河南省開封市南彰鎮(zhèn)蘇莊聯(lián)合中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

河南省開封市南彰鎮(zhèn)蘇莊聯(lián)合中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣方法從中抽取樣本，若樣本中青年職工為7人，則樣本容量為

()A．7

B．15

C．25 D．35參考答案：B2.為了在運(yùn)行下面的程序之后得到輸出y＝16，鍵盤輸入x應(yīng)該是（

）A．或

B．

C．或

D．或參考答案：C3.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），離心率，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，從而可得a=2，b=，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，故a=2，b=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．4.命題“?x0∈R，≤0”的否定是（）A．?x0∈R，＞0 B．?x0?R，≤0C．?x∈R，2x＞0 D．?x∈R，2x≤0參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)論．【解答】解：命題是特稱命題，則命題的否定是?x∈R，2x＞0，故選：C5.已知∥，則的值為（

）A．2

B．

0

C．

D．－2參考答案：B6.邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（）A．90° B．120° C．135° D．150°參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】設(shè)長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的角為θ，根據(jù)余弦定理可得cosθ的值，進(jìn)而可得θ的大小，則由三角形內(nèi)角和定理可得最大角與最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．【解答】解：根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為8與5，設(shè)長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的角為θ，則最大角與最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，則最大角與最小角的和是180°﹣θ=120°，故選B．7.已知平行六面體中，AB=4，AD=3，，，，則等于 （

）A．85

B．

C．

D．50參考答案：B8.點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)a=0.7，b=0.8，c=log30.7，則（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c參考答案：B【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算．【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)正數(shù)a，b的大小，然后推出a，b，c的大小即可．【解答】解：因?yàn)閥=是增函數(shù)，所以所以c＜a＜b故選B10.若長(zhǎng)方體的三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別是，則長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為（

）A

B

C

D

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{}是等差數(shù)列，=7，則=_________參考答案：49略12.已知、、、是三棱錐內(nèi)的四點(diǎn)，且、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，若用表示三棱錐的體積，其余的類推．則

．參考答案：13.若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件：（）直線在點(diǎn)處與曲線相切；（）曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線．下列命題正確的是__________．（寫出所有正確命題的編號(hào)）①直線在點(diǎn)處“切過”曲線；②直線在點(diǎn)處“切過”曲線；③直線在點(diǎn)處“切過”曲線；④直線在點(diǎn)處“切過”曲線．參考答案：①③①∵，，∴，∴曲線在點(diǎn)處切線為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，①正確；②設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)，∴，即在上恒成立，∴曲線總在直線下方，不合要求，②不正確；③∵，，∴，∴曲線在點(diǎn)處切線為，設(shè)，，∴是減函數(shù)，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，曲線在切線的下方，當(dāng)，，即，曲線在切線的上方，③正確；④設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，即在上是恒成立，∴總在直線上方，不合要求，④不正確．綜上，正確命題有①③．14.已知，，若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值是___▲___.參考答案：4由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以。點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用。本題中，關(guān)于x的不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，有，得到，所以。本題的關(guān)鍵是理解條件中的恒成立。15.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)（2，0）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.參考答案：或16.若一束光線沿著直線x－2y＋5＝0射到x軸上一點(diǎn)，經(jīng)x軸反射后其反射線所在直線的方程是__________．參考答案：略17.函數(shù)y=的最小值為_______________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在圓x2+y2=3上任取一動(dòng)點(diǎn)P，過P作x軸的垂線PD，D為垂足，=動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程及其離心率；（2）若直線l交曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由=得x0=x，y0=y，即可得到橢圓的方程及其離心率；（2）由于已知坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，故求△AOB面積的最大值的問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值的問題，由弦長(zhǎng)公式將其表示出來，再判斷最值即可得到線段AB的最大值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x0，y0），由=得x0=x，y0=y…..（2分）因?yàn)閤02+y02=3，所以x2+3y2=3，即=1，其離心率e=．…..（Ⅱ）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，|AB|=．②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1x2=（7分）∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+≤4，當(dāng)且僅當(dāng)9k2=，即k=時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|AB|=2．（10分）當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=．（11分）綜上所述：|AB|max=2，此時(shí)△AOB面積取最大值=（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解答本題關(guān)鍵是對(duì)直線AB的位置關(guān)系進(jìn)行討論，可能的最值來，本題由于要聯(lián)立方程求弦長(zhǎng)，故運(yùn)算量比較大，又都是符號(hào)運(yùn)算，極易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，規(guī)律固定，因此此類題難度降低不少，因?yàn)橛写斯潭ㄒ?guī)律，方法易找，只是運(yùn)算量較大．19.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于，以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4，直線l：y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E交于A、B兩個(gè)相異點(diǎn)，且=λ．（I）求橢圓E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（I）設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）運(yùn)用向量的加減運(yùn)算，可得λ=3，由題意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得m2==1+，再由不等式的性質(zhì)，可得所求范圍．【解答】解：（I）設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有橢圓的方程為+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由題意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直線y=kx+m代入橢圓方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），當(dāng)m=0時(shí)，O，P重合，λ=1顯然成立．可得m的取值范圍是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．20.(本小題滿分12分)某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是元，銷售價(jià)是元，月平均銷售a件.通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是（元）.（Ⅰ）寫出與的函數(shù)關(guān)系式;（Ⅱ）改進(jìn)工藝后，試確定該紀(jì)念品的銷售價(jià)，使得旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.參考答案：（Ⅰ）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x）元，月平均銷售量為件，則月平均利潤(rùn)（元）；y與x的函數(shù)關(guān)系式為

…………

6分（Ⅱ）令

…………

8分當(dāng)

；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在取得最大值.

…………10分

此時(shí)銷售價(jià)為.答：改進(jìn)工藝后，該紀(jì)念品的銷售價(jià)為，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.

…………

12分21.（12分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱SD=2，SA=2，∠SDC=120°．（Ⅰ）求證：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB與面SDC所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由線面垂直的判定得AD⊥側(cè)面SDC；（Ⅱ）證明∠BSC棱SB與面SDC所成角，即可求棱SB與面SDC所成角的大?。窘獯稹浚á瘢┳C明：∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD?側(cè)面SDC，SD?側(cè)面SDC，且SD∩CD=D，∴AD⊥側(cè)面SDC；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥側(cè)面SDC，∴∠BSC是棱SB與面SDC所成角．△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2，△BSC中，tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB與面SDC所成角為30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直，考查線面角的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.已知函數(shù)，，其中．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(Ⅰ)解法1：∵，其定義域?yàn)椋?/p>

∴．

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．

∵，∴．

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．

解法2：∵，其定義域?yàn)?，∴?/p>

令，即，整理，得．∵，∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：—0＋減函數(shù)極小值增函數(shù)依題意，，即，∵，∴．

(Ⅱ)對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥．