2023屆天津市濱海新區(qū)塘沽紫云中學高三上學期線上期末數(shù)學試題

18/1817/18/2023屆天津市濱海新區(qū)塘沽紫云中學高三上學期線上期末數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：C.2．若，且，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別進行判斷即可．【詳解】當時，不成立；當時，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選D．【點睛】本題考查了充分必要條件，考查了不等式的性質，是一道基礎題．3．函數(shù)的圖象大致為（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C，再根據(jù)的符號即可排除AD，即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域為R，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故排除C；，故排除A；，故排除D.故選：B.4．為了解學生課外使用手機的情況，某研究學習小組為研究學校學生一個月使用手機的總時間，收集了500名學生2019年12月課余使用手機的總時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)．從中隨機抽取了50名學生，將數(shù)據(jù)進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知這50人中，恰有2名女生的課余使用手機總時間在區(qū)間，現(xiàn)在從課余使用手總時間在樣本對應的學生中隨機抽取2人，則至少抽到1名女生的概率為（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】由頻率分布直方圖求出在區(qū)間的學生人數(shù)，然后求出抽取2人的總方法數(shù)和至少有1名女生的方法數(shù)，從而計算出概率．【詳解】，則樣本對應的學生為5人，即2名女生，3名男生，從中抽取2人有10種方法，至少抽到一名女生有7種方法，概率為．【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查古典概型，正確理解頻率分布直方圖是解題基礎，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的數(shù)量是解題關鍵．5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為1，點P在線段BD1上，當∠APC最大時，三棱錐P－ABC的體積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接AC交BD于O，連接PO，則∠APC=2∠APO∵tan∠APO=∴當PO最小時，∠APO最大，即PO⊥BD1時，∠APO最大，如圖，作PE⊥BD于E，∵正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，∴BD=，BD1=，∵OP⊥BD1，PE⊥BD，∴△BDD1∽△BPO∽△PEO，∴，∴OP=，PE=，∴三棱錐P-ABC的體積V=，,故選項為：B點睛：立體幾何的核心思想：空間問題平面化.本題把問題轉化到平面BDD1中，當PO最小時,即∠APO最大，借助平面幾何知識易得：OP=，PE=，從而得到了三棱錐P-ABC的體積.6．已知，，，則的大小關系為（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等式特征，構造函數(shù)，利用函數(shù)圖象，結合數(shù)形結合思想進行判斷即可.【詳解】顯然，，，，構造函數(shù)在同一直角坐標系畫出它們的圖象，如下圖所示：有成立，故選：C7．函數(shù)的圖象如圖，把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，下列結論中：①；②函數(shù)的最小正周期為；③函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；④函數(shù)關于點中心對稱其中正確結論的個數(shù)是（????）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】對①，先根據(jù)圖象分析出的取值范圍，然后根據(jù)分析出的可取值，然后分類討論的可取值是否成立，由此確定出的取值；對②，根據(jù)圖象平移確定出的解析式，利用最小正周期的計算公式即可判斷；對③，先求解出的單調遞增區(qū)間，然后根據(jù)的取值確定出是否為單調遞增區(qū)間；對④，根據(jù)的值是否為,即可判斷.【詳解】解：由圖可知：，，即，又，，由圖可知：，又，，且，，故，當時，，解得：，滿足條件，，故，對①，由上述可知①錯誤；對②，，的最小正周期為，故②正確；對③，令，即，令，此時單調遞增區(qū)間為，且，故③正確；對④，，不是對稱中心，故④錯誤；故選：C.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)，若求函數(shù)的單調遞增區(qū)間，則令，；若求函數(shù)的單調遞減區(qū)間，則令，；若求函數(shù)圖象的對稱軸，則令，；若求函數(shù)圖象的對稱中心或零點，則令，．8．如圖，，是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，若點為的中點，且，則（????）．A．4 B． C．6 D．9【答案】A【分析】結合已知條件得，推出，然后求出，即可求得．【詳解】因為點為的中點，所以，又，所以，，所以，所以，解得，所以．故．故選：A.9．已知偶函數(shù)，滿足且時，則的解的個數(shù)是（????）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，在同一個坐標系中，畫出函數(shù)和的圖像，可以得出兩個圖像的交點的個數(shù)是個.【詳解】由為偶函數(shù)，得，所以的周期為，由可得，令，即求的解的個數(shù)轉化為函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)問題；在同一個坐標系中，畫出函數(shù)和的圖像，如圖所示：觀察圖像可得兩個函數(shù)共有個交點.故選：B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的交點個數(shù)，考查了數(shù)形結合思想．屬于較易題.二、填空題10．若復數(shù)z滿足，則z的虛部為______．【答案】3【分析】首先利用復數(shù)除法運算公式，計算，即可得復數(shù)的虛部.【詳解】,所以的虛部為.故答案為：11．的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【分析】寫出的展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，解得.因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用二項式定理求展開式中指定項的系數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.12．已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則m的值為___________．【答案】【分析】由弦長公式以及距離公式得出m的值.【詳解】設圓心到直線的距離為，圓的圓心，半徑.