2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第16講 定點問題

第16講定點問題一．問題綜述定點問題是常見的出題形式，解決這類問題的關(guān)鍵是引入變量表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。1、解決直線過定點問題的基本步驟：（1）設(shè)出直線，（2）借助韋達定理和已知條件找出與的一次函數(shù)關(guān)系式，（3）代入直線方程，得出定點。2、處理定點問題的技巧：（1）引進參數(shù)法，設(shè)定點坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或者曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點，即所求的定點。（2）特殊到一般法。從特殊位置入手，找到定點，再證明該定點與變量無關(guān)。3、其中共線問題是解析幾何中常見問題之一，解決此類問題常利用向量共線定理，可以從兩方面入手（1）共線向量坐標(biāo)交叉相乘相等（2）直線上任意兩點的向量存在倍數(shù)關(guān)系下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的定點模型．二．典例分析類型1：“手電筒”模型手電筒模型：限定AP與BP條件(如定值，定值，則直線AB過定點(因三條直線形似手電筒，故名曰“手電筒模型”）【例1-1】已知橢圓：函若直線：與橢圓相交于求兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo)．【解析】設(shè)，由得以為直徑的圓過橢圓的右頂點解得且滿足，當(dāng)時，：，直線過定點與已知矛盾．當(dāng)時，：，直線過定點．綜上可知：直線過定點【方法小結(jié)】本題為”弦對定點張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點(參考百度文庫文章”圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質(zhì)”)【例1-2】（2017全國Ⅰ理20）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.【解析】（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線與直線的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)，則，.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，，欲使l：，即，所以l過定點（2，）【方法小結(jié)】本題為手電筒模型中定值一個例子，由定值得到k與m的一次關(guān)系，再代入直線方程，得到定點。類型2：切點弦恒過定點【例2-1】過橢圓的右準(zhǔn)線上任意一點引橢圓的兩條切線，切點為求證：直線恒過定點略【解析】有如下結(jié)論：圓上一點處的切線方程為，類比也有結(jié)論：橢圓上一點處的切線方程為【解】（1）設(shè)則的方程為，點在上①同理可得②由①②知的方程為，即③易知右焦點滿足③故直線恒過定點（2）略【例2-2】（2019全國Ⅲ文21）已知曲線：，D為直線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程.【解】，則.由于，所以切線DA的斜率為，故.整理得設(shè)，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.（2）略【方法小結(jié)】切點弦方程是指從圓錐曲線外一點可引兩條切線，切點為，連接兩個切點所得方程具有相同的推導(dǎo)方法。切點弦性質(zhì)可以作為結(jié)論，在考試中可以借鑒本題的書寫步驟。切點弦方程的推導(dǎo)簡單，方程形式簡潔，可以大大簡化解題過程。類型3：相交弦恒過定點【例3】如圖，已知直線：，過橢圓：的右焦點，且交橢圓于兩點，點A，B在直線：上的射影依次為點連接AE，BD，試探索當(dāng)變化時，直線AE，BD是否交于一定點N？若交于N，求出N點的坐標(biāo)，并證明，否則說明理由【解析】相交弦性質(zhì)實質(zhì)是切點弦過定點性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用，但是相交弦過定點涉及坐標(biāo)較多，計算量相對較大，解題過程需要思路清晰，同時注意總結(jié)這類問題的通法.【解法一】，先探索，當(dāng)時，直線軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD交于定點，證明：設(shè)，當(dāng)變化時首先AE過定點N即又而A、N、E三點共線，同理B、N、D三點共線與相交于定點【解法二】本題也可以直接得出AE和BD的方程，令，得與軸交點M、N，然后兩個坐標(biāo)相減=0，計算量也不大?！痉椒ㄐ〗Y(jié)】方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點問題的一類通法，但是需要注意解答的嚴(yán)謹(jǐn)。類型4：動圓恒過定點動圓恒過定點問題實質(zhì)是垂直向量問題，也可以理解為“弦對定點張直角”的新應(yīng)用【例4-1】已知橢圓的離心率為，并且直線是拋物線的一條切線.（1）求橢圓的方程（2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T?若存在，求出T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由【解】（1）由由直線與拋物線相切得故所求橢圓為（2）當(dāng)與軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為當(dāng)與軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程為由即兩圓的公共點為(0，1)因此所求點T如果存在，只能是(0，1)，事實上.點(0，1)就是所求點，證明如下當(dāng)與軸垂直時，以AB為直徑的圓過T(0，1)當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線：由記點，則又即以AB為直徑的圓恒過T，故在坐標(biāo)平面上存在T(0，1)滿足題意【例4-2】（2019·北京高考真題（理））已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．【解】(Ⅰ)將點代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.【方法小結(jié)】圓過定點問題，可以先取特殊值或者極值，找出定點，再證明向量數(shù)量積等于0.三．鞏固練習(xí)1．（2017新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足QUOTEQUOTENP=2NMNP=2NM．