zw-空間向量與立體幾何單元檢測題

120150一、選擇題(12560分，在每小題給出的四個選項中 αα[答案 [解析 只有當a、b不共線且a∥α，b∥α?xí)r，D才正確已知a＝(cosα，1，sinα)、b＝(sinα，1，cosα)，且a∥b則向量a＋b與a－b的夾 [答案 [解析 λ等于 [答案

[解 →＝(－2，－6，－2)，→ ∵→ →λ＝－14，故選若向量{a，b，c}是空間的一個基底，則一定可以與向量p＝2a＋b，q＝2a－b構(gòu)成 [答案 [解析 因為a＝1＋1，所以a、p、q共面，故a、p、q不能構(gòu)成空間的一個基底 Ab＝1－1b、p、qb、p、q Ba＋b＝3－1a＋b、p、qa＋b、p、q D、S2S3分別表示三棱錐D－ABC在xOyyOzzOx坐標平面上的正投影圖形的面積則( [解析 由題意可得

2×2＝2，S3＝1×2×2＝2，故

則直線a、b所成的角為( [答案 [解析 由于→＝→＋→＋→ →cos〈

AB，CD〉＝→＝2?〈AB，CD〉＝60°若 BE＝AA1＋xAB＋yAD，則

＝－2， ＝2，

＝－2，[答案

＝2，[

→＝→＋

1

1→1

－1 1 A(－1,1,2)、B(1,0，－1)DAB上，且

→，設(shè)

＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為(

A. [答案 [解析 ∵→＝→

333 3

∵

→ AB＝BC＝2AA1＝2E、面BCC1B1的中心，則E、F兩點間的距離為( 2 B.2C. [答案 2[解析 2所以 1－22＋1－12＋2－22＝6，故選2 2，AA1＝3，則點B到直線A1C的距離為 2

2777[答案

[解析 過點B作BE垂直A1C，垂足為E，設(shè)點E的坐標為(x，y，z)，則

→77

，所以→＝(－2，10，6777

BA1C＝235 中點，則點E到平面ACD1的距離為( 22 [答案 如圖，以D為坐標原點，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)．從而 D1E＝(1,1，－1)、AC＝(－1,2,0)、ACD1→→則

得

.a＝2EACD133 33

如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中點，設(shè)GF、C1E與AB所成的角分別為α，β，則α＋β等于( [答案 [解析 C1(0,0,2)、E(1,2,1)．則→＝(0,2,0)、＝(1,1，－1)→ →∴cos〈→，〉＝|BA·GF|＝1，cos〈→〉＝|BA·C1E|＝2，∴cosα＝1BA

→

BA

→ ＝2，cosβ＝2，sinβ＝1

A(1,2,0)、B(0,1，－1)，Px軸上的動點，當→→P標 [答 [解析 設(shè)P(x,0,0)，則→ → 1 AP·BP＝x(x－1)＋2＝(x－2)x＝1時，→→取最小值7P的坐標為 ABCD－A1B1C1D1A1B1C1D11ABCD邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°AD1與B1C所成角的余弦值為 4[答案 4 AC、OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝22，A1C1＝B1D1＝設(shè)棱臺高為h，則 ，∴h＝22－ 2B∴A(0，－2，0)，D1(－2，0，6，12，0，6，C(0，B∴ 2

2 2 6AD＝(－2，2，2)，B1C＝(－2，2，－2→∴cos→1，〉＝AD1·B1C

AD1B1C所成角的余弦值為ABC所成角的大小 [答案 [解析 由條件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝取BC邊中點E，則PE＝2，AE＝ 又∵EBC∴BCABCD中，AB＝1，BC＝3ABCDACABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離 2[答案 1022[解析 23、CN＝1、DN＝3、 由于|BD|＝(BM|BD|＝(BM＋MN＋ND)＝|BM|＋|MN|＋|ND|

→ →

→ →→ → →

103333

)＋1

)＋2(0＋0＋0)＝2，∴|BD|＝2驟17．(12分)P－ABCD中，ABCD為平行四邊形，ACBDO，GBD上一點，BG＝2GD，→＝a，→＝b＝c，試用基底{a，b，c} →[解析 ∴→2

→→→ ∴

DAC

(1)求證：AB1∥平面(2)AB1BC1[解析 B1CBC1O∵OB1C的中點，DAC∵AB1?平面BC1D，OD?平面∴AB1則AB1＝(0，－2,2)AB1＝(0，－2,2)、→cos〈

AB1，BC1〉＝ ＝22 22AB1BC1θ，則2∵θ∈(0，π 19．(12分)ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，BC＝CD＝1.BDACD30°AB[解析 ∴CD又∵CD?平面∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴ABBCD，∴∠CBDC－AB－DRt△BCDC－AB－D(3)BBH⊥ACHACD∴BH∴∠BDHBDACD所成的角．∴∠BDH＝30°.在Rt△BHD中，BD＝2，2∴BH＝2Rt△BHCRt△ABC中，AB＝1. ABC的法向量＝(1,0,0)ABDn＝(x，y，z) ∴z＝0y＝1→∴cos〈，n〉＝CD·n＝－2C－AB－D C－AB－D 設(shè)平面ACD的一個法向量是m＝(x′，y′，z′)，則

z′＝1，∴y′＝aBDACD

→∴cos〈→，m〉＝BD·m 2 2

解得a＝1，∴AB＝1.20．(12分)D1D、B1BDE＝B1F＝1.(1)求證：BEACF；(2)EACF[解析 (1)證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為xy、zD(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、∵→ →∴BE(2)解：由(1)知，→ACF→EACF EACF的距離為21．(12分)如圖所示，PDABCDABCDDC，EPC[解析 ∴→

2

CDEcos〈n1，n2〉＝ ＝ 3B－DE－C的余弦值為3⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5MNB1CD1D

1

A1E[解析 如圖以A為原點建立空間直角坐標系依題意可得A(0,0,0)B(0,1,0)C(2,0,0)的中點，得M1，1