初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)第五章分式與分式方程4．分式方程“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

課題：分式方程課型：新授課年級(jí)：八年級(jí)教學(xué)目標(biāo)：1．經(jīng)歷分式方程的概念，能將實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系用分式方程表示，體會(huì)分式方程的模型作用．2.經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題－分式方程方程模型”的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想人體，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，歸納出分式方程的定義.難點(diǎn)：能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系列出分式方程.教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情景，自然引入在這一章的第一節(jié)《分式》中，我們?cè)芯窟^(guò)一個(gè)“固沙造林，綠化家園”的問(wèn)題：面對(duì)目前嚴(yán)重的土地沙化問(wèn)題，某縣決定分期分批固沙造林，一期工程計(jì)劃在一定期限內(nèi)固沙造林2400公頃，實(shí)際每月固沙造林的面積比原計(jì)劃多30公頃，結(jié)果提前4個(gè)月完成原計(jì)劃任務(wù)．那么原計(jì)劃每月固沙造林多少公頃呢？當(dāng)時(shí)，我們?cè)O(shè)原計(jì)劃每月固沙造林x公頃，那么原計(jì)劃完成一期工程需要個(gè)月，實(shí)際完成一期工程用了個(gè)月.根據(jù)題意，可得方程.中，，是不同于整式的代數(shù)式，我們稱之為分式.像這樣的方程我們稱之為分式方程，它和我們學(xué)過(guò)的一元一次方程一樣能刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界，是一種反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型.今天我們共同走進(jìn)它，研究它．【教師板書(shū)課題：分式方程（1）】設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面學(xué)過(guò)的題目，做好知識(shí)的銜接，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，也說(shuō)明數(shù)學(xué)來(lái)源于生活實(shí)際，實(shí)際問(wèn)題需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的求知欲，引入新課.．二、交流討論探索新知活動(dòng)1：路程問(wèn)題同學(xué)們認(rèn)識(shí)這兩種車(chē)嗎？（出示圖片）它們的區(qū)別同學(xué)們知道嗎？第一種是特快列車(chē)，第二種是高鐵列車(chē)．一般來(lái)講高鐵速度最快（平均時(shí)速300km/h左右），特快最慢（平均時(shí)速100km/h左右），高鐵也屬于動(dòng)車(chē)的一種，與普通動(dòng)車(chē)的區(qū)別主要是使用專用路線，所用車(chē)底也不一樣．特快與平時(shí)最常見(jiàn)的列車(chē)沒(méi)有太大區(qū)別，停站少，總體運(yùn)行速度稍快而已．設(shè)計(jì)意圖：課外知識(shí)的擴(kuò)充，充分地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性，為下一步解疑創(chuàng)造良好的氛圍．師：現(xiàn)在就一道有關(guān)這兩種列車(chē)的數(shù)學(xué)問(wèn)題考考同學(xué)們，接受挑戰(zhàn)吧！（多媒體出示）甲、乙兩地相距1400甲、乙兩地相距1400km，乘高鐵列車(chē)從甲地到乙地比乘特快列車(chē)少用9h，已知高鐵列車(chē)的平均行駛速度是特快列車(chē)的倍．問(wèn)題：(1)你能找出這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？（兩兩交流）(2)如果設(shè)特快列車(chē)的平均行駛速度為xkm/h，那么x滿足怎樣的方程？(3)如果設(shè)小明乘高鐵列車(chē)從甲地到乙地需yh，那么y滿足怎樣的方程？處理方式:小組討論交流，教師巡視指導(dǎo).由小組代表講一講想法.(1)等量關(guān)系:乘高鐵列車(chē)所用的時(shí)間+9h=乘特快列車(chē)所用的時(shí)間．高鐵列車(chē)速度=特快列車(chē)速度×．乘高鐵列車(chē)所用的時(shí)間==．乘特快列車(chē)所用的時(shí)間=．(2)如果設(shè)特快列車(chē)的平均行駛速度為xkm/h，那么x滿足方程：．(3)如果設(shè)小明乘高鐵列車(chē)從甲地到乙地需yh，那么y滿足方程：．設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生好奇的心理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，在學(xué)生感到新奇的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，無(wú)疑對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了良好的氛圍；通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，使學(xué)生拾階而上，降低了學(xué)習(xí)的難度，增強(qiáng)了自信心，贏得了成就感．活動(dòng)2：捐款問(wèn)題我國(guó)是世界上自然災(zāi)害種類最多的國(guó)家，自然災(zāi)害也給一些地區(qū)造成重創(chuàng)（播放圖片），每當(dāng)這時(shí)全國(guó)人民都會(huì)紛紛伸出友誼之手，捐出自己的一份愛(ài)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為下面問(wèn)題的提出做鋪墊.（多媒體出示）為了幫助遭受自然災(zāi)害地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)自愿捐款．已知七年級(jí)同學(xué)捐款總額為4800元，八年級(jí)同學(xué)捐款總額為5000元，八年級(jí)捐款人數(shù)比七年級(jí)多20人，而且兩個(gè)年級(jí)人均捐款額恰好相等，如果設(shè)七年級(jí)捐款人數(shù)為為了幫助遭受自然災(zāi)害地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)自愿捐款．已知七年級(jí)同學(xué)捐款總額為4800元，八年級(jí)同學(xué)捐款總額為5000元，八年級(jí)捐款人數(shù)比七年級(jí)多20人，而且兩個(gè)年級(jí)人均捐款額恰好相等，如果設(shè)七年級(jí)捐款人數(shù)為x人，那么x滿足怎樣的方程？溫馨提示：可借助表格分析題目．