因為，所以，即，故，解得.故答案為：13．據(jù)統(tǒng)計，連續(xù)熬夜48小時誘發(fā)心臟病的概率為0.055，連續(xù)熬夜72小時誘發(fā)心臟病的概率為0.19.現(xiàn)有一人已連續(xù)熬夜48小時未誘發(fā)心臟病，則他還能繼續(xù)連續(xù)熬夜24小時不誘發(fā)心臟病的概率為______.【答案】【分析】由對立設事件的概率分別得到連續(xù)熬夜48小時和連續(xù)熬夜72小時未誘發(fā)心臟病的概率，再利用條件概率公式求解.【詳解】設事件為發(fā)病，事件為發(fā)病，由題意可知：，，則，，由條件概率公式可得：.故答案為：【點睛】本題主要考查對立事件和條件概率的求法，屬于基礎題.14．正數(shù)a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】[6，＋∞)【分析】先利用基本不等式，求得的最小值為.再對題目所給的恒成立的不等式分離常數(shù)，求得含有的表達式的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】因為a>0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16，由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m對任意實數(shù)x恒成立．又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值為－6，所以－6≥－m，即m≥6.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查不等式恒成立問題的解決策略——分離常數(shù)法.屬于中檔題.三、雙空題15．在△ABC中，，，，則______；若M是△ABC所在平面上的一點，則的最小值為______．【答案】????##????##-0.25【分析】根據(jù)，得到D為AB的中點，再由，利用數(shù)量積運算得到，然后利用數(shù)量積的幾何意義求解；建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算求解.【詳解】解：如圖所示：因為，所以D為AB的中點，又，且，所以，，則，所以，則；建立如圖所示平面直角坐標系：則，設，所以，，則，所以，，當，時，取得最小值，故答案為：，四、解答題16．已知的內角的對邊分別為，且．（1），，求的值；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用正弦定理即可求出的值；（2）根據(jù)，，，利用余弦定理求出，即可求出的面積．【詳解】解：（1）由正弦定理得.（2）由余弦定理得，???????????所以，得.???所以.17．如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，平面平面，為中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）設中點為，連接、，首先通過條件得出，加，可得，進而可得平面，再加上平面，可得平面平面，則平面；（2）設中點為，連接、，可得平面，加上平面，則可如圖建立直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設中點為，連接、，為等邊三角形，，，，，，即，，????????，平面，平面，平面，為的中位線，，平面，平面，平面，、為平面內二相交直線，平面平面，平面DMN，平面；（2）設中點為，連接、為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，、、共線，，，，，平面平面.平面平面平面，交線為，平面平面.設，則在中，由余弦定理，得：又，，，，，為中點，，建立直角坐標系（如圖），則，，，.，，設平面的法向量為，則，，取，則，，平面的法向量為，，二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.【點睛】本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學生計算能力和空間想象能力，是中檔題.18．設橢圓的右焦點為，以原點為圓心，短半軸長為半徑的圓恰好經過橢圓的兩焦點，且該圓截直線所得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過定點的直線交橢圓于兩點、，橢圓上的點滿足，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知，，再由圓截直線所得的弦長為，得，可求出，從而求出的值，可得到橢圓的標準方程；（2）設過點的直線為，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后得，先使判別式大于零，求出的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關系得到，然后結合將點的坐標表示出來代入橢圓方程中可出的值，從而可得直線的方程.【詳解】（1）以原點為圓心，短半軸長為半徑的圓的方程為.∵圓過橢圓的兩焦點，??∴，∵圓截直線所得的弦長為.∴，解得，∴.∴橢圓的標準方程為.（2）設過點的直線方程為.，兩點的坐標分別為，，聯(lián)立方程，得，，∴，∵，∴點，∵點在橢圓上，∴有，即，∴，即，解得，符合，直線方程為.（2）方法二：由題意知直線的斜率存在，設過定點的直線為，，，則直線與軸交于點，因為，所以，將直線與橢圓聯(lián)立并化簡可得，，則，解得，所以，，所以，因為點在橢圓上，所以滿足橢圓方程，將，代入得，，化簡得，直線方程為.【點睛】此題考查了求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查了運算能力，屬于中檔題.19．已知數(shù)列滿足，其前5項和為15；數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．(1)求和的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，證明：；(3)比較和的大?。敬鸢浮?1)，；(2)證明見解析(3)【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項，可得等差數(shù)列的通項公式；求出等比數(shù)列的公比，可得其通項公式；（2）寫出等比數(shù)列前n項和公式，作差，化簡，即可證明結論；（3）利用錯位相減法求得，化簡，將兩式相減，根據(jù)差的結果，比較大小，可得答案.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，因為的前5項和為15，所以，所以，解得，所以．設等比數(shù)列的公比為q，依題意，，又，可得，解得，所以．（2）由（1）得，所以,故.（3）記，①②②-①得,,所以，當時，，當時，，當時，，當時，因為，所以，綜上，．【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列的求和方法和有關和式的大小比較，涉及到二項式系數(shù)和，綜合性較強，解答時要注意數(shù)列求和的錯位相減法的應用，比較大小時要注意二項式展開式的二項式系數(shù)和的應用.20．已知函數(shù)，其中.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有唯一零點，求的值.【答案】（1）；（2）的值為1.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，得出曲線在點處的切線的斜率，再求