行測(cè)數(shù)學(xué)題分類辯析概率問(wèn)題

重視概念的甄別，即弄清某些容易的概念之間的區(qū)別另一發(fā)生的概率沒有影響。對(duì)兩個(gè)隨量而言，相互獨(dú)立不相關(guān)。條件概率P(A|B)與乘積概率P(AB)也是容易的一對(duì)概

P(BA。如袋中有91個(gè)紅球，作不放回抽樣，每次任取2次，求：概率。問(wèn)題(1)是求第一次取到紅球且第二次取到白球這一積的概率，而問(wèn)題(2)則是求背景、特點(diǎn)和適用范圍，要熟記計(jì)算，以便能正確應(yīng)用。例如：：概率模型，其特點(diǎn)是各個(gè)重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，且每次試驗(yàn)中僅有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A發(fā)生或不發(fā)生，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，A恰好發(fā)生v次的概率為：P(vCvpv(1p)nv，其中pPA 均勻分布——“等可能”取值的連續(xù)化模型：如果連續(xù)隨量?jī)H在某有限間[ab

ax(x)b 則稱服從區(qū)間[abContentsChapter 隨機(jī)及其概率(RandomEventsand一、概率論的誕生及應(yīng)用(Naissanceandapplicationofprobability1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(ac),另一賭徒勝b局(bc)時(shí)便終止,問(wèn)應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問(wèn)題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本 概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.一方面，它有自己獨(dú)特的概念和方的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,例如天氣預(yù)報(bào),預(yù)報(bào),產(chǎn)品的抽樣;工二、隨機(jī)現(xiàn)象(Randomphenomenon)自然界和社會(huì)上所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗(yàn)或觀察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果.實(shí)例 ,述隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.Problem:什么是隨機(jī)試驗(yàn)§1.1隨機(jī)(Random一、隨機(jī)試驗(yàn)(RandomE1：拋一枚硬幣，觀察正面H、T出現(xiàn)的情況E3：拋一枚，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)E4E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的E6SamplingEE的樣本空間(Samplingspace)，SE的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)(Samplingpoint)。例如，上面的6個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間分別為：S1H,TS2{0,1,S4{1,2,,n}；這里的n是售票處一天內(nèi)準(zhǔn) 的車票數(shù)nS5t|tS6(xy|T0xyT1xy表示最高溫度。并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0，也不會(huì)大于T1。三、隨機(jī)(Random中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱A發(fā)生““件A表示為A1,3,5。同樣地，若用B表 件B246對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)E，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的，稱為E的必然(Certainevent)；在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的，稱為E的不可能(Impossibleevent)。例如在E3中“擲出的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6”就是必然，用集合表示這一就是E3的樣本空 不包括E3的任四、間的關(guān)系與運(yùn)算(RelationandoperationofESABAk(k1,2,S（1）的包含與相等(Inclusionandequivalentrelation)若A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱A包含B，記為BA或者AB。若AB且BA，即AB，則稱A與B相等。（2）的和(Unionof A與B至少有一個(gè)發(fā)生的稱為A與B的和，記為AB或A與B都發(fā)生

AB發(fā)生意味著：或A發(fā)生，或B發(fā)生的和以推廣多個(gè)的情景設(shè)有n個(gè)

n為A1A2,An中至少有一個(gè)發(fā)生}Akk（3）的積(Productofevents)A與B都發(fā)生的稱為A與BAB都發(fā)生。類似的，可以定義n

A1A2,An

AkA1A2,An都發(fā)生}k（4的差(Differenceof A發(fā)生而B不發(fā)生的稱為A與B的差，記為AB。（5）互不相容(互斥 patibleevents)若A與B不能同時(shí)發(fā)生，

A1A2,An(6)對(duì)立(Oppositeevents)“A不發(fā)生”的稱為A的對(duì)立，記為AAAAASAAAA運(yùn)算滿足的定律設(shè)A,B,C為，則交換律(Exchangelaw)ABBAABBA結(jié)合律(Combinationlaw)ABCABCAB)CA(BC分配律(Distributivelaw)AB)CACBCABCAC)(BC。對(duì)偶律(Duallaw)ABABABAB。Example 只第一槍只一槍至少一槍

