七年級(jí)數(shù)學(xué)多邊形（教師版）

1-7多邊形人教八上一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解多邊形的相關(guān)概念；2．了解多邊形、內(nèi)角、外角、對(duì)角線等數(shù)學(xué)概念；3．正多邊形的正確理解以及凸多邊形的辨別；4．通過分析、觀察把多邊形分割成若干個(gè)三角形問題，培養(yǎng)學(xué)生“分割”與“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.二、知識(shí)回顧★由下圖的圖片你抽象出什么幾何圖形？三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形.你能根據(jù)三角形的定義，說出什么叫四邊形嗎？四邊形是由四條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形.五邊形是由五條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形.你能根據(jù)三角形、四邊形、五邊形的定義給出多邊形的定義嗎？三、新知講解1．多邊形的相關(guān)概念在平面內(nèi)，由若干條不在同一直線上的的線段首尾順次相接組成的圖形稱為多邊形.三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.多邊形分為：凸多邊形和凹多邊形.一個(gè)多邊形，如果把它任何一邊雙向延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形.畫多邊形的任何一條邊所在直線,整個(gè)多邊形不都在此直線的同旁，這樣的多邊形叫做凹多邊形.凸多邊形的特征：凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角可為銳角或直角或鈍角..2．多邊形的邊、內(nèi)角、外角（1）組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.（2）多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.（3）多邊形的邊和它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.3．多邊形的對(duì)角線連接多邊形的不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線．多邊形的對(duì)角線的條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線.將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形.n邊形共有條對(duì)角線．★請(qǐng)讀出下圖中的所有對(duì)角線：AC，AD，BD，BE，CE.4．正多邊形在平面內(nèi)，各個(gè)角相等，各條邊也相等的多邊形叫正多邊形.如正三角形，正四邊形，正六邊形等等.四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1．多邊形截去一個(gè)角后的邊數(shù)【例1】四邊形剪掉一個(gè)角后，變?yōu)椋ǎ瓵．三角形B．四邊形C．五邊形D．三角形或四邊形或五邊形總結(jié):一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加一條，也可能不變或減少一條.練1若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十五邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（）A．14或15或16B．15或16C．14或16D．15或16或17練2把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個(gè)角，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形狀不可能是（）A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形2．從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)連接其余頂點(diǎn)將多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)【例2】一個(gè)六邊形至少可以分割成三角形的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)總結(jié)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可把多邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形.從n邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)可得到（n﹣1）個(gè)三角形.從n邊形內(nèi)部的一點(diǎn)出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)可得到n個(gè)三角形.練3在六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)與六邊形的各頂點(diǎn)分別連接可以得到（）A．4個(gè)三角形B．5個(gè)三角形C．6個(gè)三角形D．7個(gè)三角形練4從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2001B．2005C．2004D．20063．多邊形對(duì)角線的條數(shù)【例3】請(qǐng)寫出下圖中每個(gè)圖形對(duì)角線的總條數(shù)，并嘗試畫一畫.總結(jié)：多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線、對(duì)角線分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系如下表：練5將已知六邊形ABCDEF，用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，那么各種不同的剖分方法種數(shù)是（）A．6B．8C．12D．14五、課后小測(cè)一、選擇題1．（2013秋?太康縣期末）下列圖形中，多邊形有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．下列各圖中，是凸多邊形的是（）A．B．C．D．3．（2012秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形．A．6B．5C．8D．74．把一個(gè)四邊形鋸掉一個(gè)角，剩下的多邊形是（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．三角形或四邊形或五邊形5．（2010秋?黃州區(qū)校級(jí)期中）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16B．17C．18D．19二、填空題6．多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的______；多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的________；連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的________．7．一個(gè)n邊形有_____個(gè)頂點(diǎn)，______條邊，_____個(gè)內(nèi)角，______個(gè)外角．8．（2014秋?贛榆縣校級(jí)月考）對(duì)正方形剪一刀能得到_____邊形．9．（2011春?郯城縣期中）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是_____．10．一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有_____個(gè)銳角．11．（1）若將n邊形內(nèi)部任意取一點(diǎn)P，將P與各頂點(diǎn)連接起來，則可將多邊形分割成____個(gè)三角形．（2）若點(diǎn)P取在多邊形的一條邊上（不是頂點(diǎn)），在將P與n邊形各頂點(diǎn)連接起來，則可將多邊形分割成______個(gè)三角形．12．（2008?連云港）如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴(kuò)展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來的……依此類推，則由正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為_______．三、解答題13．（2007?泉州）已知正n邊形的周長(zhǎng)為60，邊長(zhǎng)為a（1）當(dāng)n=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長(zhǎng)與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長(zhǎng)為67，邊長(zhǎng)為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應(yīng)的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)求出不符合這一說法的n的值．

