中小學(xué)數(shù)學(xué)基本思想分析

中小學(xué)數(shù)學(xué)基本思想分析

§0導(dǎo)言數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想的探究數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵

導(dǎo)言2導(dǎo)言在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有兩條線索：

一條是顯性的知識線索，如概念、法則、公式、性質(zhì)等，這是一條有形的線索。

另一條是隱性的數(shù)學(xué)思想與方法線索，它是蘊涵、滲透在知識體系之中的，是一條無形的線索。

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生，發(fā)展之中.

3導(dǎo)言

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2001年版）總體目標(biāo)的第一條提出:“讓學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)知識(包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）總體目標(biāo)的第一條修改為，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能:“獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”4導(dǎo)言并把“四基”與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)整合為：掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。這一總體目標(biāo)不僅貫穿于小學(xué)和初中，而且也應(yīng)貫穿于高中的數(shù)學(xué)教學(xué)，說明數(shù)學(xué)基本思想的重要性。5導(dǎo)言著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到了正確的道路?！比毡局麛?shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身”。6§1、數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想的探究數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵

導(dǎo)言7§1、數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵數(shù)學(xué)是什么1數(shù)學(xué)思想是什么2數(shù)學(xué)基本思想是什么3數(shù)學(xué)思想方法是什么48§1、數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵數(shù)學(xué)是什么一是從數(shù)學(xué)所從屬的工作領(lǐng)域來看，數(shù)學(xué)是技術(shù)；數(shù)學(xué)是邏輯；數(shù)學(xué)是自然科學(xué)；數(shù)學(xué)是科學(xué)；數(shù)學(xué)是藝術(shù)；數(shù)學(xué)是文化；二是從數(shù)學(xué)研究的對象來看，數(shù)學(xué)研究數(shù)和量；數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式；數(shù)學(xué)研究計算；數(shù)學(xué)研究模型；數(shù)學(xué)研究結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)研究演繹系統(tǒng)；數(shù)學(xué)研究無窮；三是從數(shù)學(xué)的社會價值來看，數(shù)學(xué)是語言；數(shù)學(xué)是工具；數(shù)學(xué)是框架；數(shù)學(xué)是符號游戲；

9數(shù)學(xué)是什么

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2001年版）指出；數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并形成廣泛應(yīng)用的過程；數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值；數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其它科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面都有著獨特的作用；數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分

101、數(shù)學(xué)是什么

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出；數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)；數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具；數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。11§1、數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵數(shù)學(xué)是什么1數(shù)學(xué)思想是什么2數(shù)學(xué)基本思想是什么3數(shù)學(xué)思想方法是什么4122、數(shù)學(xué)思想是什么

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果；數(shù)學(xué)思想，是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識；數(shù)學(xué)思想，是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識，就是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點，它在后繼認(rèn)識運動中被反復(fù)證實其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)中的理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)中的高度抽象、概括的內(nèi)容，它蘊涵于運用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中。13§1、數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵數(shù)學(xué)是什么1數(shù)學(xué)思想是什么2數(shù)學(xué)基本思想是什么3數(shù)學(xué)思想方法是什么4143、數(shù)學(xué)基本思想是什么

數(shù)學(xué)基本思想，是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛性的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。15§1、數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵數(shù)學(xué)是什么1數(shù)學(xué)思想是什么2數(shù)學(xué)基本思想是什么3數(shù)學(xué)思想方法是什么4164、數(shù)學(xué)思想方法是什么

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式；數(shù)學(xué)思想往往是觀念的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的；而數(shù)學(xué)方法是在應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時，對某一類問題反復(fù)推敲，逐漸形成某一類程序化的操作。數(shù)學(xué)方法往往是操作的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。如等量代換法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、配方法、列表法等等。因此，數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)方法。然而，數(shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)，數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想。因此，我們往往把二者結(jié)合起來應(yīng)用于問題解決中，統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。17§3、數(shù)學(xué)基本思想的探究數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想的探究數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵

導(dǎo)言18§3、數(shù)學(xué)基本思想的探究史寧中、劉曉玫兩位教授在“對數(shù)學(xué)教育中幾個基本問題的認(rèn)識”一文中說：數(shù)學(xué)的基本思想有兩條,

一是演繹的思想;

二是歸納的思想。

在中國傳統(tǒng)的意義上,只有歸納的方法,

沒有演繹的方法.