捐款總額捐款人數(shù)人均捐款額第一次

第二次

處理方式：學(xué)生獨(dú)立思考，然后組織討論，交流，教師巡視，給予必要的指導(dǎo).教學(xué)建議：要給學(xué)生一定的思考時(shí)間，讓學(xué)生積極投身于問(wèn)題情景中，此時(shí)，每位同學(xué)都有了一定的找等量關(guān)系的感覺(jué)，先讓他們自己完成，再小組討論．如果設(shè)七年級(jí)捐款人數(shù)為x人，根據(jù)題意，可得方程：.（師黑板板書(shū)）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟練掌握“找等量關(guān)系——列分式方程”，并將此所得方程和前兩個(gè)方程，作為下面歸納分式方程定義的依據(jù).活動(dòng)三：感悟升華（多媒體出示），，，．上面所得到的方程有什么共同特點(diǎn)？這樣的方程怎么稱呼?特點(diǎn)：分母中都含有未知數(shù)，這些方程都有分式.強(qiáng)調(diào)方式方程的定義：分母中含有未知數(shù)方程是分式方程.溫馨提示：溫馨提示：判斷分式方程的條件：①方程；②分母中含有未知數(shù)。【跟蹤練習(xí)】找找看！下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程?（1）；（2）；（3）；（4）.思考：整式方程與分式方程有什么區(qū)別？整式方程的分母中不含有未知數(shù)，分式方程的分母中含有未知數(shù).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、總結(jié)出整式方程與分式方程的異同，從而得出分式方程的概念三、課堂練習(xí)，鞏固提高1.據(jù)聯(lián)合國(guó)《2023年全球投資報(bào)告》指出,中國(guó)2023年吸收外國(guó)投資額達(dá)530億美元,居全球第二位,比上一年增加了13%.設(shè)2023年我吸國(guó)收外國(guó)投資額為x億美元，請(qǐng)你寫(xiě)出x滿足的方程.你能寫(xiě)出幾個(gè)？其中哪一個(gè)是分式方程？參考答案：2.［小麥實(shí)驗(yàn)田問(wèn)題］有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg.已知第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求這兩塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量.提出問(wèn)題：1.在這個(gè)問(wèn)題中涉及到了哪幾個(gè)基本量？它們的關(guān)系如何？涉及到三個(gè)基本量：總產(chǎn)量，每公頃試驗(yàn)田的產(chǎn)量，試驗(yàn)田的面積.其中總產(chǎn)量=每公頃試驗(yàn)田的產(chǎn)量×試驗(yàn)田的面積.第一塊試驗(yàn)田的面積=第二塊試驗(yàn)田的面積;（a）第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量+3000kg=第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量.（b）問(wèn)題2.如果設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為xkg，那么第二塊試驗(yàn)田每公傾的產(chǎn)量是多少kg呢？法1：根據(jù)等量關(guān)系（b），可知第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量是（x+3000）kg.根據(jù)題意，利用等量關(guān)系（a），可得方程：=. 法2：根據(jù)等量關(guān)系（a），我們可以設(shè)兩塊試驗(yàn)田的面積都為x公頃，那么表示第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量，表示第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量，根據(jù)等量關(guān)系（b）可列出方程：+3000= （3）處理方式：學(xué)生獨(dú)立思考后舉手口答.（多媒體展示）3.從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長(zhǎng)600km的普通公路，另一條是全長(zhǎng)480km的高速公路.某客車(chē)在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半.求該客車(chē)由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間.思考：這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？如果設(shè)客車(chē)由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為h，那么它由普通公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為_(kāi)________h.根據(jù)題意，可得方程______________________.處理方式：學(xué)生分組探討、交流，列出方程.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)置較低的起點(diǎn)，讓學(xué)生更容易理解，通過(guò)不斷的交流——總結(jié)，讓學(xué)生掌握并鞏固知識(shí)，不但可以提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率，也有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.四、課堂小結(jié)，反思提高通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？你學(xué)會(huì)了哪些方法？處理方式：學(xué)生口答:什么是分式方程？注意掌握列分式方程的基本步驟：一審：審清題意，弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系.二設(shè)：設(shè)未知數(shù).三列：列代數(shù)式，列方程.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)總結(jié)反思，了解自己本節(jié)課知識(shí)掌握的程度，進(jìn)一步升華對(duì)本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)的理解.四、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，反饋矯正1、下列各式中，是分式方程的是()+y=5 B.C. D.=02.“退耕還林還草”是在我國(guó)西部地區(qū)實(shí)施的一項(xiàng)重要生態(tài)工程．某地規(guī)劃退耕面積共69000，退耕還林與退耕還草的面積比為5∶3，設(shè)退耕還林的面積為x，那么x滿足怎樣的分式方程？3.王軍同學(xué)準(zhǔn)備在課外活動(dòng)時(shí)間組織部分同學(xué)參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，按原定的人數(shù)估計(jì)共需費(fèi)用300元。后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費(fèi)用享受了優(yōu)惠，一共只需要480元，參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用比原計(jì)劃少4元，原定的人數(shù)是多少？處理方式：討論后，各小組可選代表回答上面的問(wèn)題.參考答案：3題設(shè)未知數(shù)的方法采用下面方法：法1：設(shè)原定是x人，那么每人平均分?jǐn)傇蝗藬?shù)增加到原來(lái)人數(shù)的2倍后，每人平均分?jǐn)傇鶕?jù)題意，利用等量關(guān)系（d），得方程：－4= . 法2：設(shè)原定每人平攤y元，那么原定人數(shù)為人；實(shí)際參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)平攤（y－4）元，那么實(shí)