)應(yīng)用撓度表確定三種下，梁c點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角和撓度。查表：70第七十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日而對(duì)第三種情形下二種載荷單獨(dú)作用下，應(yīng)用疊加法進(jìn)行疊加。(d)應(yīng)用疊加法，將三種情形下轉(zhuǎn)角和撓度疊加。71第七十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日(已知AB段和BC段的長(zhǎng)度都為a)72第七十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日ABCCC’B’73第七十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日7474第七十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日7575第七十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.4彎曲剛度計(jì)算第6章彎曲變形和剛度76第七十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。

梁的剛度條件

§6.4彎曲剛度計(jì)算77第七十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。

試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題

5§6.4彎曲剛度計(jì)算78第七十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

B1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為§6.4彎曲剛度計(jì)算79第七十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角

由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

§6.4彎曲剛度計(jì)算80第八十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

§6.4彎曲剛度計(jì)算81第八十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.4彎曲剛度計(jì)算82第八十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.4彎曲剛度計(jì)算83第八十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.4彎曲剛度計(jì)算84第八十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.4彎曲剛度計(jì)算85第八十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6.5提高梁剛度的措施第6章彎曲變形和剛度86第八十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日提高梁彎曲剛度的措施：xyFL增大EI。減小跨度。改善梁的受力情況。增加支承。減小最大彎矩87第八十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx提高梁彎曲剛度的措施：88第八十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長(zhǎng)度l。當(dāng)梁的長(zhǎng)度無(wú)法減小時(shí)，則可增加中間支座。

例如，在車床上加工較長(zhǎng)的工件時(shí)，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤(pán)與尾架之間再增加一個(gè)中間支架。提高梁彎曲剛度的措施：89第八十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

第10章彎曲變形和剛度90第九十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日3-3=0lMAABFAyFAxq求解靜不定梁示例§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

91第九十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日4-3=1lABMAFAyFAxFB求解靜不定梁示例§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

92第九十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

93第九十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例題

10-7求:

梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI，長(zhǎng)度為l。BAl§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

94第九十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：1.列出平衡方程2.列出變形協(xié)調(diào)方程

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

95第九十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日3.列出物性關(guān)系2.列出變形協(xié)調(diào)方程

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

96第九十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：4.綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,BlAMAFAyFAxFB§10.6簡(jiǎn)單的靜不定梁

97第九十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

結(jié)論與討論98第九十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

99第九十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？

正確回答這些問(wèn)題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系100第一百頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

BC段有沒(méi)有變形？有沒(méi)有位移？沒(méi)有變形為什么會(huì)有位移？FPABC總體變形是微段變形累加的結(jié)果。

有位移不一定有變形。101第一百零一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線102第一百零二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

由M

的方向確定軸線的凹凸性。

由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓度曲線的大致形狀及位置。

關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線

103第一百零三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫(huà)出梁的撓度曲線的大致形狀104第一百零四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日105第一百零五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日知識(shí)就是力量培根離開(kāi)教育人將一無(wú)是處康德課間休息106第一百零六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日曲率

二曲率及其計(jì)算公式一弧微分三曲率圓與曲率半徑107第一百零七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日規(guī)定：一弧微分易看出：弧長(zhǎng)是的單調(diào)增函數(shù).108第一百零八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日下面求的導(dǎo)數(shù)與微分109第一百零九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日弧微分公式110第一百一十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日------描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。))1）弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大，2）轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大。1曲率的定義)二、曲率及其計(jì)算公式111第一百一十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日)yxo（設(shè)曲線C是光滑的，（定義曲線C在點(diǎn)M處的曲率112第一百一十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例1直線的曲率處處為零.例2圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.113第一百一十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日2曲率的計(jì)算公式114第一百一十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：A點(diǎn)處梁的曲率半徑為

,即彎曲變形長(zhǎng)度為L(zhǎng)，重量為P的等截面直梁，放置在水平剛性平面上。若在端點(diǎn)施力P/3上提，未提起部分仍保持與平面密合，試求提起部分的長(zhǎng)度。115第一百一十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日qmaxfmax解：建立坐標(biāo)系如圖x處彎矩方程為：