如秦九韶的高次方程求解、同余法等世界領(lǐng)先水平,

依賴的就是歸納推理。但是,

自從歐幾里德幾何傳入中國之后,

中國又只重視演繹的思想,

而忽視了歸納的思想。19§3、數(shù)學(xué)基本思想的探究

歸納在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的滲透,一方面是要教會學(xué)生從一些個別現(xiàn)象出發(fā),從一些個性出發(fā),來推究一般的事物有沒有相同的結(jié)論；或者是根據(jù)一種現(xiàn)象,來推究產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因,即考慮因果關(guān)系。

另一方面,歸納的思想與分類有關(guān)。分類是把一大類細(xì)分為若干個不同的小類。分類是有標(biāo)準(zhǔn)的,有了標(biāo)準(zhǔn)才能在標(biāo)準(zhǔn)下分類,分類需要符合這類和那類之間不相交的基本思想。如果每一小類中都有這樣的性質(zhì),是不是這一大類東西就都有這個性質(zhì),也就是從一個個小的類出發(fā),進而推測到更大的一類是不是具有相同的結(jié)論,這種思想就是歸納。實際上,

從小學(xué)一年級開始就教分類,也就滲透了歸納這種思想20§3、數(shù)學(xué)基本思想的探究

黃翔教授在“關(guān)于數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂變化情況解讀”中說：《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》制定組組長、東北師范大學(xué)校長史寧中教授提出了“數(shù)學(xué)教學(xué)的四基”,引起了數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注。以前強調(diào)的雙基是指基礎(chǔ)知識、基本技能,

雙基教學(xué)重視的傳授,講究精講多練，主張“練中學(xué)”，相信“熟能生巧”，追求基礎(chǔ)知識的記憶和掌握、基本技能的操演與熟練，以使學(xué)生獲得扎實的基礎(chǔ)知識、熟練的基本技能和較高的學(xué)科能力為其主要的教學(xué)目標(biāo)?，F(xiàn)在提出的四基不但包括了基礎(chǔ)知識、基本技能,

還增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗?！盎舅枷胫饕侵秆堇[和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想”。這里所說的思想，是大的思想，不僅僅是在數(shù)學(xué)學(xué)科中，是希望學(xué)生領(lǐng)會之后能夠終生受益的那種思想21§3、數(shù)學(xué)基本思想的探究

有的學(xué)者強調(diào)，如果站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來看，數(shù)學(xué)的基本思想有三個：抽象、推理、模型。

人們通過抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科；通過推理，進一步得到更多的結(jié)論，促進數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；通過建模，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，溝通了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。比如，由數(shù)量抽象到數(shù)，由數(shù)量關(guān)系抽象到方程、函數(shù)（如正反比例）等；通過推理計算可以求解方程；有了方程等模型，就可以把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中。22§3、數(shù)學(xué)基本思想的探究

有的學(xué)者則認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的基本思想，主要有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想和數(shù)學(xué)審美的思想?！闭J(rèn)為“通過數(shù)學(xué)審美，看到數(shù)學(xué)‘透過現(xiàn)象看本質(zhì)’、‘和諧統(tǒng)一眾多事物’中美的成份，感受到數(shù)學(xué)‘以簡馭繁’、‘天衣無縫’給我們帶來的愉悅，并且從‘美’的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)?！?/p>

上述這些基本思想應(yīng)該屬于數(shù)學(xué)思想的最高層面，由其演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學(xué)思想還有很多，比如：歸納思想、演繹思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想、對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、集合思想、方程思想、函數(shù)思想、符號化思想、等等。下面僅就歸納思想、演繹思想和轉(zhuǎn)化思想作較為詳細(xì)的探討23§3、數(shù)學(xué)基本思想演繹思想2轉(zhuǎn)換思想324§3.1、歸納思想

歸納思想是由個別、特殊到一般的認(rèn)識過程；是通過對特例或事物的一部分進行觀察與綜合，進而發(fā)現(xiàn)和提出關(guān)于一般性結(jié)論或規(guī)律的過程；是通過揭露對象的部分屬性過渡到對象整體屬性的過程

歸納思想雖然考察的只是若干個別現(xiàn)象，但是所得結(jié)論卻能超出考察的范圍，具有一般性。

歸納思想的認(rèn)識依據(jù)在于同類事物的各種特殊情形中蕰含的同一性和相似性25§3.1、歸納思想歸納思想的邏輯結(jié)構(gòu)

設(shè)Mi(i=1,2,3,…,n)

是要研究討論對象M的特例或子集.

若Mi(i=1,2,3,…,n)

具有性質(zhì)p,

則由此猜想M也可能具有性質(zhì)p.這里,也可簡單表示為:M蕰含M1,M2,…,Mn,M1,M2,…,Mn為真

M也可能為真.26§3.1、歸納法所謂歸納法,

就是應(yīng)用歸納思想認(rèn)識、分析、研究事物的方法.

