河北省保定市辛保莊鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

河北省保定市辛保莊鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，，則(

)A. B. C. D.參考答案：A2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.下列說(shuō)法正確的有(

)個(gè)①、在對(duì)分類(lèi)變量X和Y進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，則“X與Y相關(guān)”可信程度越?。虎凇⑦M(jìn)行回歸分析過(guò)程中，可以通過(guò)對(duì)殘差的分析，發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，以便及時(shí)糾正；③、線(xiàn)性回歸方程由n組觀察值計(jì)算而得，且其圖像一定經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)中心點(diǎn)；④、若相關(guān)指數(shù)越大，則殘差平方和越小。A、1

B、2

C、3

D、4命題意圖：基礎(chǔ)題?？己嘶貧w分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。參考答案：C4.一幾何體的三視圖如右所示，則該幾何體的體積為(

)A.200+9π

B.200+18πC.140+9π

D.140+18π

參考答案：A5.復(fù)數(shù)（

）A．

B．C．D．參考答案：D略6.已知命題，它的否定是（

）A．存在

B．任意C．存在

D．任意參考答案：A7.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（

）參考答案：A8.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足A.

B.

C.

D.參考答案：D9.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，則的值為(

)A．79

B．69C．5

D．-5參考答案：D10.設(shè)F1,F2是橢圓(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，若此橢圓上一點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF2|=|F1F2|,且原點(diǎn)O到直線(xiàn)PF1的距離不超過(guò)b，則離心率e的取值范圍是(

)A．

.B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a4﹣2a72+3a8=0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7=a7，則b2b8b11等于

．參考答案：8【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意易得a7，進(jìn)而可得b7，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得．【解答】解：設(shè)各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}公差為d，∵a4﹣2a72+3a8=0，∴（a7﹣3d）﹣2a72+3（a7+d）=0，解得a7=2，∴b7=a7=2，∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．12.若二次函數(shù)滿(mǎn)足則的取值范圍為_(kāi)__________參考答案：13.若，則定義為曲線(xiàn)的線(xiàn)．已知，，，，則的線(xiàn)為

．參考答案：14.F1F2分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，I是的內(nèi)心，且，則=_________.參考答案：略15.如圖，若在矩形中隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為

參考答案：16.設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為

.參考答案：17.過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為θ的直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若，且該橢圓的離心率，則θ的取值范圍為

．參考答案：設(shè)右焦點(diǎn)F′，連結(jié)AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵該橢圓的離心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范圍為．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若f（）=1，b=l，c=4，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】GT：二倍角的余弦；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GS：二倍角的正弦；H4：正弦函數(shù)的定義域和值域；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得f（x）=，結(jié)合，可求sin（2x+）的范圍，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值及取得最大值的x（Ⅱ）由，及0＜A＜π，可求A，結(jié)合b=1，c=4，利用余弦定理可求a【解答】解：（Ⅰ）==．

…（4分）∵，∴，∴，即．∴f（x）max=1，此時(shí)，∴．

…（8分）（Ⅱ）∵，在△ABC中，∵0＜A＜π，，∴，．

…（10分）又b=1，c=4，由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13故．

…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，及余弦定理解三角形的應(yīng)用．19.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（c，0），（0，b）的直線(xiàn)的距離為c．（Ⅰ）求橢圓E的離心率；（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；曲線(xiàn)與方程．【分析】（Ⅰ）求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）和（c，0）的直線(xiàn)方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合圓的直徑和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得b2=3，即可得到橢圓方程．【解答】解：（Ⅰ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）和（c，0）的直線(xiàn)方程為bx+cy﹣bc=0，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d==c，即為a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①由題意可得圓心M（﹣2，1）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則|AB|=，易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=．x1x2=，由M為AB的中點(diǎn)，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，從而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，則有橢圓E的方程為+=1．20.（1）求函數(shù)在處的切線(xiàn)的方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.參考答案：（1）故切點(diǎn)是斜率切線(xiàn)方程：（2）.令，則所以減區(qū)間是：（或）.略21.已知函數(shù)．（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅲ）求證：（n∈N*）．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)學(xué)歸納法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專(zhuān)題： 計(jì)算題；證明題．分析： （I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，?，再構(gòu)造函數(shù)，令，有，從而，問(wèn)題可解決；（法二）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，，再去證明n=k+1時(shí)，即可（需用好歸納假設(shè)）．解答： 解：（I），定義域?yàn)椋?，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴f′（x）＜0有正數(shù)解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①當(dāng)a=0時(shí)，明顯成立．②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax2+2（a﹣1）x+a為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，ax2+2（a﹣1）x+a＜0總有x＞0的解；③當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax2+2（a﹣1）x+a開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因?yàn)閤1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有兩正根．，解得．綜合①②③知：．

（9分）（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，，即．令，則有，∴．∵，∴．

（12分）（法二）當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1時(shí)命題成立．設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即．∴n=k+1時(shí)，．根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，，即．令，則有，則有，即n=k+1時(shí)命題也成立．因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．

（12分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)學(xué)歸納法，難點(diǎn)之一在于（Ⅱ）中通過(guò)求h′（x）后，轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的問(wèn)題，再用分類(lèi)討論思想來(lái)解決；難點(diǎn)之二在于（Ⅲ）中法一通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，用放縮法證得結(jié)論，法二通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，其中也有構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于難題．22.已知：a、b、c∈R+，a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】基本不