2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期12月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期12月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合A，再利用交集運算求解.【詳解】因為，，所以，故選：D.2．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算即可.【詳解】解：由，得，則復(fù)數(shù).故選：C.3．“”是“方程表示圓”的（????）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般是方程表示圓的條件得，再根據(jù)集合關(guān)系判斷必要不充分條件即可.【詳解】方法一：因為方程表示圓，，所以，解得所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.方法二：方程表示圓，即表示圓，則需，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.4．拋物線上的一點到焦點距離為，則點的縱坐標(biāo)是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點坐標(biāo)，利用拋物線焦半徑公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】拋物線方程可化為：，則其焦點坐標(biāo)為，設(shè)，則，解得：.故選：A.5．2008年北京奧運會游泳中心(水立方)的設(shè)計靈感來于威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形)，已知該多面體共有24個頂點，且棱長為1，則該多面體表面積是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多面體有6個正方形，正六邊形有個，分別求得正方形和正六邊形的面積可得答案.【詳解】棱長為1的正方形的面積為，正六邊形的面積為，又正方形有4個頂點，正六邊形有6個頂點，該多面體共有24個頂點，所以最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多面體有6個正方形，正六邊形有個，所以該多面體的表面積為，故選：C.6．有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù)，志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個比賽項目的志愿服務(wù)，假設(shè)每個項目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個項目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】用事件A表示“甲被安排到了冰壺”，以A為樣本空間，利用古典概率公式求解作答.【詳解】用事件A表示“甲被安排到了冰壺”，B表示“乙被安排到了冰壺”，在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺就是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，相當(dāng)于以A為樣本空間，考查事件B發(fā)生，在新的樣本空間中事件B發(fā)生就是積事件AB，包含的樣本點數(shù)，事件A發(fā)生的樣本點數(shù)，所以在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率為.故選：A7．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方．若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是（????）A． B． C． D．2【答案】A【分析】結(jié)合圖像利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標(biāo)表示圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立進(jìn)一步求解，求出交點坐標(biāo)即可求解.【詳解】由題意可知，由中位線定理可得,設(shè)可得，與橢圓方程聯(lián)立，解得或（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得所以故選：A【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.8．設(shè)，，，則（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，，∴，，因為，∴，因為，所以.故選：B【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．已知甲、乙兩個水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計如圖所示，則下列說法正確的是（????）A．甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差B．若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，則C．若甲，乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則D．甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)【答案】BD【分析】根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合極差的概念、平均數(shù)的求法、方差的求法及其意義、中位數(shù)的概念，即可判斷各項的正誤.【詳解】由折線圖得：對于A，甲組數(shù)據(jù)的極差小于乙組數(shù)據(jù)的極差，故A錯誤；對于B，甲組數(shù)據(jù)除第二天數(shù)據(jù)略低于乙組數(shù)據(jù)，其它天數(shù)據(jù)都高于乙組數(shù)據(jù)，可知，故B正確；對于C，甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，，故C錯誤；對于D，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故D正確．故選：BD．10．已知，是兩條不相同的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題中真命題有（????）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】BD【分析】對于選項A，可以舉反例判斷；對于選項BD可以證明；對于選項C可以舉反例.【詳解】對于選項A，平面和可能相交，所以選項A是假命題；對于選項B，由，可知，再由，可得，故選項B是真命題；對于選項C，直線與平面可能相交，故選項C是假命題；對于選項D，由，可知，再由，可得，故選項D是真命題．故選：BD【點睛】方法點睛：空間直線平面位置關(guān)系的判斷，常用的方法有：（1）舉反例；（2）直接證明；（3）反證.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法判斷得解.11．已知為坐標(biāo)原點，分別為雙曲線的左、右焦點，點在的右支上．若，且，則雙曲線的離心率可能是（????）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】設(shè)，，由雙曲線定義可得；利用表示出已知中的不等關(guān)系，得到；根據(jù)已知中的等式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可構(gòu)造關(guān)于的齊次不等式，由此可求得離心率的范圍，進(jìn)而確定結(jié)果.【詳解】設(shè)，，由雙曲線定義知：，即，由得：，；由得：，，，雙曲線離心率，則選項中可能的值為，，.故選：ACD.12．如圖所示，在長方體中，，點是上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：其中真命題的是（????）A．四棱錐的體積恒為定值；B．存在點，使得平面C．對于棱上任意一點，在棱上均有相應(yīng)的點，使得平面D．存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值．【答案】ABD【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理判斷四邊形的形狀，由此研究截面的周長，判斷D，再利用錐體的體積公式研究四棱錐的體積，判斷A,利用線面垂直判定定理判斷B，通過舉例判斷C.【詳解】由面面平行的性質(zhì)定理可得四邊形為平行四邊形，所以四棱錐的體積等于三棱錐的體積的兩倍，∴????，又，都是定值，所以四棱錐的體積為定值，A對，當(dāng)BE⊥B1C時，∵??CD⊥BE，BE⊥B1C，由線面垂直判斷定理可得BE⊥平面B1CD，∴??BE⊥B1D，又BB1=B1D1，??