2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料（全國(guó)通用）分項(xiàng)專題21 三角形中位線定理的應(yīng)用（練透）-【講通練透】中考數(shù)學(xué)一輪（全國(guó)通用）（教師版）

專題21三角形中位線定理的應(yīng)用一、單選題1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC中點(diǎn)，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，則EF＝（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別為AC，BC中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB＝×6＝3，故選：A．2．（2022·遼寧撫順·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，、分別為、的中點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，進(jìn)而證明，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的判定定理解答即可．【詳解】解：∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故選：B．3．（2022·重慶市天星橋中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在?ABCD中，AC與BD相交與O點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，連接OE．若OE=2，則CD的長(zhǎng)度為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，再根據(jù)三角形的中位線定理可得EO=CD，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴EO=CD，∵OE=2，∴CD=2OE=4，故選：D．4．（2022·合肥市五十中學(xué)東校九年級(jí)）如圖，G是△ABC的中位線MN的中點(diǎn)，CG的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，則AF：FB等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4【答案】A【分析】由得出的值，再由為的中點(diǎn)，即可求得．【詳解】MN是△ABC的中位線,,G是MN的中點(diǎn)即又即：AF：FB．故選A．5．（2022·廣西梧州·）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理，先證明四邊形是矩形，再利用矩形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，AC＝8，BC＝6，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，故選：6．（2022·河南）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】D【分析】利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位線定理求出DE即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AD＝DC，CE＝EB，∴DE＝AB＝6.5，故選：D．7．（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD，若AB＝7，AC＝11，則FC的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接EN，構(gòu)造△ABC的中位線．根據(jù)三角形的中位線定理，得EN∥AB，ENAB；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，得FN＝EN，從而求解．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接EN，則EN∥AB，ENAB，∴∠CNE＝∠BAC．∵EF∥AD，∴∠DAC＝∠EFN．∵AD是∠BAC的平分線，∠CNE＝∠EFN+∠FEN，∴∠EFN＝∠FEN．∴FN＝ENAB，∴FC＝FN+NCABAC＝9．故選：C．8．（2022·山東）如圖，在△ABC中，BC＝4，將△ABC平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，點(diǎn)P、Q分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，PQ的最小值等于（）A．9 B．4 C．2 D．5【答案】D【分析】取A1B1的中點(diǎn)P′，連接QP′、PP′，如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q為△A1B1C1的中位線得到P′Q=2，利用三角形三邊的關(guān)系得到

∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（當(dāng)且僅當(dāng)P、P′、Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），從而得到PQ的最小值．【詳解】解：取A1B1的中點(diǎn)P′，連接QP′、PP′，如圖，∵△ABC平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，∴PP′＝7，B1C1＝BC＝4，∵Q是A1C1的中點(diǎn)，P′為A1B1的中點(diǎn)，∴P′Q為△A1B1C1的中位線，∴P′Q＝B1C1＝2，∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（當(dāng)且僅當(dāng)P、P′、Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），即7﹣2≤PQ≤7+2，∴PQ的最小值為5．故選：D．9．