高中數(shù)學(xué)從力做的功到向量的數(shù)量積教案北師大版必修四

從力做的功到向量的數(shù)目積一、教課目的：知識與技術(shù)（1）經(jīng)過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)目積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）領(lǐng)會平面向量的數(shù)目積與向量投影的關(guān)系.（3）掌握平面向量數(shù)目積的運(yùn)算律和它的一些簡單應(yīng)用.（4）能運(yùn)用數(shù)目積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)目積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.過程與方法教材利用同學(xué)們熟習(xí)的物理知識（“做功”）獲得向量的數(shù)目積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學(xué)生理解和穩(wěn)固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了4個例題；經(jīng)過解說例題，培育學(xué)生邏輯思想能力.感情態(tài)度價值觀經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們認(rèn)識到向量的數(shù)目積與物理學(xué)的做功有著特別密切的聯(lián)系；讓學(xué)生進(jìn)一步意會數(shù)形聯(lián)合的思想；同時以較熟習(xí)的物理背景去理解向量的數(shù)目積，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、踴躍性和勇于創(chuàng)新的精神..教課重、難點(diǎn)要點(diǎn):向量數(shù)目積的含義及其物理意義、幾何意義；運(yùn)算律.難點(diǎn):運(yùn)算律的理解三.學(xué)法與教課器具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+研究式學(xué)習(xí)法：反應(yīng)練習(xí)法：以練習(xí)來查驗(yàn)知識的應(yīng)用狀況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教課器具:電腦、投影機(jī).四.教課假想【研究新知】（學(xué)生閱讀教材P107—108，師生共同議論）思慮：請同學(xué)們回想物理學(xué)中做功的含義，問對F一般的向量a和b，怎樣定義這類運(yùn)算？1.力做的功：W=|F|?|s|coss是F與s的夾角2.定義：平面向量數(shù)目積（內(nèi)積）的定義，a?b=|a||b|cos，并規(guī)定0與任何向量的數(shù)目積為。03.向量夾角的觀點(diǎn)：范圍0≤≤180C=0AAC[展現(xiàn)投影]ABABOB因?yàn)閮蓚€向量的數(shù)目積與向量同實(shí)數(shù)積有很大差別；所以重申注意的幾個問題：=180OOOOBBOA①兩個向量的數(shù)目積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos的符號所決定。②兩個向量的數(shù)目積稱為內(nèi)積，寫成a?b；此后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而ab是兩個數(shù)目的積，書寫時要嚴(yán)格劃分。③在實(shí)數(shù)中，若a0，且a?b=0，則b=0；可是在數(shù)目積中，若a0，且a?b=0，不可以推出b=0。因?yàn)榇酥衏os有可能為0.這就得性質(zhì)2.④已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c.可是a?b=b?ca=ca||b|cos=|b||OA|如右圖：ab=|?b?c=|bc|cosb||=|||OA|Oa?b=b?c但aca?bcab?c⑤在實(shí)數(shù)中，有(a?bcab?c，可是())=())(明顯，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.[展現(xiàn)投影]思慮與溝通：思慮與溝通1.射影的觀點(diǎn)是怎樣定義的，舉例（或繪圖）說明；并指出應(yīng)注意哪些問題.

ABacbABB定義：||cosOO注意：①射影也是一個數(shù)目，不是向b量。b②當(dāng)為銳角時射影為正當(dāng)；當(dāng)為鈍角時射影為負(fù)值；AOaB1AB1Oa當(dāng)為直角時射影為0；Ob|；當(dāng)=0時射影為|當(dāng)=180時射影為|b|.

