2023年九年級中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圓的綜合壓軸題

年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圓的綜合壓軸題一、綜合題1．△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD為AB邊上的高，如圖1，A在原點處，點B在y軸正半軸上，點C在第一象限，若A從原點出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點B隨之沿y軸下滑，并帶動△ABC在平面上滑動．如圖2，設(shè)運動時間表為t秒，當(dāng)B到達(dá)原點時停止運動．（1）當(dāng)t=0時，求點C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t=4時，求OD的長及∠BAO的大小；（3）求從t=0到t=4這一時段點D運動路線的長；（4）當(dāng)以點C為圓心，CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，求t的值．2．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在AB上，BD=CD，連接AO．（1）如圖1，求證：∠OAC=∠OAB+∠ACD；（2）如圖2，連接BO并延長交CD于點E，若BE⊥CD，求證：AC=BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長BE交⊙O于點F，連接AF、CF，若AF=，AC=10，求△AFC的面積．3．在圓O中，點A，B，C均在⊙O上，請僅用無刻度直尺按要求畫圖：（1）在圖1中，以點C為頂點作一銳角，使該銳角與∠CAB互余；（2）在圖2中，弦AD∥BC且AD≠BC，過點A作一直線將△ABC的面積平分．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，以BC為直徑的半圓⊙O交AC于點D，點E是AB的中點，連接DE并延長，交CB延長線于點F．（1）判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半徑和AC的長．5．如圖1，已知ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于點D.E是邊BC上的動點，以DE為直徑作⊙O，交BC為F，交AB于點G，連結(jié)DF，F(xiàn)G.（1）求證：∠BCD＝∠FDB.（2）當(dāng)點E在線段BF上，且DFG為等腰三角形時，求DG的長.（3）如圖2，⊙O與CD的另一個交點為P.若射線AP經(jīng)過點F，求的值.6．如圖，點D是△ABC的外接圓⊙O上一點，且，連接BD交AC于點E，（1）求證AC=BD；（2）若BD平分∠ABC，BC=1，求BD的長；（3）已知圓心O在△ABC內(nèi)部（不包括邊上），⊙O的半徑為5．①若AB=8，求△ABC的面積；②設(shè)=x，BC·AC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的取值范圍。7．如圖1，是圓內(nèi)接等腰三角形，其中，點在弧上運動(點與點在弦的兩側(cè))，連結(jié)，設(shè)，小明為探究隨的變化情況，經(jīng)歷了如下過程：（1）若點在弧的中點處，時，的值是.（2）小明探究變化獲得了一部分?jǐn)?shù)據(jù)，請你填寫表格中空缺的數(shù)據(jù)，在如圖2平面直角坐標(biāo)系中以表中各組對應(yīng)值為點的坐標(biāo)進(jìn)行描點，并畫出函數(shù)圖象；...30°60°90°120°150°170°0.521.731.931.99...（3）從圖象可知，隨著的變化情況是；的取值范圍是.8．有這樣一道習(xí)題：如圖1，已知OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(不與O、A重合)，BP的延長線交⊙O于Q，過Q點作⊙O的切線交OA的延長線于R.（1）證明：RP=RQ；（2）請?zhí)骄肯铝凶兓篈、變化一：交換題設(shè)與結(jié)論.已知：如圖1，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(不與O、A重合)，BP的延長線交⊙O于Q，R是OA的延長線上一點，且RP=RQ.證明：RQ為⊙O的切線.B、變化二：運動探求.①如圖2，若OA向上平移，變化一中結(jié)論還成立嗎？(只交待判斷)答：.②如圖3，如果P在OA的延長線上時，BP交⊙O于Q，過點Q作⊙O的切線交OA的延長線于R，原題中的結(jié)論還成立嗎？為什么？9．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)過點A作PO的垂線AB垂足為D，交⊙O于點B，延長BO與⊙O交與點C，連接AC，BF．（1）求證：PB與⊙O相切；（2）是探究線段EF，OD，OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）若tan∠F=，求cos∠ACB的值．10．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連結(jié)AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連結(jié)AE交CD于點F，且EG=FG，連結(jié)CE.（1）求證：△ECF∽△GCE；（2）求證：EG是⊙O的切線；（3）延長AB交GE的延長線于點M，若tanG=，AH=3，求EM的值.11．如圖，是的弦，C為上一點，過點C作的垂線與AB的延長線交于點D，連接并延長，與交于點E，連接EC，.（1）求證：CD是的切線；（2）若，，求的半徑.（3）在（2）的條件下，在線段AD上有一點P，連接、，則的最小值為.12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）求證：BC2＝4CF?AC；（3）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝15°，求陰影部分的面積．13．如圖，在R△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點．經(jīng)過點A，D兩點的⊙O分別交AB，AC于點F、E，（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）已知AD＝2，試求AB?AE的值；（3）在（2）的條件下，若∠B＝30°，求圖中陰影部分的面積，（結(jié)果保留π和根號）14．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上一動點，AG，DC的延長線交于點F，連接AC，AD，GC，GD.（1）求證：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝6.①當(dāng)AC⊥DG，CG＝2時，求sin∠ADG；②當(dāng)四邊形ADCG面積最大時，求CF的長.15．如圖問題探究（1）如圖①，已知與直線l，過O作于點A，，的半徑為5，則圓上一點P到l的距離的最小值是；（2）如圖②，在四邊形中，，，，，過點A作一條直線交邊或于P，若平分四邊形的面積，求的長；（3）如圖③所示，是由線段、、與弧圍成的花園的平面示意圖，，，//，CD⊥BC，點為的中點，所對的圓心角為.管理人員想在上確定一點M，在四邊形區(qū)域種植花卉，其余區(qū)域種植草坪，并過A點修建一條小路，把四邊形分成面積相等且盡可能小的兩部分，分別種植不同的花卉.問是否存在滿足上述條件的小路？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由.16．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90o，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓，交BC邊于點D，與AC邊相切于點E．（1）求證：BE平分∠ABC；（2）若CD︰BD＝1︰2，AC＝4，求CD的長．