（2020·渝中·重慶巴蜀中學(xué)）已知中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，連接、、，交于點(diǎn)，若，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足為M、N，連接BE交CD于點(diǎn)G，由折疊得CD是BE的中垂線，借助三角形的面積公式，可以求出BG，進(jìn)而求出BE，由等腰三角形的性質(zhì)，可得DN是三角形的中位線，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根據(jù)勾股定理，求出AN，進(jìn)而求出AE．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足為M、N，連接BE交CD于點(diǎn)G，∵Rt△ACB中，AB=，∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD=AB=10，在△DBC中，DC=DB，DM⊥BC，∴MB=MC=BC=6，∴DM=，由折疊得，CD垂直平分BE，∠BDC=∠EDC，在△ADE中，DA=DE，DN⊥AE，∴AN=NE=AE，∴DN是△ABE的中位線，∴DN∥BE，DN=BE，在△DBC中，由三角形的面積公式得：BC?DM=DC?BG，即：12×8=10×BG，∴BG==DN，在Rt△ADN中，AN=，∴AE=2AN=，故選：B．10．（2022·江蘇揚(yáng)州市·）如圖，已知點(diǎn)D是的邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O為內(nèi)部上的一點(diǎn)，已知，，，則AB的最小值為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】由BC=5，可得點(diǎn)B在以點(diǎn)C為圓心以5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由D是的邊AC的中點(diǎn)，，可得點(diǎn)O在以點(diǎn)D為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由，取AB中點(diǎn)為E，以點(diǎn)E為圓心AB為直徑的圓與半圓D的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，當(dāng)點(diǎn)D、O、E三點(diǎn)在一直線上時(shí)，AB最短，可證ED為△ABC的中位線，可求DE=，求出OE=DE-OD=1.5即可．【詳解】解：∵BC=5，∴點(diǎn)B在以點(diǎn)C為圓心以5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵D是的邊AC的中點(diǎn)，，∴點(diǎn)O在以點(diǎn)D為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵，取AB中點(diǎn)為E，以點(diǎn)E為圓心AB為直徑的圓與半圓D的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，當(dāng)點(diǎn)D、O、E三點(diǎn)在一直線上時(shí)，AB最短，∵AD=CD，AE=BE，∴ED為△ABC的中位線，∴DE=，∵OD=1，∴OE=DE-OD=2.5-1=1.5，∴AB=2OE=3．故選擇：B．二、填空題11．（2022·常德市第十一中學(xué)）D、E、F分別是△ABC三條邊的中點(diǎn)，則S△DCF：S△ABC＝___．【答案】【分析】根據(jù)中位線定理得到平行線，判定平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，∴EF∥BC，DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF，四邊形CDEF，四邊形BDFE是平行四邊形，∴△AEF，△BED，△DEF和△CDF的面積相等，∴S△DCF：S△ABC＝，故答案為：．12．（2022·西城·北京八中）如圖，，兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在外選一點(diǎn)，連接和．分別取，的中點(diǎn)，，測(cè)得，兩點(diǎn)間的距離為，則、兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_________．【答案】60【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴DE是ABC的中位線，∴AB＝2DE，∵DE＝30m，∴AB＝60m，故答案為：60．13．（2022·東莞市東華初級(jí)中學(xué)）如圖，在中，平分，，垂足為，為的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______________________．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)CD交AB于F，再證明△BDC≌△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BF=BC=6，CD=DF，然后可求出AF，最后根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)CD交AB于F在△BDC和△BDF中∴△BDC≌△BDF（ASA）∴BF=BC=6，CD=DF∴AF=AB-BF=4.∵CD=DF，CE=EA∴DE=AF=2．故填2．14．（2022·湖南九年級(jí)期末）如圖，相交于點(diǎn)，∥，是?的中位線，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】由三角形中位線性質(zhì)得出DB=2EF=8，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得結(jié)論．【詳解】解：∵是?的中位線，且，∴DB=2EF=8，∵AC//BD∴∴又CO=6，DO=10，BD=8∴∴故答案為：15．（2022·福建廈門(mén)雙十中學(xué)思明分校九年級(jí)期末）如圖，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC中點(diǎn)，若DE＝3，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】6【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，求得AC=6；最后由等腰三角形ABC的兩腰AB=AC，求得AB=6．