10 《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數(shù)表

鳳凰初中數(shù)學(xué)配套教學(xué)軟件識(shí)拓展《大衍歷》的九服晷算法及其正切函數(shù)表我國(guó)古代歷法從東《四分歷開始就有各節(jié)氣初日晷影長(zhǎng)度和太陽去極度的觀測(cè)記錄漏刻晷影成為古代歷法的重要計(jì)算項(xiàng)目隋朝劉焯發(fā)明二次等間距插值法之后李淳風(fēng)首先將二次插值法引入到漏刻計(jì)算中由每氣初日的漏刻、晷影長(zhǎng)度數(shù)求該氣各日的漏刻、晷影數(shù)．但是，各歷法中所記載和計(jì)算的漏刻和晷影大多是陽城（今河南登封東南告成鎮(zhèn)）的數(shù)值．一行在編制《大衍歷》時(shí)，曾進(jìn)行了大規(guī)模的天文測(cè)量，通過觀測(cè)知道，隨去極度變化的影長(zhǎng)，又因地方而異，但同太陽的天頂距有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系．一行在《大衍歷》中發(fā)明了求任何地方每日影長(zhǎng)和去極度的計(jì)算方法，叫做“九服晷影”．古人把陽城作為測(cè)影的標(biāo)準(zhǔn)地點(diǎn)所謂的地中為陽城的北極高度，S、、……為陽城夏至、小暑、大暑等日的太陽上中天位置，則、PS、12312…為陽城夏至、小暑、大暑……諸氣太陽的去極度，取a＝－PS、3121

2＝PS－……，則、分別為陽城夏至到小暑、小暑到大暑的去極度差數(shù)，3212也是太陽天頂距的差數(shù)．且這個(gè)差數(shù)對(duì)任何地點(diǎn)的相應(yīng)季節(jié)都是相等的．設(shè)有某地北極高度為夏至小暑暑等日的太陽上中天位置為′1SS……．顯然，有23a′′a′′．121232陽城夏至、小暑、大暑太陽天頂距為ZS、等，故123aZS－a＝121232同樣，有aZS－ZS，a＝ZS′－ZS．122232歷法中已給出陽城各氣初日的太陽去極度則各氣的去極度差即為已知同樣各氣的太陽天頂距差亦為已知而這個(gè)差數(shù)對(duì)于任一地點(diǎn)都是相等的這樣一來，對(duì)于任一地方，只要知道某一節(jié)氣（如夏至）的太陽天頂距，其他各氣的太陽天頂距都可以通過加減這個(gè)差數(shù)求出剩下還要解決以下兩個(gè)問題其一如何求某地夏（或冬至太陽天頂距二已知天頂距如何換算出晷影長(zhǎng)這兩個(gè)問題都可以通過建立一個(gè)影長(zhǎng)與太陽天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表來解決．如果列出一張以天頂距為引數(shù)每隔一度的影長(zhǎng)的數(shù)值表則以上兩個(gè)問題都可以解決：先在所測(cè)地測(cè)出（冬）夏至晷影長(zhǎng)度（在一行領(lǐng)導(dǎo)的大地測(cè)量中，ii鳳凰初中數(shù)學(xué)配套教學(xué)軟件識(shí)拓展在每處都進(jìn)行了這樣的測(cè)量由影長(zhǎng)查表得出太陽天頂距再加減一個(gè)如前所述的差數(shù)a即可求出該地各氣的天頂距，返回再查表得影長(zhǎng)．一行在《大衍歷》“步晷漏術(shù)”中就建立了這樣一個(gè)從到度每度影長(zhǎng)與太陽天頂距對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一張正切函數(shù)表．在國(guó)外，大約920年左右，阿拉伯學(xué)者阿爾·巴坦尼（al-Battani約858—929）根據(jù)影長(zhǎng)與太陽仰角之間的關(guān)系，編制0度-90度每隔一度時(shí)尺竿子的影長(zhǎng)表，這實(shí)際上是一個(gè)12的數(shù)表．另一位阿拉伯學(xué)者阿爾·威發(fā)（Abul-Waha940-998在980年左右編成了正切和余切函數(shù)表，每隔15度和10度給出一個(gè)值．他還首次引進(jìn)了正割和余割函數(shù)．一行和阿爾·巴坦尼差不多沿著相同的途徑編成正切和余切函數(shù)表一行用太陽天頂距阿爾巴坦尼用太陽仰角兩者互為余角所以他們兩人的發(fā)現(xiàn)是相同的而一行的正切函數(shù)表比阿爾巴坦尼的余切函數(shù)表