∴??B1D⊥BD1，∴??平面，B對，當(dāng)E運動到點C處時，不存在相應(yīng)的點，使得平面，C錯，由面面平行的性質(zhì)定理可得四邊形為平行四邊形，∴??截面四邊形的周長為，當(dāng)時，取最小值，此時截面四邊形的周長最小，故存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值，D對，故選：ABD.三、填空題13．函數(shù)在處的切線方程是____________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合切點坐標(biāo)可得切線方程.【詳解】，在處的切線斜率，又，所求切線方程為：，即.故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列的前項和為，則______.【答案】【解析】利用即可求解.【詳解】解：.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列求和的并項求和方法，屬于基礎(chǔ)題.15．已知隨機變量，且，則的展開式中的系數(shù)為________【答案】【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性可求得，分別確定兩個因式的展開式通項，相乘得到新通項后，令，討論得到可能的取值，結(jié)合通項可求得對應(yīng)的系數(shù).【詳解】，，由正態(tài)分布曲線的對稱性知：；展開式通項為：；展開式通項為：；展開式通項可記為：，令，即，則滿足條件的解為和，的系數(shù)為.故答案為：.16．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點是拋物線上的一點，以拋物線的焦點為圓心、以為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于兩點，記，若，且的面積為，則實數(shù)的值為_______【答案】【分析】利用二倍角和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡已知等式可求得，進(jìn)而得到，確定為等邊三角形，則用可表示出，利用三角形面積公式，結(jié)合拋物線定義可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】由得：，，，，，解得：，，，為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點為，則，，則圓的半徑，，解得：.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線中的三角形面積問題，解題關(guān)鍵是能夠結(jié)合拋物線定義，利用所求變量表示出已知中的三角形面積，從而構(gòu)造方程來進(jìn)行求解；其中涉及到利用三角恒等變換知識來化簡已知等式求得所需角的問題.四、解答題17．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，.(1)求角B的大?。?2)若，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理得到化簡求解；（2）由，再由，結(jié)合正弦定理和三角形面積公式求解.【詳解】（1）解：由，得，因為B，，則且，所以，即，則，得，所以.（2），，，又，所以，所以，故.18．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求.【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義即可證明.（2）由（1）求出，再利用裂項相消求和法即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以所以，所以.【點睛】本題考查了利用等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列為等比數(shù)列、裂項相消求數(shù)列和，考查了基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．經(jīng)觀測，某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表．275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點圖判斷，，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)．①試求關(guān)于回歸方程；②已知用人工培養(yǎng)該昆蟲的成本與溫度和產(chǎn)卵數(shù)的關(guān)系為，當(dāng)溫度（取整數(shù)）為何值時，培養(yǎng)成本的預(yù)報值最??？附：對于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）更適宜；（2）①；②14．【分析】（1）根據(jù)樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，可確定適宜的回歸模型．（2）①令則，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出，得回歸模型；②由①得，由二次函數(shù)性質(zhì)得最小值．【詳解】解：（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型；（2）①令則∴②∴時，培養(yǎng)成本的預(yù)報值最?。军c睛】本題考查散點圖，考查線性回歸方程與應(yīng)用問題，考查了學(xué)生的運算求解能力，分析問題解決問題的能力，本題屬于中檔題．20．如圖，四邊形是正方形，平面，，．（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接與交于點O，易得平面，取的中點M，易得為平行四邊形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）以A為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)與平面所成角為，由，解得，然后分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接與交于點O，因為為正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中點M，連接，注意到為的中位線，故，且，因此，且，故為平行四邊形，即，因此平面，而平面，故平面平面．（2）以A為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）可知平面，因此平面的一個法向量為，而，由與平面所成角為，得，即，解得；則，設(shè)平面的一個法向量為，則得令，則，故．設(shè)平面的一個法向量，則得令，則，，故．所以，注意到二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為．21．已知橢圓的左右焦點分別為．過點的直線與橢圓交于兩點，過點作的垂線交橢圓于兩點，的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，再通過的周長為求出，即可計算得到橢圓方程；（2）先討論直線與軸重合和垂直的情況，再計算一般情況，得到的表達(dá)式，然后計算范圍.【詳解】（1）由題，由橢圓定義，的周長為，所以所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)軸時，MN與x軸重合，不符合題意，當(dāng)直線與軸重合時，，所以；當(dāng)直線斜率存在且不為0時，設(shè)，由韋達(dá)定理所以同理所以綜上所述，的取值范圍是.22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個不同的極值點，，且不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若有兩個相異零點，，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）當(dāng)，時，求得導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及韋達(dá)定理求得的取值范圍，不等式有解，轉(zhuǎn)化為，利用韋達(dá)定理的結(jié)論可以整理為關(guān)于實數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究求得其最大值即得的取值范圍;（3）設(shè)的兩個相異零點為，，設(shè)，將要證不等式，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證明即可.【詳解】解：（1）當(dāng)，時，，∴，∵，令，則或，令，則，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：由題可得，∵函數(shù)有兩個不同的極值點，