BObO(B1)aAO思慮與溝通2.怎樣定義向量數(shù)目積的幾何意義？由向量數(shù)目積的幾何意義你能獲得兩個向量的數(shù)目積哪些的性質(zhì)（學(xué)生議論達(dá)成，教師作必需的增補(bǔ)）.幾何意義：數(shù)目積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。e?a=a?e=|a|cos②aba?b=0a?bab；當(dāng)a與b反向時，③當(dāng)a與b同向時，=||||a?b=ab。||||特其他a?a=|a2或|a|aa|④cos=a?b（|ab≠）|||0|a||b||ab|≤|a||b|【穩(wěn)固深入，發(fā)展思想】判斷以下各題正確與否：①若a=0，則對任一向量b，有a?b=0.(√)②若a0，則對任一非零向量b，有a?b0.(×)a0，ab，則b0③若=0?=.(×)④若a?b=0，則a、b起碼有一個為零.(×)⑤若a0，a?b=a?c，則b=c.(×)⑥若a?b=a?c，則b=c當(dāng)且僅當(dāng)a0時建立.(×)a、b、c，有a?b?ca?b?c⑦對隨意愿量(().)(×)，有a2|a|2.⑧對隨意愿量a=(√)[展現(xiàn)投影]思慮與溝通：思慮：依據(jù)向量數(shù)目積的定義、物理意義及幾何意義，你可否考證以下向量的數(shù)目積能否知足以下運(yùn)算定律（證明的過程可依據(jù)．．．．．．．．．學(xué)生的實(shí)質(zhì)水平?jīng)Q定）．．．．．．．．．．1.互換律：a?b=b?a證：設(shè)a，b夾角為，則a?b=|ab，b?a=|ba∴a?b=b?a|||cos|||cos2.數(shù)乘聯(lián)合律：(a?b=(a?ba?(b))=)證：若=0，此式明顯建立.若>0，(a?b=|ab，)|||cos(a?b|a||b|cos，a()=，b)=|a||b|cos所以a?a?ba?b(?b=()=()).若<0，(a)?b=|a||b|cos()==|ab|a||b|(cos)，|||cos(a?b|ab，)=|||cosa(b)ab)=?=|ab|a||b|(cos)。所以(a)|||cos?b=(ab)=a(b).a?b?a?b?a?b建立綜上可知()=()=(.)3.分派律：(a+b)?c=a?c+b?cA2證：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA=a,AB=b，OC=c，ba

B∵a+b（即OB）在c方向上的投影1等于a、b在c方向上的投影和，bO即：|a+b=|a1+|2∴|cos|cos|cosb|c||a+b=|c||a1+|c||∴|cos|cosab|cosc?(a+bc?a+c?b即：+?c=a?c)=()b?c.[展現(xiàn)投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適合增補(bǔ)）例1.已知：2,3,與的夾角為1200,求(1)22.abab.(2)abab2222

Ac2+

BC解：（1）abab495（2）ab(ab)222ab22b2aba2abcos7例2.已知a、b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a、b的夾角。解：由(a+3ba)(7(ab)(7a4兩式相減：2ab=角為，

b7a2+16a?bb2=0①5)=0152b)=07a230a?b+8b2=0②b2代入①或②得：a2=b2設(shè)a、b的夾則cos=a?bb21∴=60|a||b|2|b|22D例3.用向量方法證明：菱形對角線相互垂直。證：設(shè)AB=DC=a,AD=BC=b

AC∵ABCD為菱形∴|ab|=||

abB∴AC?BD=(+)()=22=|b|2||2=0bbaabaaACBD即菱形對角線相互垂直。【穩(wěn)固深入，發(fā)展思想】教材P109練習(xí)1、2題教材P111練習(xí)1、2、3、4、5題[學(xué)習(xí)小結(jié)]（學(xué)生總結(jié)，其余學(xué)生增補(bǔ)）①相關(guān)觀點(diǎn)：向量的夾角、射影、向量的數(shù)目積.②向量數(shù)目積的幾何意義和物理意義.③向量數(shù)目積的五條性質(zhì).④向量數(shù)目積的運(yùn)算律.五、評論設(shè)計(jì)1．作業(yè)：習(xí)題2.5A組第3、4、5、6、7題．2．（備選題）：①在ABC中，設(shè)邊BC，CA，AB的長度分別為a，b，c，用向量方法證明：a2b2c22bccosA②求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的