A1A2A3第二槍“ “

成A1A2A3.，

A1A2

或A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3§1.2概率的統(tǒng)計(jì)定義(TheStatisticDefinitionof設(shè)E為任一隨機(jī)試驗(yàn)，A為其中任一，在相同條件下，把E獨(dú)立的重復(fù)做n次nA表 A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)（稱為頻數(shù)。比值fn(A)

n稱為A數(shù)n越大，A發(fā)生的頻率就越接近那個(gè)確定的數(shù)值。因此A發(fā)生的可能性的大小(ThestatisticdefinitionofDefinition 設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大時(shí)，A的發(fā)生頻fA(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱數(shù)p 的概率(Probability)，記為：P(A)p(LetEbearandomexperiment,anumberpiscalledtheprobabilityofaeventAifthefrequencyofAswingsnearbypsteadily.)率取決于試驗(yàn)。值得注意的是A出現(xiàn)的概率是A的一種屬性。也就是說(shuō)完全決定來(lái)計(jì)算的概率。通常只能在n充分大時(shí)，以出現(xiàn)的頻率作為概率的近似值。(Thepropertyof（1）0P(A)（2）P()0，P()1（3）若AB，則PABPAP(B（4）P(A)1P(A)（5

P(BA)P(BA)P(B)P(

.特別地，若

ABP(BA)P(B)P(A)，P(B)P(

AB，有PAB)PAP(BPAB這條性質(zhì)可以推廣到多個(gè)。設(shè)A1,A2,,An是任意n個(gè)，則nnP(A1A2An)P(Ai)

P(AiAj1i(1)n1P(A1A(1)n1P(A1An1ijkExample

P(BA)3（１）AB（２）A（３）P(AB)18

P(BA)=P(B)P(AB)ABABP(BA)P(BPAB=P(B)=2因?yàn)锳所以P(BAP(BPABP(BPA11

P(BA)=P(B)P(AB)=11

§1.3古典概型(Classical（等可能概型）(ClassicalE時(shí)，只有有限個(gè)

A1A2,An具有上述特性的概型稱為古典概型(Classicalprobability)或等可能概型。A1A2,An稱為基本(Basicevents)。，等可能概型中概率的計(jì)算：設(shè)在古典概型中，試驗(yàn)E共有n個(gè)基本A包含了m個(gè)基本，則A的概率為，P(A)mExample1.38585Solution從8個(gè)球中取出兩個(gè)，不同的取法有C2種。若以A表示{取出的兩球是黑球}，那么使A發(fā)生的取法為C2種，從而85P(A)C2/C2 Example1.41003 從100個(gè)產(chǎn)品中任意抽取5個(gè)產(chǎn)品，共有C5種抽取方法，A={有1次品，4個(gè)正品}的取法共有C1C4種取法，故得A的概率3C1CC5P(A)3C5

Example1.5N個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子中(nN（２）某指定的盒子中恰有m（mN）SolutionNnn何一個(gè)，有nN個(gè)球放入n個(gè)盒子共有nNN）（1A={每個(gè)盒子最多有一個(gè)球}的放法。第一個(gè)球可以放進(jìn)n個(gè)盒子之一，有）種放法；第二個(gè)球只能放進(jìn)余下的n1個(gè)盒子之一，有n1N余下的nN1nN1n(n1)(nN1種不同的放法。故得A的概率為P(A)

n(n1)(nNn）N（2B={某指定的盒子中恰有m個(gè)球}的放法。先從N個(gè)球中任選m個(gè)分配到定的某個(gè)盒子中，共有CmNm個(gè)球任意分配到剩下的n1）N中，共有(n1)Nm種放法。所以，得B的概率Cm(n1)NP(B) nExample1.6在１~９的整數(shù)中可重復(fù)的隨機(jī)?。秱€(gè)數(shù)組成６位數(shù)，求下列的Solution9696（1）A={６個(gè)數(shù)完全不同}的取法有987654種取法，P(A)9876540.11（2）B={６個(gè)數(shù)不含奇數(shù)}的取法。因?yàn)?個(gè)數(shù)只能在2，4，6，8四個(gè)數(shù)中選，4種取法，所以有46取法。故6P(B)666次中的4的方式有C4種，剩下的兩種只能在1，2，3，4，6，7，8，9中6取，共有82種取法。C4P(C) (Geometric上述古典概率是在有限樣本空間下進(jìn)行的為了克服這種局限性古典概型推廣。那么，A的概率由下式計(jì)算：P(A)

Example1.7在一個(gè)均勻陀螺的圓周上均勻地刻上（０，４）上的所有實(shí)數(shù)，旋轉(zhuǎn)陀

P(A)

[04

112 12Example1.8 甲乙兩人相約812點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面。先到的人等候另一人30分鐘 X，Y8X12，8Y12若以(X,Y)表示平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有基本可以用這平面上的邊長(zhǎng)為4的一個(gè)8X