其主要步驟是:收集素材(觀察、試驗研宄對象)----歸納整理---分析概括---形成猜想.27§3.2、歸納法的作用培養(yǎng)學(xué)生獨立思考能力應(yīng)用歸納法的第二步是“歸納整理”，第三步是“分析概括”，都是讓學(xué)生獨立思考，獨立分析探究，獨立解決問題，這正是新課改倡導(dǎo)的自主性、探究性學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力現(xiàn)代心理科學(xué)的研究表明，在人腦所獲得的信息中，有90%是通過視覺獲取的.達爾文說：“我沒有突出的理解力，也沒有過人的機智，只是在覺察那些稍縱即逝的事物并對其進行精細(xì)觀察的能力上，我可能在眾人之上.”巴甫洛夫教育年輕人要“觀察、觀察、再觀察”.可見觀察在人類實踐活動中具有極其重要的意義.歸納法的第一步就是“收集素材”，讓學(xué)生觀察研究對象的一些零散的、片言只語的、特殊的性質(zhì)；第二步“歸納整理”，再讓學(xué)生有目的、有步驟地進行細(xì)致的觀察、分析和概括，獲得完整、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)認(rèn)識，使其思維上升到理性.所以，數(shù)學(xué)課堂上的歸納法有力地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力28§3.2、歸納法的作用培養(yǎng)學(xué)生比較能力著名教育家烏申斯基認(rèn)為“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的”.比較法是把若干既有區(qū)別又有聯(lián)系的知識放在一起進行對比或類比.通過比較，歸納總結(jié)其異同，才能突出其本質(zhì)特征.歸納法的第三步就是“分析概括”，在比較中舍棄不同的、抽取共同的數(shù)學(xué)的東西而“形成猜想”.有比較才能有鑒別，數(shù)學(xué)的特性正是從比較中抽象出來的，沒有比較就沒有抽象.所以，運用歸納法可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)比較能力、辨別能力.培養(yǎng)學(xué)生抽象能力抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征.它是數(shù)學(xué)中常用的、必不可少的思維方法，與概括相互聯(lián)系、密不可分.抽象思維（abstractthinking）屬于理性認(rèn)識階段，在對事物的本質(zhì)屬性進行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上形成概念.歸納法的第三步就是“分析概括”，

再經(jīng)過抽象思維而“形成猜想”29§3.2、歸納法的作用培養(yǎng)學(xué)生概括能力魯賓斯坦說“思維是在概括中完成的”.思維的最顯著特征是概括性.從心理學(xué)角度講，概括就是把不同事物的共同屬性（本質(zhì)的、非本質(zhì)的）抽象出來后加以綜合，從而形成一個日常概念或者科學(xué)概念.歸納法的第三步就是“分析概括”。概括能力在智力活動中非常重要，沒有概括就沒有概念，沒有概念就無法進行邏輯思維.所以，運用歸納法培養(yǎng)學(xué)生的概括能力顯得非常重要.30§3.3.1、完全歸納法一般說來,

歸納法分為兩種,

一是完全歸納法,

二是不完全歸納法.完全歸納法是在研究事物的一切特殊情況所得結(jié)論的基礎(chǔ)上，得出有關(guān)事物的一般性結(jié)論的方法。即是根據(jù)某類事物的全體對象具有某種屬性進行慨括的一種思維方法。完全歸納法的推理模式是：設(shè)A={a1,a2,a3…an,}是研究對象的n種情況的集合.若a1具有性質(zhì)c;若a2具有性質(zhì)c;若a3具有性質(zhì)c;……;若an

具有性質(zhì)c;則集合A={a1,a2,a3…an,}中的任一元素ai

(i=1,2,…,n)

都具有性質(zhì)c.31§3.3.1、完全歸納法例1證明:1+2+3+

…+n的末位數(shù)字不可能是2,4,7,9.按順序取n=1,2,3,…,

逐一求和,

其末位數(shù)字分別是1,3,6,0,5,1,8,…,

可以說明對n的前面一些值,

結(jié)論成立,

但順著這條思路,

證明對一切自然數(shù)n結(jié)論成立時難以奏效.

不妨換一種思考方式,

因為

1+2+3++n=于是可先研究n(n+1)

的末位數(shù)的所有可能情況,

得到如下證法.

32§3.3.1、完全歸納法證明:因為

1+2+3++n=可先研究n(n+1)

的末位數(shù)字.

為了清楚,

列表如下:n的末位數(shù)字.1234567890n(n+1)

的末位數(shù)字2620026200由此可見n(n+1)

的末位數(shù)字只能是0,2,6三個數(shù)字,

所以

的末位數(shù)字只可能是0,5,1,6,3,8.

