2023版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)19坐標(biāo)系與參數(shù)方程文

2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)19坐標(biāo)系與參數(shù)方程文PAGE11-課時作業(yè)19坐標(biāo)系與參數(shù)方程1．[2022·江蘇卷]在極坐標(biāo)系中，兩點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，直線l的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3.(1)求A，B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離．解析：此題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等根底知識，考查運算求解能力．(1)設(shè)極點為O.在△OAB中，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，由余弦定理，得AB＝eq\r(32＋\r(2)2－2×3×\r(2)×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4))))＝eq\r(5).(2)因為直線l的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3，那么直線l過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,2)))，傾斜角為eq\f(3π,4).又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，所以點B到直線l的距離為(3eq\r(2)－eq\r(2))×sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,2)))＝2.2．[2022·湖北八校第一次聯(lián)考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\r(2)cosα，,y＝\r(2)sinα))(α為參數(shù)，t為常數(shù))．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,4)))＝eq\r(2).(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)直線l與圓C有兩個交點，求實數(shù)t的取值范圍．解析：(1)消去參數(shù)，得圓C的普通方程為(x－t)2＋y2＝2.將直線l的極坐標(biāo)方程化為－eq\f(\r(2),2)ρcosθ＋eq\f(\r(2),2)ρsinθ＝eq\r(2)，那么－eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y＝eq\r(2)，化簡得y＝x＋2.故直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2.(2)∵圓C的普通方程為(x－t)2＋y2＝2，∴圓C的圓心為C(t,0)，半徑為eq\r(2)，∴圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|t＋2|,\r(2))，∵直線l與圓C有兩個交點，∴d＝eq\f(|t＋2|,\r(2))<eq\r(2)，解得－4<t<0.∴實數(shù)t的取值范圍為(－4,0)．3．[2022·廣東廣州一模]曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r(3)cosθ＋2sinθ，直線l1：θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)，直線l2：θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求直線l1，l2的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程；(2)直線l1與曲線C交于O，A兩點，直線l2與曲線C交于O，B兩點，求△AOB的面積．解析：(1)依題意，得直線l1的直角坐標(biāo)方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，直線l2的直角坐標(biāo)方程為y＝eq\r(3)x，由ρ＝2eq\r(3)cosθ＋2sinθ得ρ2＝2eq\r(3)ρcosθ＋2ρsinθ，∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋2cosα，,y＝1＋2sinα))(α為參數(shù))．(2)聯(lián)立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝\f(π,6)，,ρ＝2\r(3)cosθ＋2sinθ，))得|OA|＝|ρ1|＝4，同理，得|OB|＝|ρ2|＝2eq\r(3).又∠AOB＝eq\f(π,6)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3)，故△AOB的面積為2eq\r(3).4．[2022·廣東佛山質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosφ，,y＝\r(3)＋2sinφ))(φ為參數(shù))，直線l1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C與l1的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)－eq\f(π,6)<α<eq\f(π,3)時，直線l1與曲線C相交于O，A兩點，過點O作l1的垂線l2，l2與曲線C的另一個交點為B，求|OA|＋|OB|的最大值．解析：(1)因為曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosφ，,y＝\r(3)＋2sinφ))(φ為參數(shù))，所以曲線C的普通方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－2eq\r(3)ρsinθ＝0，化簡得ρ＝2cosθ＋2eq\r(3)sinθ.因為直線l1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，所以直線l1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)．(2)根據(jù)題意設(shè)點A的極坐標(biāo)為(ρA，α)，－eq\f(π,6)<α<eq\f(π,3)，點B的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρB，α＋\f(π,2)))，那么ρA＝2cosα＋2eq\r(3)·sinα＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，ρB＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，所以|OA|＋|OB|＝ρA＋ρB＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,12)))，所以當(dāng)α＝eq\f(π,12)時，|OA|＋|OB|取得最大值，且(|OA|＋|OB|)max＝4eq\r(2).5．[2022·四川瀘州一診]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋5t，,y＝－4＋5t))(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點．(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)假設(shè)|PA|·|PB|＝|AB|2，求a的值．解析：(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ＝2aρcosθ(a所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2ax(a>0)．消去參數(shù)，得直線l的普通方程為y＝x－2.(2)將直線l的參數(shù)方程化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，代入y2＝2ax，得t2－2eq\r(2)(4＋a)t＋32＋8a＝0，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，那么t1＋t2＝2eq\r(2)(4＋a)，t1t2＝32＋8a，t1>0，t2>0，所以|t1|＝|PA|，|t2|＝|PB|，|t1－t2|＝|AB|，由|PA|·|PB|＝|AB|2得|t1－t2|2＝t1t2，所以|t1＋t2|2＝5t1t2，所以[2eq\r(2)(4＋a)]2＝5(32＋8a)，即a2＋3a－4＝0，解得a＝1或a＝－4(舍去)，所以a＝1.6．[2022·福建福州質(zhì)量抽測]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓E的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，直線θ＝β，θ＝β＋eq\f(π,3)，θ＝β－eq\f(π,3)(ρ∈R)，與圓E分別交于不同于極點O的三點A，B，C.(1)假設(shè)eq\f(π,3)<β<eq\f(2π,3)，求證：|OB|＋|OC|＝|OA|；(2)假設(shè)當(dāng)β＝eq\f(5π,6)時，直線l過B，C兩點，求y0與α的值．解析：(1)證明：依題意，得|OA|＝|4sinβ|，|OB|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))))，|OC|＝|4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))|，∵eq\f(π,3)<β<eq\f(2π,3)，∴|OB|＋|OC|＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝4sinβ＝|OA|.(2)當(dāng)β＝eq\f(5π,6)時，易得直線θ＝β＋eq\f(π,3)與圓E的交點B的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4sin\f(7,6)π，\f(7π,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))＝eq\b\l