【詳解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中點(diǎn)．∴DE=AC（直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半），又∵DE=3，AB=AC，∴AB=6，故答案為：6．三、解答題16．（2022·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AD＝AB，點(diǎn)E、F分別為邊BC、AC的中點(diǎn)．（1）求證：DF＝BE；（2）過(guò)點(diǎn)A作AGBC，交DF于點(diǎn)G，求證：AG＝DG．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC，交AB于點(diǎn)H，則四邊形HBEF是平行四邊形，有HF＝BE，證得AC是HD的中垂線后得到HF＝FD，故問(wèn)題得證；（2）由于四邊形DBEF是等腰梯形，有∠B＝∠D，而AG∥BC有∠B＝∠DAG，故有∠D＝∠DAG，然后問(wèn)題可得解．【詳解】證明：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC，交AB于點(diǎn)H，∵FH∥BC，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AH＝BH＝AB，EF∥AB．∵AD＝AB，∴AD＝AH．∵CA⊥AB，∴CA是DH的中垂線．∴DF＝FH．∵FH∥BC，EF∥AB，∴四邊形HFEB是平行四邊形．∴FH＝BE．∴BE＝FD．（2）由（1）知BE＝FD，又∵EF∥AD，∵EF＜BD，∴四邊形DBEF是等腰梯形．∴∠B＝∠D．∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，∴∠D＝∠DAG．∴AG＝DG．17．（2020·黑龍江大慶市·）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，，分別為，的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)解得，結(jié)合已知條件即可解題；（2）由等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可得，在中，由勾股定理解得，繼而由（1）中結(jié)論，證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊相等解題即可．【詳解】（1）在等邊三角形中，，分別為，的中點(diǎn)，，；（2）在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，在中，四邊形是平行四邊形，．18．（2022·河南九年級(jí)期末）如圖，在中，，，、分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接，求線段的長(zhǎng)．【答案】2cm【分析】首先證明△AGF≌△ACF，則AG=AC=4，GF=CF，證明EF是△BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∴，則（）．又∵，∴是的中位線，∴．答：的長(zhǎng)為．19．（2022·安徽）如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H不在同一條直線上．求證：EF和GH互相平分．【答案】見(jiàn)解析【分析】連接EG、GF、FH、HE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，得出EG=HF，EH=GF，然后根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，證明即可【詳解】證明：連接EG、GF、FH、HE，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四邊形EGFH為平行四邊形．∴EF與GH互相平分20．（2022·浙江紹興市·）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度數(shù)．（2）若DE＝4，試添加一個(gè)條件，并求出BC的長(zhǎng)度．【答案】（1）∠CDE=25°；（2）添加的條件為DE是△ABC的中位線，．【分析】（1）由題意易得∠BCD=∠ACD，∠ACB=50°，則有∠BCD=∠CDE，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）根據(jù)題意可添加DE是△ABC的中位線這個(gè)條件，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，∴∠BCD=∠ACD，∵∠A＝90°，∠B＝40°，∴∠ACB=50°，∴∠BCD=∠ACD=25°，∵DE∥BC，∴∠BCD=∠CDE=25°；（2）添加的條件DE是△ABC的中位線，∵DE＝4，∴．21．（2022·安慶市第四中學(xué)九年級(jí)期中）三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心．如圖G是的重心．（1）求證：；（2）若的面積是1，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6．【分析】（1）連接DE，則DE是△ABC的中位線，從而可得DE∥AC且AC=2DE，即可得△DEG∽△ACG，即可求得AG=2DG，從而可得結(jié)論；（2）利用底高的兩個(gè)三角形面積比等于底的邊、三角形中線平分三角形面積的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】如圖，連接DE∵AD、CE是△ABC的中線∴DE是△ABC的中位線∴DE∥AC且AC=2DE∴△DEG∽△ACG∴∴AG=2DG∴AD=AG+DG=3DG（2）∵△ACG、△DCG的底邊AG、DG上的高相等∴∵∴∴∵AD是△ABC的邊BC上的中線∴∴即△ABC的面積為622．（2022·全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，D為邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，延長(zhǎng)交于P，若，求證：．【答案】見(jiàn)詳解【分析】過(guò)點(diǎn)B作BF∥AE交PC于點(diǎn)F，可證DE為△BFC的中位線，進(jìn)而可得到B