典例探究答案：【例1】【解析】若剪掉四邊形相鄰兩邊的一部分，則剩下的部分為五邊形，若沿著四邊形對(duì)角線剪，則剩下的部分為三邊形（三角形），若從四邊形一個(gè)角的頂點(diǎn)，沿直線向?qū)堑泥忂吋?，且只減掉一條鄰邊的一部分，則剩下的部分為四邊形．解：如下圖所示：觀察圖形可知，四邊形剪掉一個(gè)角后，剩下的圖形可能為五邊形，可能為四邊形，可能為三角形，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形，解題的關(guān)鍵是能理解一個(gè)四邊形剪掉一個(gè)角后得到的圖形的形狀，通過畫圖的方法解決最好．練1．【解析】因?yàn)橐粋€(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題．解：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，則多邊形的邊數(shù)是14，15或16．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的知識(shí)，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，同學(xué)們可以自己動(dòng)手畫一下．練2．【解析】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n﹣1）邊形．解：當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是四邊形或三角形或五邊形，不可能是六邊形．故選：A．點(diǎn)評(píng)：剪去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．【例2】【解析】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn),可以把一個(gè)多邊形分割成(n－2)個(gè)三角形，從n邊形某一邊上一點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以分成（n-1）個(gè)三角形；從n邊形內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以分成n個(gè)三角形.解：一個(gè)六邊形至少可以分割成6﹣2=4個(gè)三角形．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，形成的三角形個(gè)數(shù)為（n﹣2）．練3．【解析】根據(jù)六邊形有六個(gè)頂點(diǎn)，連接六個(gè)頂點(diǎn)，可得六個(gè)三角形．解：在六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)與六邊形的各頂點(diǎn)分別連接可以得到六個(gè)三角形，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形，利用了圖形的分割：六個(gè)頂點(diǎn)可分割成六個(gè)三角形．練4．【解析】可根據(jù)多邊形的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系求解．解：多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為2003+1=2004．故選：C．點(diǎn)評(píng)：多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)=多邊形的邊數(shù)﹣1．【例3】【解析】練5．【解析】要用對(duì)角線將六邊形ABCDEF剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，①通過同一個(gè)頂點(diǎn)作三條對(duì)角線，所以有六種作法．②從一個(gè)頂點(diǎn)作兩條對(duì)角線；③中間是個(gè)四邊形，兩端2個(gè)三角形，把四邊形加條對(duì)角線．解：∵六邊形ABCDEF有6個(gè)頂點(diǎn)，且用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，∴只能通過同一個(gè)頂點(diǎn)作三條對(duì)角線（如圖1），這種分法有6種，也從一個(gè)頂點(diǎn)作兩條對(duì)角線（如圖2），這種分法有2種，如圖3，中間是個(gè)四邊形，兩端2個(gè)三角形，把四邊形加條對(duì)角線，這種分法有6種，故各種不同的剖分方法有14種．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的性質(zhì)，n邊形過一個(gè)頂點(diǎn)有（n﹣3）條對(duì)角線，它們把n邊形分割成了（n﹣2）個(gè)三角形．課后小測(cè)答案：一、選擇題1．【解析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．解：由多邊形的概念可知第四個(gè)、第五個(gè)是多邊形共2個(gè)．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了認(rèn)識(shí)平面圖形．注意，多邊形是由3條或3條以上的線段首尾順次連接而成的圖形，故多邊形中沒有曲線．2．【解析】多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．解：A、B、C是凹多邊形，D是凸多邊形，故選：D．點(diǎn)評(píng)：此題主要多邊形，關(guān)鍵是掌握凸多邊形和凹多邊形的區(qū)別．3．【解析】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)四邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形．解：從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成7﹣2=5個(gè)三角形．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可把n邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形．4．【解析】沿對(duì)角線剪，沿一個(gè)角剪，沿一個(gè)角上方一點(diǎn)剪，進(jìn)而得出結(jié)論．解：如圖所示：，故選：D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了多邊形，此題應(yīng)根據(jù)題意，結(jié)合圖形進(jìn)行操作，進(jìn)而得出結(jié)論．5．【解析】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n﹣1）邊形．解：當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了多邊形，剪去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．二、填空題6．【解析】根據(jù)多邊形的定義以及外角的定義和對(duì)角線的定義分別分析得出即可．解：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角；連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線．故答案為：內(nèi)角，外角，對(duì)角線．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了多邊形有關(guān)定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．7．【解析】根據(jù)多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角的含義作答．解：一個(gè)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)外角．故答案為：n，n，n，2n．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角的含義，是基礎(chǔ)題型，比較簡(jiǎn)單．8．【解析】根據(jù)圖形的分割，可得答案．解：沿對(duì)角線剪一刀，得兩個(gè)三角形，即三角形，沿對(duì)邊上的兩點(diǎn)剪一刀，得兩個(gè)梯形，或兩個(gè)矩形，即四邊形；沿相鄰兩邊上的點(diǎn)剪一刀，得一個(gè)三角形，一個(gè)五邊形即五邊形．故答案為：三、四、五．點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形，分類討論是解題關(guān)鍵．9．【解析】實(shí)際畫圖，動(dòng)手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個(gè)角后得到．解：如圖可知，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．點(diǎn)評(píng)：此類問題要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．10．【解析】根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3個(gè)鈍角，則內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角．解：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角．點(diǎn)評(píng)：注意每個(gè)內(nèi)角與其相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內(nèi)角的情況可以借助外角來分析．11．【解析】根據(jù)題中條件，畫出簡(jiǎn)單圖形，找出規(guī)律．（1）多邊形內(nèi)一點(diǎn)，可與多邊形頂點(diǎn)連接n條線段，構(gòu)造出n個(gè)三角形；（2）若P點(diǎn)取在一邊上，則可以與其他頂