楊輝三角與二次項系數(shù)的性質(zhì)一

一般地，對于nN*有二項定理:新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個？

下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？第1頁/共24頁第一頁，共25頁。1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……第2頁/共24頁第二頁，共25頁。(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？

3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?第3頁/共24頁第三頁，共25頁。①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1②從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++這個表叫做二項式系數(shù)表,也稱“楊輝三角”第4頁/共24頁第四頁，共25頁。二項式系數(shù)的函數(shù)觀點

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)n=6時，其圖象是7個孤立點定義域{0,1,2,…,n}

第5頁/共24頁第五頁，共25頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6第6頁/共24頁第六頁，共25頁。2、若（a+b）n的展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第五項的二項式系數(shù)相等，1、在(a＋b)６展開式中，與倒數(shù)第三項二項式系數(shù)相等是()A第２項B第３項C第４項D第５項則n=__________B6請問:一般地,當(dāng)r滿足什么范圍時，后一項Cnk比前一項Cnk-1要大?

[分析]:以上問題即Cnk>Cnk-1時，求k的范圍?知識對接測查1第7頁/共24頁第七頁，共25頁。（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定二項式系數(shù)的性質(zhì)由：

即二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當(dāng)時，二項式系數(shù)的性質(zhì)

第8頁/共24頁第八頁，共25頁。

因此,當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值。先增后減，中間項取得最大值二項式系數(shù)的性質(zhì)

（2）增減性與最大值

第9頁/共24頁第九頁，共25頁。1.在(1+x)4的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是

；二項式系數(shù)最大的項是第

項.在(1-x)11的展開式中，二項式系數(shù)最大為，.在二項式(x-1)11的展開式中,

求系數(shù)最小的項的系數(shù)。最大的系數(shù)呢？知識對接測查23第10頁/共24頁第十頁，共25頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)

（3）各二項式系數(shù)的和在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

賦值法第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。例1、證明：在(a＋b)n展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.即證：＝２n-1證明令a=1,b=-1得特例法賦值法第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。知識對接測查3第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。分析:本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和.因為由此分析求解兩式相加倒序相加法第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當(dāng)n為偶數(shù)時，

（4）

當(dāng)n為奇數(shù)時，第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍，求展開式中x的一次項．例2

已知的展開式中，第第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。例3、若展開式中前三項系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；（3）展開式中系數(shù)最大的項。解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第項是系數(shù)最大的項，則有由此確定r的取值第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。變式引申：

1.求在的展開式中系數(shù)絕對值最大的項解：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項，則所以當(dāng)時，系數(shù)絕對值最大的項為第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。變式引申：2、的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項是（）A.第4項B.第4、5項C.第5項D.第3、4項3、若展開式中的第6項的系數(shù)最大，則不含x的項等于()A.210B.120C.461D.416第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。解第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。(1)二項式系數(shù)的三個性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想

a

單調(diào)性；b

圖象；c

最值。小結(jié)第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。求展開式中系數(shù)最大(小)的項解:設(shè)項是系數(shù)最大的項,則二項式系數(shù)最大的項為第11項,即所以它們的比是解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第項是系數(shù)最大的項，則有由此確定r的取值第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。謝謝您的觀看！第24頁/共24頁第二十四頁，共25頁。內(nèi)容總結(jié)一般地，對于nN*有。二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些。第1頁/共24頁。