答案解析部分1．（1）解：如圖1，∵BC=AC，CD⊥AB，∴D為AB的中點，∴AD=AB=4．在Rt△CAD中，CD==3，∴點C的坐標(biāo)為（3，4）（2）解：如圖2，當(dāng)t=4時，AO=4，在Rt△ABO中，D為AB的中點，OD=AB=4，∴OA=OD=AD=4，∴△AOD為等邊三角形，∴∠BAO=60°（3）解：如圖3，從t=0到t=4這一時段點D運動路線是弧DD1，其中，OD=OD1=4，又∵∠D1OD=90°﹣60°=30°，∴（4）解：分兩種情況：①設(shè)AO=t1時，⊙C與x軸相切，A為切點，如圖4．∴CA⊥OA，∴CA∥y軸，∴∠CAD=∠ABO．又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴，即=，解得t1=；②設(shè)AO=t2時，⊙C與y軸相切，B為切點，如圖5．同理可得，t2=．綜上可知，當(dāng)以點C為圓心，CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，t的值為或2．（1）證明：連接OC．如圖1所示：∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，∠ADC=2∠DBC，∵∠AOC=2∠ABC，∴∠ADC=∠AOC，∵∠AGD=∠OGC，∴∠BAO=∠GCO，∵∠OCA=∠OCD+∠DAC，∴∠OCA=∠OAB+∠ACD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠OAB+∠ACD；（2）證明：連接OC．如圖2所示：由（1）可知∠OAB=∠OCD，設(shè)∠OAB=∠OCD=x，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=x，∴∠AOE=2x，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EOC=90°﹣x，∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=90°+x，∵∠BOC=∠OCE+∠BEC=90°+x，∴∠AOC=∠BOC∴AC=BC；（3）解：過點C作CH⊥AF交AF的延長線于點H，連接CO并延長交AB于點S．如圖3所示：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，在△BCS和△CBE中，∠DBC=∠DCBBC=CB∴△BCS≌△CBE（ASA），∴∠BSC=∠CEB=90°，∵BF為⊙O直徑，∴∠BAF=90°，∵∠ASC=∠SAH=∠AHC=90°，∴四邊形ASCH為矩形，∵OS⊥AB，∴AS=BS，∵OB=OF，∴OS=AF=，設(shè)OB=OC=r，∵AC=BC=10，∴在Rt△OBS中BS2=OB2﹣OS2，在Rt△CBS中BS2=BC2﹣CS2，∴OB2﹣OS2=BC2﹣CS2，即r2﹣（）2=102﹣（r+）2，解得：r=，或r=﹣8（舍去），∴AS=BS=6，CS=8，∵四邊形ASCH為矩形，∴AH=SC=8，CH=AS=BS=6，∴△AFC的面積=AF?CH=××6=．3．（1）解：如圖1，∠BCE為所作；理由：，是直徑，，，∠BCE與∠CAB互余；（2）解：如圖2，直線AF為所作．理由：，，，，，垂直平分，則是的中線，將△ABC的面積平分．4．（1）解：相切證明：連接OD，OE∵點E是AB中點，點O是BC中點∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∵OB＝OD，OE＝OE，∴△OBE≌△ODE∴∠ODE＝∠OBE＝90o∴OD⊥DE，∴直線DF與⊙O相切.（2）解：設(shè)⊙O半徑為x，則OD＝x，OF＝8－x在Rt△FOD中，，∴，∴x＝3∴⊙O半徑為3∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，∴△FBE∽△FDO，∴，∵BF＝FC－BC＝2，OD＝3，DF＝4，∴BE＝，∵點E是AB中點，∴AB＝2BE＝3在Rt△ABC中，AC＝＝5．（1）解：∵DE是直徑∴∠CFD=90°∴∠BCD+∠CDF=90°∵CD⊥AB∴∠FDB+∠CDF=90°∴∠BCD=∠FDB（2）解：（i）當(dāng)DF=DG時，如圖：∵∠CAB=45°，CD⊥AB，AC=3∴AD=CD=3∵AB=7∴BD=7-3=4∴BC=∴DF=∴DG（ii）如圖：當(dāng)DF=FG時，過F作FH⊥BD交BD于點H，∴△DFH∽△CBD∴∴∴DG=2DH=（iii）如圖：當(dāng)FG=DG時，∠1=∠2∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∴FG=GB=DG∴DG=（3）解：如圖：∵四邊形PDEF是⊙O圓內(nèi)接四邊形∴∠APD=∠DEF∵∠APD+∠PAD=∠DEF+∠EDF=90°∴∠PAD=∠EDF連結(jié)PG∵∠PAD=∠EDF∠ADP=∠DFE=90°∴△ADP∽△DFE∴∵∠PDG=90°∴PG是直徑∴∠PFG=90°∵∠FPG=∠FDG=∠BCD∴△CDB∽△PFG∴∴∴.6．（1）證明：∵，∴，∴，∴AC=BD.（2）解：∵，