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且QUOTEQUOTEOP?PQ=1OP?PQ=1．證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．2．（2011山東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：．如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若（i）求證：直線過定點；（ii）試問點能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由．3．（2014山東）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有，當(dāng)點的橫坐標(biāo)為3時，為正三角形。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．4．（2018·黑龍江哈爾濱三中高二期中（文））曲線，直線關(guān)于直線對稱的直線為，直線，與曲線分別交于點、和、，記直線的斜率為．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）當(dāng)變化時，試問直線是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不恒過定點，請說明理由．5．（2016·浙江高二期中）已知圓與軸交于兩點，是圓上的動點，直線與分別與軸交于兩點．（1）若時，求以為直徑圓的面積；（2）當(dāng)點在圓上運動時，問：以為直徑的圓是否過定點？如果過定點，求出定點坐標(biāo)；如果不過定點，說明理由．6.（2017·江西高考模擬（文））如圖，已知直線關(guān)于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點、和、，記直線的斜率為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)變化時，試問直線是否恒過定點?若恒過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不恒過定點，請說明理由.7．（2019·全國高三競賽）如圖，中心在坐標(biāo)原點和焦點分別在軸、軸上的橢圓、均過點，且橢圓、的離心率均為。過點作兩條斜率分別為、的直線，分別與橢圓、交于點、。當(dāng)時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由。8．已知曲線和都過點，且曲線的離心率為.（1）求曲線和曲線的方程；（2）設(shè)點，分別在曲線，上，，的斜率分別為，，當(dāng)時，問直線是否過定點?若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【鞏固練習(xí)參考答案】1．【解析】（1）設(shè)，，則，，．由得，．因為在上，所以．因此點的軌跡方程為．（2）由題意知．設(shè)，，則，，，，，由得，又由（1）知，故．所以，即．又過點存在唯一直線垂直與，所以過點且垂直于的直線過的左焦點．

2．【解析】（Ⅰ）設(shè)直線，由題意，由方程組得，由題意，所以設(shè)，由韋達定理得所以由于E為線段AB的中點，因此此時所以O(shè)E所在直線方程為又由題設(shè)知D（－3，m），令=－3，得，即=1，所以當(dāng)且僅當(dāng)==1時上式等號成立，此時由得因此當(dāng)時，取最小值2．（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直線的方程為將其代入橢圓C的方程，并由解得又，由距離公式及得由因此，直線的方程為所以，直線3．【解析】（Ⅰ）由題意知，設(shè)，則的中點為因為，由拋物線的定義可知，解得或（舍去）由，解得．所以拋物線的方程為．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，設(shè)．因為，則，由得，故，故直線的斜率因為直線和直線平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程得，由題意，得設(shè)，則當(dāng)時，，可得直線的方程為，由，整理得，直線恒過點當(dāng)時，直線的方程為，過點，所以直線過定點．（ⅱ）由（ⅰ）知直線過定點，所以。設(shè)直線的方程為，因為點在直線上故．設(shè)，直線的方程為由于，可得，代入拋物線的方程得所以，可求得，所以點到直線的距離為==則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的面積的最小值為．4．（Ⅰ）證明：設(shè)直線上任意一點關(guān)于直線對稱點為，直線與直線的交點為，∴，，，，由得①，由，得②，由①②得，；（Ⅱ）設(shè)點，，由，得，可得或，即，由，可將換為，可得，，即直線：，可得，即為，則當(dāng)變化時，直線過定點．5．試題分析：由直線方程得，由得故所求面積為．（2）根據(jù)兩直線互相垂直設(shè)出直線AP，BP的方程，寫出以MN為直徑的圓的方程，令y=0得定點和．試題解析：（1）解析：當(dāng)時，直線方程是，所以；直線方程是，所以，因此．所以以為直徑圓的面積是．（2）解法1：設(shè)直線交軸于；同法可設(shè)直線交軸于，線段的中點．所以以為直徑的圓的方程為：，展開后得，令，得，則過定點和．解法2：設(shè)，線段線段的中點．所以以為直徑的圓的方程為：，展開后得，考慮到，有，令，得，則過定點和．考點：直線與圓的綜合應(yīng)用．6.【解析】試題分析：（Ⅰ）可以設(shè)直線的方程為，再設(shè)直線上任意一點關(guān)于直線對稱點為，于是分別表示出，由直線對稱性可知，所在直線與垂直，且中點在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本問考查橢圓中直線過定點問題，設(shè)，將AM方程與橢圓方程聯(lián)立，可以求出點M的坐標(biāo)，同理將直線AN方程與橢圓方程聯(lián)立，可以求出點N的坐標(biāo)，根據(jù)M，N兩點坐標(biāo)，可以求出直線MN的方程，從而判定直線MN是否過定點.試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線上任意一點關(guān)于直線對稱點為直線與直線的交點為，∴，由得……..①由得…….②，由①②得.（Ⅱ）設(shè)點，由得，∴，∴.同理：，，∴即：∴當(dāng)變化時，直線過定點.方法點睛：定點問題的探索與證明時一般考慮以下兩種解法：（1）可以先設(shè)直線方程為，然后利用條件建立的等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思路找出定點；（2）從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān).7.【詳解】注意到，橢圓、的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為；直線，由.則點.內(nèi)飾地，點.