故1+2+3+…+n的末位數(shù)字不能是2,4,7,9.33§3.3.1、完全歸納法例2若a,b,c是奇數(shù),

求證方程ax2+bx+c=0無整數(shù)根.分析:

此題若用求根公式分析解答將比較困難,

考慮到方程的系數(shù)都是奇數(shù)的特點,

不妨以奇偶性分類,

進而說明此方程既無奇數(shù)根又無偶數(shù)根,

也就完成了證明.34§3.3.2、不完全歸納法不完全歸納法在研究事物的某些特殊情況所得到的結(jié)論的基礎(chǔ)上,

得出有關(guān)事物的一般性結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法.不完全歸納法的推理模式是：S1具有(或不具有)p,S2具有(或不具有)p,………Sn具有(或不具有)p,(S1,S2,…Sn,是A類事物的部分對象)結(jié)論:A類事物具有(或不具有)p.35§3.3.2、不完全歸納法例3：化簡分析:

由于n是自然數(shù),

我們不妨從n的特殊值開始探索.設(shè)f(n)=則當(dāng)n=1時,f(1)=2;n=2時,f(2)=4;n=3時,f(3)=8;n=4時,f(4)=16;……由此猜想:f(n)=2n.(用數(shù)學(xué)歸納法可證結(jié)論)36§3.2、不完全歸納法例4：平面內(nèi)n條直線(無平行且無三線共點者)

將平面分成多少部分?分析:

直接回答結(jié)果不容易,

我們?nèi)詮奶厥獾膎值出發(fā)進行探究與歸納,

進而總結(jié)規(guī)律.設(shè)n條直線將平面分成f(n)部分.n=1時,f(1)=2;n=2時,f(2)=4;n=3時,f(3)=7;n=4時,f(4)=11;n=5時,f(5)=16;……通過觀察分析這些數(shù)據(jù),

不難發(fā)現(xiàn):f(2)=f(1)+2=2+2;f(3)=f(2)+3=2+2+3f(4)=f(3)+4=2+2+3+4;f(5)=f(4)+5=2+2+3+4+5猜想:f(n)=2+2+3+4+5+…+n=1+1+2+3+4+5+…+n

(用數(shù)學(xué)歸納法可證結(jié)論)37§3.3.2、不完全歸納法例5:

質(zhì)數(shù)分布定理的發(fā)現(xiàn).研究自然數(shù)1到N內(nèi)質(zhì)數(shù)的個數(shù)P:(1)N=10,

在1---10內(nèi)質(zhì)數(shù)個數(shù)P=4;(2)N=100,

在1---100內(nèi)質(zhì)數(shù)個數(shù)P=25;(3)N=1000,

在1---1000內(nèi)質(zhì)數(shù)個數(shù)P=168;(4)N=106,

在1---106內(nèi)質(zhì)數(shù)個數(shù)P=78498;(5)N=109,

在1---109

內(nèi)質(zhì)數(shù)個數(shù)P=50847478.38§3.3.2、不完全歸納法觀察(1)(2)(3),N成10倍地擴大,

而P擴大倍數(shù)約為6倍;觀察(3)(4)(5),N成103

倍地擴大,P擴大倍數(shù)是否約為63倍呢?

顯然不是這樣,

而是要比63倍增長得快,

甚至超過83

倍.因此,

設(shè)想把N與質(zhì)數(shù)個數(shù)P比一比,

觀察一下

比值.

可見比值隨著N的增大而增大,

但增大的速度顯然是慢下來了.

通過比較

與lnN的值,

易知

由此猜想：即從1到任何自然數(shù)N之間所含質(zhì)數(shù)的個數(shù)

當(dāng)N越大時,

近似程度越高.注:

這一猜想經(jīng)過80多年的研究,

終于在1896年由法國數(shù)學(xué)家阿達瑪(Hadamard,J.)

和比利時數(shù)學(xué)家德拉瓦萊-普森（DelaVallee-Poussin.Ch.J）作出了完整的證明,

成為著名的質(zhì)數(shù)定理39§3.3.2、不完全歸納法例6:

“歐拉公式”的發(fā)現(xiàn).歐拉曾觀察一些特殊的多面體,

并將每個多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V、棱數(shù)E數(shù)出來,

并列成下表:仔細(xì)觀察上表,

有F+V—E=2猜想：任意多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V、棱數(shù)E都有關(guān)系F+V—E=2歐拉證明了該猜想的正確性，成為了著名的“歐拉公式”多面體面數(shù)F頂點數(shù)V棱數(shù)E三棱錐446四棱錐558三棱柱569五棱錐6610立方體6812八面體8612五棱柱71015二十面體201230十二面體122030有n個側(cè)面的棱柱n+22n3n有n個側(cè)面的棱錐n+1n+12n40§3.2、不完全歸納法例7.哥德巴赫猜想

1742年德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫（Goldbach）在研究中發(fā)現(xiàn)：大于4的偶數(shù)總能寫成兩個奇素數(shù)之和。例如：6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3=7+7.16=13+3=11+5,18=11+7=13+5,20=13+7=17+3

哥德巴赫把這個猜想寫信告訴了歐拉.