∴∠ABD=∠BAC=∠ACB，

又∵∠BEC=∠ABD+∠BAC，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE=AE=1，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴△CBE∽△CAB，

∴BC2=CE·AC，

設(shè)AC=BD=x，則CE=x-1，

∴12=（x-1）x，整理，解得：x=（舍去）或，

∴BD=.（3）解：如圖，連接OA，OB，過點O作OF⊥AB于點F，過點B作BG⊥AC于點G，

∴∠AFO=∠BGC=90°，

∵OA=OB=5，

∴AF=BF=AB=4，∠AOF=∠AOB，

又∵∠C=∠AOB，

∴∠AOF=∠C，

①∴△AFO∽△BGC，

∴CG：BG：BC=3：4：5，

設(shè)CG=3x，BG=4x，BC=5x，

由（2）可知：BE=AE=BC=5x，

∴EG=CG=3x，

∴AG=8x，

在Rt△AGB中，AB2=BG2+AG2，

∴64=16x2+64x2，

解得：x=或x=-（舍去），

∴BG=，AC=AG+GC=11x=，

∴S△ABC=AC·BG=××=；

②由①可知：BE=AE=BC，

設(shè)BE=AE=BC=a，

∵=x，

∴AC=BD=ax，

∴CG=EG=，AG=，

∵BC·AC=y，

∴y=a2x，

∵BG2=AB2-AG2=BC2-CG2，即AB2-（）2=a2-（）2，

∴AB2=a2（x+1），

∴AF=，

由①可知：△AFO∽△BGC，

∴OF=，

在Rt△AFO中，OA2=25=AF2+OF2，即25=+，

整理，得：a2=-25（x-3），

∴y=-25x（x-3）=-25（x2-3x）=-25（x-）2+，

當(dāng)圓心O在AB邊上時，點C、D、E重合，即=1，

當(dāng)圓心O在AC邊上時，=2，

∴1＜x＜2，

∵-25＜0，1＜＜2，

∴50＜y＜.7．（1）1（2）(2)當(dāng)α＝60°時，由(1)可知y=1；當(dāng)α＝90°時使三角形ACP繞A點旋轉(zhuǎn)使得AC與AB重合，如圖∵∠4=∠5,∵∠3+∠4=90°，∴∠3+∠5=90°，又∵∠1+∠2=180°，∴P、B、P’共線，∵△APP’為直角三角形且AP=AP’，∴===≈1.41...30°60°90°120°150°170°0.5211.411.731.931.99...（3）隨增大而增大；.8．（1）證明：連接OQ，∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP，又∵QR為⊙O的切線，∴OQ⊥QR，即∠OQP+∠PQR=90°，而∠OBP+∠OPB=90°，故∠PQR=∠OPB，又∵∠OPB與∠QPR為對頂角，∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR∴RP=RQ；變化一、連接OQ，∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，又∵OB=OQ，OA⊥OB，∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，∴RQ為⊙O的切線；變化二、(1)結(jié)論成立，連接OQ，∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPM，又∵OB=OQ，RP⊥OB，∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPM=90°，∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，∴RQ為⊙O的切線；（2）結(jié)論成立；解：連接OQ，∵RQ是⊙O的切線，∴OQ⊥QR，∴∠OQB+∠PQR=90°，∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B=90°，又∵OB=OQ，∴∠OQB=∠B，∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ，∴RP=RQ．9．