例1

圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線方程。

yxFx116第一百一十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例2求圖示梁受集中力F作用時(shí)的撓曲線方程。FabClABFAFB解：1、求支反力117第一百一十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程的積分并積分xyFLa例3求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。118第一百一十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)FLaxy119第一百一十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日寫(xiě)出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角FLaxy120第一百二十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例4用積分法求圖示梁（剛度為EI）的wA

、B

、A

及最大撓度。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：用邊界條件確定積分常數(shù)：Cl/2l/2ABMeFAxy121第一百二十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例5用積分法求下列各梁（剛度為EI）的wA

、B

、A

及最大撓度。Cl/2l/2ABMeFAxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：122第一百二十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日[例6]用積分法求梁（剛度為EI）的

wA

和B

。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：FBClaABFxy123第一百二十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日[例7]用積分法求梁（剛度為EI）的wA

和B

。彎曲變形用邊界條件確定積分常數(shù)：FBClaABFxy124第一百二十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：FBClaABFxy125第一百二十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACD例8已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。126第一百二十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日由連續(xù)條件：由邊界條件：由對(duì)稱條件：10￡￡xaq12126113=--qaEIax()22￡￡axaq2222336311=--+-+qEIaxxaa[()127第一百二十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日10￡￡xa22￡￡axa12113611=--yqaEIaxx()223243224444=--+-+yqEIaxxaax[()]目錄128第一百二十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例1按疊加原理求A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。qqFF=+AAABBBCaa129第一百二十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日qqFF=+AAABBB

Caa疊加130第一百三十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例2按疊加原理求C截面撓度。解：載荷無(wú)限分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。疊加q00.5L0.5LxyCxdx131第一百三十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例3用疊加法求梁（剛度為EI）的wB

和B

。解：Cl/2l/2ABFCl/2l/2ABFqCl/2l/2ABqBqwBq132第一百三十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例4用疊加法求梁（剛度為EI）的wB

和B

。解：Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABqB2wB2133第一百三十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日彎曲變形qCABl/2l/2例5用疊加法求梁（剛度為EI）的

wC

。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：134第一百三十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和B

。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABFCl/2l/2ABFl=+彎曲變形135第一百三十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和B

。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABF=Cl/2l/2ABFl+彎曲變形Cl/2l/2ABFFl/2136第一百三十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和B

。解：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa=+彎曲變形wA1B1137第一百三十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和B

。ACaBaaqCaABaa+=彎曲變形qa2/2qawA2B2wA3qAB138第一百三十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和B

。qCaABqaaa+彎曲變形CaABqaaa=wA1B1ACaBaa+qa2/2wA2B2wA3qABqa139第一百三十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD

＝0，求：F

與

q

的關(guān)系及

wC

。解：F彎曲變形CaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF140第一百四十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD

＝0，求：F

與

q

的關(guān)系及

wC

。FCaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF141第一百四十一頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6-4梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；、確定許可載荷。彎曲變形142第一百四十二頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日L=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB例9

一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C截面的[w]=110-5m,B截面的[]=0.001rad,試核此桿的剛度。=++=F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAM143第一百四十三頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日F2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單

載荷變形。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy144第一百四十四頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日F2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy疊加求復(fù)雜載荷下的變形145第一百四十五頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日校核剛度彎曲變形146第一百四十六頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日[例10]已知：F=20KN，E=200GPa，規(guī)定A處的許可轉(zhuǎn)角為：[]=0.50

。試確定軸的直徑。解：用逐段剛化法：（設(shè)軸的直徑為d）CABF20001000CABF20001000mF=+147第一百四十七頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日§6-6

簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解法：建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)

確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束得到原結(jié)構(gòu)的靜定基相當(dāng)系統(tǒng)（基本結(jié)構(gòu)）。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LFBABxy148第一百四十八頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LFBAB=FBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、

變形等）149第一百四十九頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日彎曲變形q0LFBAB求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形等）MAFAFSM150第一百五十頁(yè)，共一百六十七頁(yè)，2022年，8月28日幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)=例1

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC彎曲變形xyq0LABCq0LFBAB=F