歐拉在回信中肯定了這個猜想,

但他不能證明.

兩百多年來,

為了證明這個猜想,

數(shù)學(xué)家們做了無數(shù)次的努力,

仍沒有證明.

最好的結(jié)果是我國數(shù)學(xué)家陳景潤在1966年證明了“每一個充分大的偶數(shù)都能表示為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的積之和”.這個定理記為(1+2),

國外譽為“陳氏定理”41§3.3.2、不完全歸納法例8.費馬數(shù)法國數(shù)學(xué)家費馬（Fermat）曾考察過形如的數(shù)(稱為費馬數(shù)).

他發(fā)現(xiàn),

當(dāng)n=0,1,2,3,4時,F(n)

的值分別為3,5,17,257,65537都是質(zhì)數(shù),

于是進行了歸納,

提出了猜想:所有形如的數(shù)均為素數(shù).42§3.3.2、不完全歸納法他沒有證明這個猜想,

并向英國數(shù)學(xué)家沃里斯要求證明.

然而歐拉卻發(fā)現(xiàn),

當(dāng)n=5時,F(5)=4294967297=641*6700417是個合數(shù),

這說明費馬的猜想是錯誤的.事實上,F(6),F(7),F(8)

等也不是素數(shù).費馬數(shù)引起了人們廣泛興趣,

迄今為止,

人們只知道前5個費馬數(shù)是素數(shù),

其余近50個已經(jīng)研究過的費馬數(shù)都是合數(shù).

究竟費馬數(shù)中是否有無窮多個素數(shù)、是否有無窮多個合數(shù),

至今仍未解決.

有人根據(jù)目前研究過的費馬數(shù)的情況,

提出了反費馬猜想:“費馬數(shù)中只有有限個素數(shù),

其余的都是合數(shù)”.當(dāng)然,

這個猜想是否正確,

還有待進一步證實.43§3.3.2、不完全歸納法例9.考察f(n)=n2-n+41f(1)=41,f(2)=43,f(3)=47,f(4)=53,f(5)=61,f(6),f(7),f(8),…,f(40)均是質(zhì)數(shù),由此歸納出:對任意非零自然數(shù)n,f(n)都是質(zhì)數(shù)的結(jié)論

錯了.因為當(dāng)n=41時,f(41)已不是質(zhì)數(shù)了.44§4、數(shù)學(xué)基本思想演繹思想2轉(zhuǎn)換思想345§3.4、演繹思想什么是演繹思想當(dāng)人們獲得一般原理之后，就以這種原理為指導(dǎo)，對尚未研究或尚未深入研究過的各種個別的、具體的事物進行研究，找出其特殊的本質(zhì)。這種由一般原理推出特殊場合的知識的思維形式稱為演繹思想。運用演繹思想的解題方法稱為演繹法。演繹推理的基本形式——三段論式一個三段論式由大前提、小前提和結(jié)論三個簡單的判斷組成。大前提是一個一般性原理，小前提給出了一個適合一般性原理的特殊場合，結(jié)論是大前提和小前提的邏輯結(jié)果。46§3.4、演繹思想三段論推理的基本模式為：大前提：一切M都是P（或M具有性質(zhì)P）

小前提：S是M（或S在M內(nèi)）結(jié)論:S是P（或S具有性質(zhì)P）其中P稱為大項、M稱為中項、S稱為小項.

在這里,大項包含中項,中項包含小項,中項是個媒介,

在結(jié)論中媒介就消失了。47§3.4、演繹思想例10.

無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，（大前題）丌是無限不循環(huán)小數(shù)，（小前題）

丌是無理數(shù)。（結(jié)論）例11.平行四邊形的對角線互相平分，（大前題）菱形是平行四邊形，（小前題）菱形的對角線互相平分。（結(jié)論）48§3.4、演繹思想大、小前提反映的是客觀事物一般性和特殊性之間的關(guān)系。因此，只要大前提是真實的，并且小前提中的事物又沒有超過大前提所指出的范圍，那么按上面模式所推出的結(jié)論就一定是正確的。否則，將會得出錯誤結(jié)果。49§3.4、演繹思想例12.已知方程

x2-3x+m=0有一個根為求另一個根及m的值.解:

由于一元二次方程無理根成對,

故由已知

是方程的一個根,

可知

是方程的另一個根.又由韋達定理有錯誤50§3.4、演繹思想上述推理中使用了這樣的三段論式:一元二次方程無理根成對,（大前題）有一個根為

，（小前題）是該方程的另一個根.（結(jié)論）錯誤就出在大前提“一元二次方程無理根成對”.

因為“一元二次方程無理根成對”

的結(jié)論是在“有理數(shù)系數(shù)”

的前提下成立的.

而本例中并沒有指出系數(shù)m是有理數(shù).

前提發(fā)生錯誤,

必然導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.正確解法是:設(shè)方程的另一根為a,由韋達定理有解得51§3.4、演繹思想例13.下面的推理錯在哪里?因為4大于0,2大于0,所以4=2.解:在這個推理中,

前提的兩個判斷顯然是真實的,

但結(jié)論不正確,

其原因在于推理的根據(jù)不充分.52§3.4、演繹思想例14.若一個凸多面體的每一個面都是n邊形,

而且每一個頂點都是m條棱的公共端點(這里),試證這類凸多面體至多只有5種正多面體.運用演繹法,

由歐拉公式（例6）可推出：這類多面體的面數(shù)只可能是4、6、8、12、20.

進而推出新結(jié)果：這類凸多面體面體至多只有5種正多面體.

即每面都是正三角形的正四面體、正八面體、正二十面體，每面都是正方形的正六面體，每面都是正五邊形的正十二面體。53§3.4、演繹思想例15.

有5對青年人舉行集體婚禮，當(dāng)新人們一對對進入禮堂時，相互認(rèn)識的就握一下手。當(dāng)然，沒有一個人和自已的對象握手，也沒有人和同一個人握兩次手。

婚禮結(jié)束后，新婚夫婦中的小張分別問其他九位（包括小張的妻子），“您今天與新婚者握了幾次手？”使他驚奇的是，九個人握手的次數(shù)各不相同

試問：小張的妻子握了幾次手？小張自已又握了幾次手？54§3.4、演繹思想由于規(guī)定不和自己的對象握手，因此握手次數(shù)最多者握了8次，而除小張外九個人握手的次數(shù)又是各不相同的，因此九個人握手的次數(shù)分別是0,1,2,3,4,5,6,7,8次。顯然，握了8次手的那個人除自己的對象外與其余8個人都握過手，因此所有不是他對象的人都與他握過手，也就是所有不是他對象的人都是至少握過1次手的人，所以他的對象是握0次手的人，設(shè)這一對新人為A8，A0.55§3.4、演繹思想

同樣，握7次手的人除與自己的對象和A0未握手,

與A8握過1次手外,

剩下6次是與剩下的6個人握的.

因此,剩下的不是他對象的人都與他和A8

握過手,也就是所有剩下的不是他對象的人都是至少握過2次手的人，所以他的對象是握過1次手的人，設(shè)這一對新人為A7,A1;同理可以推出握6次手的人的對象是握2次手的人,設(shè)為A6,A2;握5次手的人的對象是握3次手的人，設(shè)為A5,A3;剩下一個握4次手的人只能是小張的對象.

又握4次手的人與自已的對象和A0,A1,A2,A3

未握過手外與A8,A7,A6,A5

各握過1次手.