，8Y

內(nèi)所有點(diǎn)表示出來(lái)。二人能會(huì)面的充要條件是X

12（圖中陰影部分

12P

15. §1.4條件概率(ConditionalConditional稱為在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率。記為P(B|A)。 設(shè)A,B是兩個(gè)且P(A)0稱P(B|A)=P(AB)P(A)為在發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率(Conditionalprobability)。(SupposeA,

areeventsandP(A)0

P(B|A)=

iscalledtheconditionalprobabilityofundertheconditionthatASABP(B|ASPABPA

P(B|A)=

P(B|A 設(shè)A={能活20歲以上}B={能活25歲以上}按題意，P(A)0.8，BAPAB)P(B)0.4.由條件概率定義P(B|A)P(AB)0.4P( 二、乘法(MultiplicationP(AB)P(A)P(BA)P(B)P(A利用這個(gè)可以計(jì)算積乘法可以推廣到n個(gè)的情形若0

A1,A2,,AnP(A1An)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1An1Example1.1090 P(B|A)

P(AB)P(A)P(B|A)90

全概率(Completeprobabilityformula)：A1,A2,,An為樣本空間S的一個(gè)組，（1）A1A2,An互不相容，且PAi0(i1,2,n(2)A1A2AnS則對(duì)S中的任意一個(gè)B都P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(An)P(BAn BBSB(A1A2An)=BA1BA2由假設(shè)BAi)(BAji

jP(B)P(BA1)P(BA2) P(BAn)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(An)P(BAnExample1.11 Ai={第ii12P(A)1,P(A)6,

P(A2)P(A1)P(A2 1,1,

1015 表 ，P(A)5,P( 按全概 ，有：P(B)P(B|A1)P( 14 15

1920

四、貝葉斯(Bayesian（1）A1A2,An互不相容，且PAi0(i1,2,n(2)A1A2AnS則P(

|B)P(AkB) B＝｛PA0.6，PA0.4，P(B|A0.8P(B|A)0.2，P(B|A)0.9，P(B|A)0.1；按貝葉斯，P(A|B)P(AB)

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

所以沒收錯(cuò)的概率為0.5714Example1.14根據(jù)以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗(yàn)有如下效果：對(duì)肝炎的試驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為0.95；非肝炎的試驗(yàn)呈的概率為0.95.對(duì)自然人群進(jìn)行普查的 設(shè)A{做此試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性}，B{確有肝炎}；由已知條件有PA|B0.95PA|B0.95P(B0.005；從P(B1P(B0.995P(A|B)1P(A|B)0.05；由貝葉斯，P(B|A)P(BA)P(

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)

PA|B0.95PA|B0.95，這兩個(gè)概率都很高。但若P(B|A0.0878.7%.如果不注意到這一點(diǎn)，將會(huì)經(jīng)常得出錯(cuò)誤的診斷這也說(shuō)明若將P(A|B)和P(B|A)搞混了會(huì)造成不良的§1.5的獨(dú)立性(Independenceof一、的獨(dú)立性(Independenceof設(shè)A，B是兩個(gè)一般而言P(A)P(A|B)這表示B的發(fā)生對(duì)A的PA)PA|BBA的發(fā)生毫無(wú)影響，P(AB)P(B)P(A|B)P(B)P(A)P(Definition1.3若兩A，B滿足P(AB)P(A)P(B),則稱A，B相互獨(dú)立(Mutualindependence)。(TheeventsA，BiscalledindependentmutuallyifPAB)PA)P(B).)Theorem

{AB},{AB},{AB},{AB則另外三對(duì)也是相互獨(dú)立的.(Ifthereisonedualofthefour{AB},{AB},{AB},{ABisindependence,thentherestarealsoindependence.)（證明留給Example1.15兩門高射彼此獨(dú)立的射擊一架敵機(jī)，設(shè)甲敵機(jī)的概率為0.9，乙敵機(jī)的概率為0.8，求敵機(jī)被的概率？ 設(shè)A={甲敵機(jī)}，B={乙敵機(jī)}，那么{敵機(jī)被}=AB；AB相互獨(dú)立，所以，有P( B)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)

：Note的獨(dú)立性與互斥是兩碼事，互斥性表示兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生，而獨(dú)立性則：Definition 設(shè)A,B,C是三個(gè)，如果滿足P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C),P(AC)P(則稱這三個(gè)

ABC是兩兩獨(dú)立的。(Three

A,B,

arecalledbetweenthem

P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C),P