2019北京高三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：平面向量及其應(yīng)用

10/102019北京高三（上）期中數(shù)學(xué)匯編平面向量及其應(yīng)用一、單選題1．（2019·北京市第二十七中學(xué)高三期中）已知向量??在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若λμ（λ，μ∈R），則λ+μ=（

）A． B． C． D．2．（2019·北京市第二十七中學(xué)高三期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b，c，B，那么a等于（

）A．1 B．2 C．1或4 D．43．（2019·北京市第五十中學(xué)高三期中）在中，，，，則等于（

）A．或 B．或 C． D．4．（2019·北京市順義區(qū)第一中學(xué)高三期中）已知向量，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．6 D．145．（2019·北京八中高三期中）化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．6．（2019·北京·101中學(xué)高三期中）已知向量，，且，那么（

）A．(4，0) B．(0，4) C．(4，－8) D．(－4，8)7．（2019·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三期中）設(shè)向量，則的模長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．（2019·北京十五中高三期中）已知在直角三角形中，為直角，，，若是邊上的高，點(diǎn)在內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．9．（2019·北京·北師大二附中高三期中）在中，內(nèi)角為鈍角，，，，則A．2 B．3 C．5 D．1010．（2019·北京·臨川學(xué)校高三期中）（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文科）已知點(diǎn)，向量，則向量A． B．C． D．二、填空題11．（2019·北京市第二十七中學(xué)高三期中）若向量，滿足||=1，||=2，且與的夾角為，則|2|=___________.12．（2019·北京市順義區(qū)第一中學(xué)高三期中）設(shè)是單位向量，且，則的最小值為_(kāi)_________．13．（2019·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三期中）已知正方形邊長(zhǎng)為是線段的中點(diǎn)，則__________．14．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則角=__________.15．（2019·北京·101中學(xué)高三期中）如圖，、、是圓上的三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與線段的延長(zhǎng)線交于圓外一點(diǎn)，若，則的取值范圍是_________.16．（2019·北京·臨川學(xué)校高三期中）已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.三、雙空題17．（2019·北京四中高三期中）在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則____；________.四、解答題18．（2019·北京·牛欄山一中高三期中）在△中，三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．（1）求；（2）若，三角形的面積，求．19．（2019·北京四中高三期中）已知：中，滿足.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求面積的最大值.20．（2019·北京·臨川學(xué)校高三期中）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．21．（2019·北京市第五十中學(xué)高三期中）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．

參考答案1．B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，然后求出的坐標(biāo)，然后代入λμ（λ，μ∈R），即可求出λ，μ的值.【詳解】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可令，，，代入λμ（λ，μ∈R）得：，即，解得，所以.故選：B.2．D【分析】依題意，利用余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求得a的值.【詳解】解：在△ABC中，b，c，B，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即7=3+a2-2aa2-3a+3，解得a=4或a=-1（舍），故選：D.3．A【詳解】由正弦定理知，∴，∵，，∴或.故選：A.4．D【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到關(guān)于的方程，解之即可．【詳解】∵，，∴，又∵，∴，解得．故選：D．5．B【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】，故選：B.6．C【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，所以，所以．故選：C.7．C【分析】利用向量加法的坐標(biāo)公式，得到的坐標(biāo)，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即得解.【詳解】因?yàn)橄蛄抗蔬x：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．D【分析】根據(jù)圖形幾何特征分析向量數(shù)量積的最大值和最小值可能取得的條件，結(jié)合函數(shù)關(guān)系求值域.【詳解】如圖：在直角三角形中，為直角，，，所以，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：，直線的方程為：，所以直線的方程：，所以，點(diǎn)在內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，與夾角大于等于90°由圖可得：與夾角大于等于，點(diǎn)在線段上時(shí)，，且為最大值，點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，設(shè)點(diǎn)，.綜上所述：的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求向量數(shù)量積的取值范圍，關(guān)鍵在于根據(jù)題意找準(zhǔn)點(diǎn)所在位置，結(jié)合幾何特征以及函數(shù)求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.9．A【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，再根據(jù)余弦定理求【詳解】因?yàn)闉殁g角，所以因此由余弦定理得（負(fù)值舍去），選A.【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.10．A【詳解】試題分析：,選A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算11．2【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出，從而求出模長(zhǎng).【詳解】∵||=1，||=2，且與的夾角為，∴44=4×12+4×1×2×cos22=4+4+4=12；∴|2|2；故答案為：2.12．【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算將化為關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.【詳解】，且均為單位向量，∴，||=1，,∴.設(shè)與的夾角為θ，則.故的最小值為故答案為：13．【分析】由已知條件，將進(jìn)行拆分，根據(jù)向量加法原則及幾何意義，可將其轉(zhuǎn)化為，即得解.【詳解】由題意可得：；故：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)平面向量的應(yīng)用，向量的加法，數(shù)量積等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.14．【分析】根據(jù)正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【詳解】，則，，故.根據(jù)余弦定理：，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15．【分析】設(shè)，可得出，并設(shè)，利用三點(diǎn)共線得出，從而可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)，可得出，設(shè)，由于、、三點(diǎn)共線，則，則，則，，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基底表示求參數(shù)和的取值范圍，解題時(shí)要充分利用三點(diǎn)共線的結(jié)論來(lái)轉(zhuǎn)化，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.16．【詳解】∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點(diǎn)睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來(lái)求向量的模．17．

【分析】本題主要考查解三角形問(wèn)題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在、中應(yīng)用正弦定理，由建立方程，進(jìn)而得解.【詳解】在中，正弦定理有：，而,，，所以.【點(diǎn)睛】解答解三角形問(wèn)題，要注意充分利用圖形特征.18．（1）；（2）．【分析】(1)由余弦定理，已知即可求；(2)根據(jù)，可得，已知、即可求【詳解】(1)由余弦定理知：，而∴，而，故(2)由，有，且∵知：∴【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，及三角形面積公式；根據(jù)余弦定理邊角關(guān)系求角，由三角形面積公式求兩邊之積，結(jié)合已知求出第三邊，屬于簡(jiǎn)單題19．（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）把條件中所給的既有角又有邊的等式利用正弦定理變化成只有角的形式，整理逆用兩角和的正弦公式，根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系，得到結(jié)果．（Ⅱ）利用余弦定理寫成關(guān)于角的表示式，整理出兩個(gè)邊的積的范圍，表示出三角形的面積，得到面積的最大值．【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?/p>

所以，由正弦定理，得.整理得.所以.在△中，.所以，；（Ⅱ）由余弦定理，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.所以三角形的面積.所以三角形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，本題解題的關(guān)鍵是角和邊的靈活互化，兩個(gè)定理的靈活應(yīng)用和兩角和的公式的正用和逆用，屬于中檔題．20．(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21．(1)∠A=

(2)AC邊上的高為【詳解】分析：（1）先根據(jù)平方關(guān)系求,再根據(jù)正弦定理求，即得；（2）根據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程，再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，解得邊上的高．詳解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B