從上面的推理可知,A0,A1,A2,A3,A4

都不可能與小張握手,

而A8,A7,A6,A5

都與小張各握過1次手,

因此小張總共握過4次手.56§4、數(shù)學(xué)基本思想演繹思想2轉(zhuǎn)換思想357§3.5、轉(zhuǎn)化思想什么是轉(zhuǎn)化思想?轉(zhuǎn)化也稱化歸，它是指將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題，從而使問題順利解決的數(shù)學(xué)思想。58§3.5、轉(zhuǎn)化思想從“數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展”的角度將其歸納為：（1）未知與已知間的轉(zhuǎn)化；（2）復(fù)雜與簡單間的轉(zhuǎn)化；（3）常量與變量間的轉(zhuǎn)化；（4）無限與有限間的轉(zhuǎn)化；（5）連續(xù)與離散間的轉(zhuǎn)化；59§3.5、轉(zhuǎn)化思想（6）模糊與精確間的轉(zhuǎn)化；（7）抽象與具體間的轉(zhuǎn)化；（8）特殊與一般間的轉(zhuǎn)化；（9）現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)模型間的轉(zhuǎn)化；（10）不同數(shù)學(xué)模型間的轉(zhuǎn)化；（11）認(rèn)知過程和思維形式的轉(zhuǎn)化。60§3.5、轉(zhuǎn)化思想從“數(shù)學(xué)教學(xué)”的不同角度將其歸納為：（12）就處理數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)而言，是實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化；（13）就具體思考過程而言，往往是將難以解決的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題；（14）在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想滲透在各個教學(xué)環(huán)節(jié)和知識點中，其形式也是多種多樣的。諸如題型上的轉(zhuǎn)化、解題方法的轉(zhuǎn)化，代數(shù)、幾何等知識版塊間的相互轉(zhuǎn)化，實際的具體問題與數(shù)學(xué)問題的相互轉(zhuǎn)化等等。61§3.5、轉(zhuǎn)化思想從“宏觀”和“微觀”兩個角度歸類為：（15）變形法。包括恒等變形和放縮變形；（16）分割法。包括整體分割法、條件分割法、外延分割法、過程分割法和局部變動法；（17）映射法。包括坐標(biāo)法、復(fù)數(shù)法、函數(shù)法、換元法、待定系數(shù)法和構(gòu)造法62§3.5、轉(zhuǎn)化思想從“不同題型”的角度歸納為：（18）化“一般”為“特殊”，是對一些“總成立”的問題用幾個特殊值代入而分析解決；（19）化“非典型”為“典型”，是把題目中不常見的概念、公式等轉(zhuǎn)化為常見的概念、公式來進一步解決問題；（20）化“不熟悉”為“熟悉”，是把題目中復(fù)數(shù)、幾何等不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的方程來解決；（21）化“復(fù)雜”為“簡單”，是把問題中的復(fù)雜繁瑣的式子轉(zhuǎn)化成簡單的式子來考慮；（22）化“未知”為“已知”，是把問題中的待定部分通過題意轉(zhuǎn)化到已知的條件上去進行解決；63§3.5、轉(zhuǎn)化思想（23）化“立體”為“平面”，是把立體幾何中的問題轉(zhuǎn)化成平面幾何來解決；（24）化“形”為“數(shù)”，是在解析幾何中常把一些線段長度、線段的中點、直線的垂線等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子或方程來解決；（25）化“數(shù)”為“形”，是把一些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形來解決；（26）“多”化“少”，是把一個式子中的多個變化成分利用已知條件或適當(dāng)?shù)姆椒p少變化成分的個數(shù)，從而使問題易于判斷和解決；（27）化“應(yīng)用型的實際問題”為“與函數(shù)、方程有關(guān)的數(shù)學(xué)問題”來解決。64§3.5、轉(zhuǎn)化思想從“解題過程”這個角度進行分類：（28）正面與反面的轉(zhuǎn)化；（29）特殊與一般的轉(zhuǎn)化；（30）相等與不相等的轉(zhuǎn)化；（31）隱與顯的轉(zhuǎn)化；（32）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；（33）繁難與簡單的轉(zhuǎn)化。65§3.5、轉(zhuǎn)化思想從“轉(zhuǎn)化的方向”進行分類：（34）初等化轉(zhuǎn)化即超越化代數(shù)、無理化有理、高次化為低次；（35）高維向低維轉(zhuǎn)化空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化、多元向一元的轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實數(shù)相互轉(zhuǎn)化；（36）文字語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化如：數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模等；66§3.5、轉(zhuǎn)化思想（37）命題轉(zhuǎn)化即把一個命題轉(zhuǎn)化成另一個等價命題，如正與反的轉(zhuǎn)化；（38）無限與有限的轉(zhuǎn)化解“有限”問題很困難．可考慮轉(zhuǎn)化為“無限”問題，而解“無限”問題很困難，可考慮轉(zhuǎn)化為“有限”問題。（39）函數(shù)、方程、不等式之間進行轉(zhuǎn)化；67（40）相等與不等的轉(zhuǎn)化；（41）等積轉(zhuǎn)化即利用面積相等或體積相等解決有關(guān)問題；（42）同解轉(zhuǎn)化即把方程或不等式轉(zhuǎn)化為同解方程或同解不等式68§3.5、轉(zhuǎn)化思想（43）量與量之間的轉(zhuǎn)化如常量與變量的轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、整體代換、消元法等；

(44）公式變形轉(zhuǎn)化；（45）位置關(guān)系間的轉(zhuǎn)化如垂直和平行證明間的轉(zhuǎn)化、空間角、空間距離間的轉(zhuǎn)化69§3.5、轉(zhuǎn)化思想2.3.3轉(zhuǎn)化的原則

(1)熟悉化原則。將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決；(2)簡單化原則。將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；70§3.5、轉(zhuǎn)化思想(3)和諧化原則。轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律；(4)直觀化原則。將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決(5)正難則反原則。當(dāng)問題正面討論遇到問題時應(yīng)想到考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲得解決,或證明問題的可能性。71§3.5、轉(zhuǎn)化思想常見的轉(zhuǎn)化方式:一般特殊轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化，復(fù)雜簡單轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，類比轉(zhuǎn)化。72§3.5、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化的作用

轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式，是解決數(shù)學(xué)問題的重要策略。在解答數(shù)學(xué)問題時，常常對條件或問題進行轉(zhuǎn)化。通過轉(zhuǎn)化達到化難為易、化新為舊、化繁為簡、化整為零、化曲為直等。73§3.5、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)（1）以舊引新。即根據(jù)學(xué)生已有的新舊知識的聯(lián)系，將新知識轉(zhuǎn)化為已有的知識來解決。例如，學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計算，學(xué)生通過自己操作，剪一剪，拼一拼，接一接，轉(zhuǎn)化為一個長方形，這樣，使舊知識、舊技能、舊的思考方法，逐步過渡到新知識、新技能、新的思考方法，從而擴展原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（2）由繁化簡。即指導(dǎo)學(xué)生盡可能想辦法，使其要解決的具體問題變得簡單一些。74§3.5、轉(zhuǎn)化思想（3）以生引熟。即學(xué)生碰到較難的題目時，要另外擇路，化陌生為熟悉。（4）由曲找直。圓的面積公式的推導(dǎo)，就要用到化曲為直的思考方法，通過將圓分割成若干等份，拼成近似的長方形，由圓的半徑與面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為長方形的長寬與面積的關(guān)系，由長方形的面積公式，推導(dǎo)出圓的面積的公式。這里，就是將長方形的面積公式轉(zhuǎn)化為圓的面積公式。在學(xué)習(xí)圓柱的體積計算時，學(xué)生也能很快悟到立體圖形之間的聯(lián)系，感悟到圓柱體積的計算公式。75§4、數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想的探究數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵

導(dǎo)言76§4、數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想有四大育人價值：一是有利于完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；二是可以提升學(xué)生的原認(rèn)知水平；三是可以發(fā)展學(xué)生的思維能力；四是有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。77§4、數(shù)學(xué)基本思想的價值“雙基”變“四基”，

給數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求，要求數(shù)學(xué)教師必須為學(xué)生的學(xué)習(xí)和個人發(fā)展提供最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)準(zhǔn)備和發(fā)展方向，促進學(xué)生的健康成長，使人人獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到不同的發(fā)展。“雙基”變“四基”，

任重而道遠。78§4、數(shù)學(xué)基本思想的價值美國教育心理學(xué)家布魯納指出:掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法,能使數(shù)學(xué)更易于理解、更利于記憶,領(lǐng)會數(shù)學(xué)基本思想和方法是通向遷移大道的"光明之路"。因此,數(shù)學(xué)基本思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和基礎(chǔ)。通過數(shù)學(xué)基本思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)基本思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。79§4、數(shù)學(xué)基本思想的價值在教學(xué)中有意識地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)的基本思想，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問題的能力和思維能力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)進行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時，也能為進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思想打下較好的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思想方法教育決不是單純傳授和訓(xùn)練解題術(shù)、也不僅是一系列解題策略的教學(xué)，其宗旨是讓學(xué)生了解、喜愛數(shù)學(xué)的各個基本思想方法，并發(fā)展應(yīng)用它們解決常規(guī)與非常規(guī)問題的數(shù)學(xué)態(tài)度與數(shù)學(xué)能力。80§5、數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的價值數(shù)學(xué)基本思想的探究數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵

導(dǎo)言81美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家喬治.波利亞(Georgepolya,1887-1985)說:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的是解題?！薄笆裁词菙?shù)學(xué)技能？數(shù)學(xué)技能就是解題能力一一不僅解一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力、獨立性和想象力的問題。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就在于加強解題能力的訓(xùn)練”?！敖忸}的價值不是答案本身，而是在于弄清是怎樣想到這個解法的”、“是什么促使你這樣做，這樣想？”這就是說解題過程是一個思維過程，是把知識與一個問題聯(lián)系起來思考、分析和探索的過程。82波利亞對數(shù)學(xué)解題理論的建樹主要體現(xiàn)在《怎樣解題》中.這本書的核心是他分析解題的思維過程得到的一張

“怎樣解題表”,并通過這張表來實現(xiàn).“怎樣解題表”的精髓是啟發(fā)我們?nèi)ヂ?lián)想.聯(lián)想什么?怎樣聯(lián)想?他在表中提出了啟發(fā)性問題:你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?......這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題,你能不能利用它?......83什么叫解題解題一一這就是意味著求出它的答案.在數(shù)學(xué)中,解數(shù)學(xué)題的實質(zhì),就是意味著找出這樣一個數(shù)學(xué)的一般原理(定義、公理、定理、法則、定律、公式)的序列,當(dāng)應(yīng)用它們到問題的條件或者條件的推論(解法的中間結(jié)果)時,我們就得到問題所要求的答案.數(shù)學(xué)問題一般分為常規(guī)問題和非常規(guī)問題.對于非常規(guī)問題,正如莫斯科大學(xué)教授婭諾夫斯卡婭所講:“就是把所要解的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的問題”.84德國哲學(xué)家、天文學(xué)家、星云說的創(chuàng)立者之一、德國古典唯心主義創(chuàng)始人康德(ImmanuelKant，1724-1804

)在他的《純粹理性批判》中寫道: