初中數(shù)學浙教版八年級下冊第4章平行四邊形4．6反證法

4．6反證法1．用反證法證明“a<b”時，第一步應假設(C)A．a>bB．a≤bC．a≥bD．a≠b2．用反證法證明“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行”時，第一步應假設(D)A．兩條直線相交B．兩條直線不垂直C．在同一平面內，兩條直線不同時垂直于同一條直線D．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線相交3．用反證法證明“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應先假設(D)A.有一個銳角小于45°B.每一個銳角都小于45°C.有一個銳角大于45°D.每一個銳角都大于45°4．用反證法證明“若實數(shù)a，b滿足ab＝0，則a，b中至少有一個是0”時，應先假設(C)A．a，b中至多有一個是0B．a，b中至少有兩個是0C．a，b中沒有一個是0D．a，b都等于0(第5題)5．如圖，直線AB，CD相交．求證：AB，CD只有一個交點．證明：假設AB，CD交于兩點O與O′，那么過O，O′兩點就有__兩__條直線．這與“兩點確定一條直線”矛盾，所以假設不成立，則AB，CD只有一個交點．6．用反證法證明“若|a|≠|b|，則a≠b”時，應先假設a＝b．7．完成下面的證明，用反證法證明“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行”．已知：如圖，直線a，b被直線c所截，∠1≠∠2.求證：直線a不平行于直線b.證明：假設a∥b，那么∠1＝∠2(兩直線平行，同位角相等)，這與已知的∠1≠∠2矛盾，∴假設a∥b不成立，∴直線a與直線b不平行．(第7題)(第8題)8．用反證法證明：兩直線平行，同旁內角互補(填空)．已知：如圖，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求證：∠1＋∠2＝180°.證明：假設∠1＋∠2__≠__180°.∵l1∥l2(已知)，∴∠1__＝__∠3(兩直線平行，同位角相等)．∵∠1＋∠2__≠__180°，∴∠3＋∠2≠180°，這和平角的定義矛盾，∴假設∠1＋∠2__≠__180°不成立，∴∠1＋∠2＝180°.9．求證：兩個三角形有兩條邊對應相等，如果所夾的角不相等，那么夾角所對的邊也不相等．【解】已知：如解圖，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.(第9題解)求證：AC≠A′C′.證明：假設AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，這與已知矛盾，∴假設不成立，∴AC≠A′C′.(第10題)10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE相交于點H.求證：AD與BE不能被點H互相平分．【解】假設AD，BE被點H互相平分，連結DE，則四邊形ABDE是平行四邊形．∴AE∥BD，即AC∥BC.這與“AC，BC相交于點C”矛盾，∴假設AD，BE被點H互相平分不成立．∴AD與BE不能被點H互相平分．11．已知a，b，c，d四個數(shù)滿足a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd＞1.求證：這四個數(shù)中至少有一個是負數(shù)．【解】假設這四個數(shù)都大于零或等于零．∵a＋b＝1，c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc＝1.∵a，b，c，d都大于零或等于零，∴ad＋bc≥0，∴ac＋bd≤1，這與“ac＋bd＞1”矛盾，∴假設不成立．∴a，b，c，d這四個數(shù)中至少有一個是負數(shù)．12．求證：形如4x＋3的整數(shù)k(x為整數(shù))不能化為兩個整數(shù)的平方和．【解】假設k＝a2＋b2.當a，b都是偶數(shù)時，即a＝2m，b＝2n，m，n為整數(shù)時，可得k＝a2＋b2＝4m2＋4n2＝4(m2＋n2)＝4p(其中p為整數(shù))；當a，b都是奇數(shù)時，即a＝2m＋1，b＝2n＋1，m，n為整數(shù)時，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2＋n)＋2＝4p＋2(其中p為整數(shù))；當a與b為一奇一偶時，不妨設a＝2m＋1，b＝2n，m，n為整數(shù)，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2)＋1＝4p＋1(其中p為整數(shù))．∴k被4除的余數(shù)是0，1或2，這與“k＝4x＋3(x為整數(shù))”矛盾，所以假設不成立，即形如4x＋3的整數(shù)k(x為整數(shù))不能化為兩個整數(shù)的平方和．13．設a，b，c是不全相等的任意整數(shù)，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求證：x，y，z中至少有一個大于零．【解】假設x≤0，y≤0，z≤0，則x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2))，又∵a，b，c是不全相等的任意整數(shù)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2))＞0，這與“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假設不成立．∴x，y，z中至少有一個大于零．14．用反證法證明：若整數(shù)系數(shù)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)存在有理數(shù)根，則a，b，c中至少有一個是偶數(shù)．【解】假設a，b，c都為奇數(shù).∵方程存在有理數(shù)根，∴eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)為有理數(shù)，∴eq\r(b2－4ac)為有理數(shù)．∵a，b，c均為整數(shù)，∴b2－4ac必為整數(shù)，且是完全平方數(shù)，∴可設b2－4ac＝d2，d為整數(shù)，則(b＋d)(b－d)＝4ac.∵b為奇數(shù)，(b＋d)與(b－d)的奇偶性相同，且4ac為偶數(shù)，∴d只能是奇數(shù)，故可設b＝2p＋1，d＝2q＋1，p，q為整數(shù)，則b2－d2＝(b＋d)(b－d)＝(2p＋2q＋2)(2p－2q)＝4ac，(p＋q＋1)