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直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固1.直線y=kx-k+1與橢圓x29+y24=1的位置關(guān)系為 (A.相切B.相交C.相離 D.不確定解析:∵直線y-1=k(x-1),即直線恒過(1,1)點(diǎn),又∵19+14<1,∴點(diǎn)(1,1)2.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)F(c,0)的弦中最短弦長(zhǎng)是A.2b2aC.2c2a解析:最短弦是過焦點(diǎn)F(c,0)且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦.將點(diǎn)(c,y)的坐標(biāo)代入橢圓x2a2+y2b2=1,得3.已知一條過點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y2=2x交于A,B兩點(diǎn),且P是弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程為 (A)A.x-y-1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x+y+1=0解析:依題意,直線AB斜率存在,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y12=2x1,y22=2x2,兩式相減得y12-y22=2(x1-x2),即y1-y2x1-x2=2y1+y2=14.已知雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作一條直線與其中一條漸近線垂直,垂足為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則S△OAF= (A.3 B.35C.25 D.5解析:雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)為F(3,0),F(xiàn)到漸近線5x+2y=0的距離則|AO|=|OF|2則S△OAF=12|FA||OA|=12×5×2=5.已知橢圓C:y29+x2=1,過點(diǎn)P12,12的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB被點(diǎn)P平分,則直線AB的方程為A.9x-y-4=0 B.9x+y-5=0C.4x+2y-3=0 D.4x-2y-1=0解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上,所以y129+xy229+x①-②,得(y1+y2)(y1-y2)9+(x1+x因?yàn)镻12,12所以x1+x2=1,y1+y2=1,代入③得y1-y2x1-x2故直線AB的方程為y-12=-9x整理得9x+y-5=0.6.過雙曲線x2-y2=1的右焦點(diǎn)P且與右支有兩個(gè)交點(diǎn)的直線,其傾斜角的范圍是π4解析:如圖,兩虛線分別是與漸近線平行的直線,當(dāng)過焦點(diǎn)的直線在圖中所示兩虛線之間時(shí),與右支有兩個(gè)交點(diǎn),所以其傾斜角的范圍是π47.過橢圓x25+y24=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△解析:將橢圓與直線方程聯(lián)立4解得交點(diǎn)A(0,-2),B53,43則S△OAB=12|OF||y1-y2=12×1×48.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OP·解析:由x24+y23=1可得F(-1,0).設(shè)P(x,y)(-2≤x≤2),則OP·FP=x2+x+y2=x2+x+31-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+9.已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過右焦點(diǎn)F2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),試問A,B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長(zhǎng).解析:∵a=1,b=3,c=2,又直線l過點(diǎn)F2(2,0),且斜率k=tan45°=1,∴l(xiāng)的方程為y=x-2,由y=x-2,3x2-y2=3,消去設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵x1x2=-72<0∴A,B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上.∵x1+x2=-2,x1x2=-72∴|AB|=1+12|x1-x2|=2·(x10.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)(0(1)求C的方程;(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為45的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解析:(1)將(0,4)代入C的方程得16b2=1,所以b=又e=ca=35,得a2-b2a2=所以C的方程為x225+(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為45的直線方程為y=45(x-3).設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,即x2-3x-8=0,解得x1+x2=3,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)x0=x1+x22=3B組能力提升1.已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足MF1·MF2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是 (A.(0,1) B.0C.0,22解析:∵M(jìn)F1⊥MF2,∴點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上,又點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部,∴c<b,∴c2<b2=a2-c2,即2c2<a2,∴c2a2<12,即ca<22.