（1）解：如圖，連接OA，∵PD⊥AB，∴OP垂直平分AB，∴PA=PB，OA=OB，∴△OAP≌△OBP，∴∠OAP=∠OBP，∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠OQP=90°，∵點B在⊙O上，∴BP與⊙O相切（2）解：EF，OD，OP間的數(shù)量關(guān)系為4EF2=OD×OP，理由：∵∠OAP=90°，AD⊥OP，∴OA2=OD×OP，∵OA=EF，∴OD×OP=EF2，∴4EF2=OD×OP（3）解：∵tanF=，設(shè)BD=a，∴FD=2a，AD=a，DE=a，EF=a，∴OD=a，∴AC=a，∴cos∠ACB=10．（1）證明：如圖1.∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE.（2）證明：如圖2中，連接OE.∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切線.（3）解：如圖3中，連接OC.設(shè)⊙O的半徑為r.在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，∵AH=，∴HC=，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣，HC=，∴，∴r=，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴EM=.11．（1）證明：連接OC，如圖：∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠BOC=∠OEC+∠OCE=2∠OEC，∵，∴，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C為上一點，∴CD是的切線；（2）解：連接AC、BC，作OF⊥AB于點F，如圖：∵BE是⊙O的直徑，∴∠BCE=90°，∴∠OCE+∠OCB=90°，∵∠OCB+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠OCE，∴∠BCD=∠E，∵∠A=∠E，，BD=1，∴，∴CD=2，AD=4，∴AB=3.∵OF⊥AB，AB是弦，∴四邊形OCDF是矩形，則OF=CD=2，由垂徑定理，則，在直角△OBF中，由勾股定理，則；∴的半徑為；（3）12．（1）證明：如圖所示，連接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直線DF是⊙O的切線；（2）證明：連接AD，則AD⊥BC，則AB＝AC，則DB＝DC＝BC，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC（3）解：連接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，S陰影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．13．（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切線。（2）解：如圖2，連接FD，ED，F(xiàn)E，由題意知，AF為⊙O的直徑，∴∠ADF＝∠C＝∠AEF＝90°，由（1）知，∠FAD＝∠DAC，∴△AFD∽△ADC，∴＝，∵AD＝2，∴AF?AC＝AD2＝12，∵∠C＝∠AEF＝90°，∴FE∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴＝，∴AB?AE＝AF?AC＝12.（3）解：如圖3，連接OE，F(xiàn)D，過點O作OH⊥AE于點H，∵∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠FAD＝∠DAC＝∠BAC＝30°，在Rt△AFD中，AD＝2，∴AF＝2×＝4，∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AOE為等邊三角形，∴∠A0E＝∠OAH＝60°，OA＝OE＝AE＝AF＝2，在Rt△AOH中，OH＝2×＝，∴S陰影＝S扇形OAE﹣S△OAE＝﹣×2×＝﹣．14．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵四邊形ADCG是圓內(nèi)接四邊形，