又e2.已知點(diǎn)A(0,-3),B(2,3),點(diǎn)P在x2=y(tǒng)上,當(dāng)△PAB的面積最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是 (B)A.(1,1) B.3C.23,49 D.(解析:∵A(0,-3),B(2,3),kAB=3,∴直線AB的方程為y=3x-3.設(shè)直線y=3x+t是拋物線的切線,∴△PAB高的最小值是兩直線之間的距離.把直線y=3x+t代入x2=y(tǒng),化簡(jiǎn)得x2-3x-t=0,由Δ=0,得t=-94,此時(shí)x=32,y=∴P點(diǎn)坐標(biāo)為323.若點(diǎn)(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最小值為 (A.1 B.-1C.-233 D解析:設(shè)yx-2=k,則y=k(x-由4x2+y(k2+4)x2-4k2x2+4(k2-1)=0,Δ=16k4-4×4(k2-1)(k2+4)=0,解得k=±233,所以kmin=-4.已知雙曲線x2-y23=1,過點(diǎn)A(1,1)作直線l,使l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),并且點(diǎn)A為線段PQ的中點(diǎn),則這樣的直線l (DA.存在一條,且方程為3x-y-2=0B.存在無數(shù)條C.存在兩條,方程為3x±(y+2)=0D.不存在解析:假設(shè)符合題意的直線l存在,并設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x①-②,得(x1-x2)(x1+x2)=13(y1-y2)(y1+y2). ∵點(diǎn)A(1,1)為線段PQ的中點(diǎn),∴x將④⑤代入③,得x1-x2=13(y1-y2).∵P,Q是不同的兩點(diǎn),∴x1≠x2,∴直線l的斜率k=y(tǒng)1-y∴符合題設(shè)條件的直線l存在,其方程為3x-y-2=0.而由y=3x-2,x2-y23=1根據(jù)Δ=-24<0,知所求直線不存在.5.已知點(diǎn)P位于第一象限,雙曲線C:x24-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,設(shè)直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2,若點(diǎn)P在雙曲線C上,則1k1+1k2的取值范圍為(解析:由題可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)P(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上,所以y02=x024-1,且x0>則k1=y(tǒng)0x0+2>0,k2=y(tǒng)0x0-2>0,所以所以k1+k2≥2k1k2=2×14=1,當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2因?yàn)閗1≠k2,所以k1+k2>1,所以1k1+1k2=k1+k2故1k1+1k2的取值范圍為(6.已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為銳角,則直線l的斜率k的取值范圍為(-2,-32)∪(32解析:顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件,故設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立y=kx+2,得k2+14x2+4kx+所以x1+x2=-4kk2+14,x由Δ=(4k)2-12k2+14=4k2-得k>32或k<-32.又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?OA·OB>0,所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=3k2k2+所以3k2+14+-k2+1k2+14>0,即綜合①②,得直線l的斜率k的取值范圍為(-2,-32)∪(32,27.已知點(diǎn)A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),且OA⊥OB.(1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積;(2)求證:直線AB過定點(diǎn).解析:(1)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則有kOA=y(tǒng)1x1,kOB因?yàn)镺A⊥OB,所以kOAkOB=-1,所以x1x2+y1y2=0.因?yàn)閥12=2px1,y22=2px2,所以y122p·y因?yàn)閥1≠0,y2≠0,所以y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2.(2)證明:因?yàn)閥12=2px1,y22=兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),所以y1-y2x1-故直線AB的方程為y-y1=2py1+y2所以y=2pxy1+y2即y=2px因?yàn)閥12=2px1,y1y2=-4p代入整理得y=2px所以y=2py1+y2即直線AB過定點(diǎn)(2p,0).8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,以F1F2為直徑的圓與直線ax+2by-(1)求橢圓C的離心率e;(2)如圖,過F1作直線l與橢圓分別交于P,Q兩點(diǎn),若△PQF2的周長(zhǎng)為42,求F2P·F解析:(1)由題意知|-3ab|則3a2b2=c2(a2+4b2),即3a2(a2-c2)=c2[a2+4(a2-c2)],所以a2=2c2,所以e=22(2)因?yàn)椤鱌QF2的周長(zhǎng)為42,所以4a=42,即a=2.由(1)知b2=c2=1,故橢圓方程為x22+y2=1,且焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0①若直線l的斜率不存在,則可得l⊥x軸,方程為x=-1,P-1,22,Q-1,-22,F(xiàn)②若直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),由y=k(x+1),x2+2y

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