高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練48直線與圓錐曲線含解析新人教A版

PAGEPAGE9考點(diǎn)規(guī)范練48直線與圓錐曲線基礎(chǔ)鞏固1.已知雙曲線x2a2-y2b2A.54 B.5 C.54 D答案:D解析:不妨設(shè)x2a2-y2b2=1的漸近線由y=bax,所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=c2.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0)作x軸的垂線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),OA.y=±32x B.y=±22C.y=±23x D.y=±2x答案:B解析:由題意得|AB|=2b∵S△AOB=83∴12×2b2a×1=∵a2+b2=1,②解①②得a=13,b=2∴雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±22x.故選B3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y=2x2上的兩點(diǎn),直線l是AB的垂直平分線.當(dāng)直線l的斜率為12時(shí),直線l在y軸上的截距的取值范圍是(A.34,+C.(2,+∞) D.(-∞,-1)答案:A解析:設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程為y=12x+b,過點(diǎn)A,B的直線可設(shè)為y=-2x+m聯(lián)立方程y=2x2,y=-從而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12又AB的中點(diǎn)-12,m+1在直線l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,將m=b-54代入4+8m>0,得b>4.過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A.5 B.22 C.23 D.33答案:C解析:由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3因?yàn)镸在x軸的上方,所以M(3,23).因?yàn)镸N⊥l,且N在l上,所以N(-1,23).因?yàn)镕(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1).所以M到直線NF的距離為|3×(35.斜率為1的直線l與橢圓x24+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為(A.2 B.4C.4105 D答案:C解析:設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t,由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2則x1+x2=-85t,x1x2=4所以|AB|=1+k2|x1-x=1+=2·當(dāng)t=0時(shí),|AB|max=4106.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4,若拋物線y=ax2上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對稱,且x1x2=-A.32 B.52 C.2 D答案:A解析:由雙曲線的定義知2a=4,得a=2,所以拋物線的方程為y=2x2.因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2兩式相減得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨設(shè)x1<x2,又A,B關(guān)于直線y=x+m對稱,所以y1-y2x1-x2而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=x1+xy0=y1因?yàn)橹悬c(diǎn)M在直線y=x+m上,所以54=-14+m,解得m=7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為.

答案:2解析:直線x-y+1=0與雙曲線的漸近線y=x平行,且兩平行線間的距離為22由圖形知,雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離的最小值無限趨近于22,要使距離d大于c恒成立,只需c≤22即可,故c的最大值為8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求橢圓C的方程;(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的中點(diǎn)G在圓x2+y2=1上,求m的值.解:(1)由題意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22.故橢圓C的方程為x28+(2)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)G(x0,y0),由y=x+m,x28+y24=1消y則Δ=96-8m2>0,所以-23<m<23.x0=x1+x22=-2m3,因?yàn)辄c(diǎn)G(x0,y0)在圓x2+y2=1上,所以-23m2+19.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為255.直線l:y=kx+m(m>0)與C交于A(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P(0,1),PA·PB=-4,求證:直線l解:(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,則OM為△AFF1的中位線.∴OM=12AF1,MF=12∴|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5,∵e=ca∴橢圓C的方程為x225+(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立y=kx+m,x225+y25=1消去y整理得(1+5k2)∴Δ>0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2my1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k∵P(0,1),PA·PB∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴5m2-25整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去)∴直線l過定點(diǎn)(0,2).能力提升10.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且A.x23-y29=1C.x24-y212=答案:A解析:由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=bax如圖,|AD|=d1,|BC|=d2,過點(diǎn)F作FE⊥CD于點(diǎn)E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3又因?yàn)辄c(diǎn)F(c,0)到直線y=bax的距離為|bc所以b=3,b2=9.因?yàn)閑=ca=2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以雙曲線方程為x23-y11.設(shè)雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若點(diǎn)P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是答案:(27,8)解析:由題意,知a=1,b=3,c=2,則e=ca=2設(shè)P(x,y)是雙曲線上任一點(diǎn),由雙曲線的對稱性不妨設(shè)P在右支上,由△F1PF2為銳角三角形,可知1<x<2,則|PF1|=(x+2)2+y2=2x+1,|PF2由△F1PF2為銳角三角形,知∠F1PF2為銳角,則|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72所以72<x<2,所以|PF1|+|PF2|=4x∈(27,8)12.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P答案:2+3解析:不妨設(shè)過右焦點(diǎn)與漸近線平行的直線為y=ba(x-c),與C交于P(x0,y0)∵x0=2a,∴y0=ba(2a-c)又P(x0,y0)在雙曲線C上,∴(2a)∴整理得a2-4ac+c2=0,設(shè)雙曲線C的離心率為e,故1-4e+e2=0.∴e1=2-3(舍去),e2=2+3.即雙曲線C的離心率為2+3.13.如圖,已知橢圓C1:x22+y2=1,拋物線C2:y2=2px(p>0),點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交橢圓C1于點(diǎn)B,交拋物線C2于M(B,M不同于A).(1)若p=116,求拋物線C2(2)若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn),求p的最大值.解:(1)由p=116,得C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是1(2)由題意可設(shè)直線l:x=my+t(m≠0,t≠0),點(diǎn)A(x0,y0).將直線l的方程代入橢圓C1:x22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=-mtm將直線l的方程代入拋物線C2:y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM=-2pt,解得y0=2p(m2+2)由x022+y02=1,得1所以當(dāng)m=2,t=105時(shí),p取到最大值10高考預(yù)測14.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,2),且直線PA1⊥x軸,過點(diǎn)P作直線與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)(A,B在第一象限且點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方),直線OP與(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線QA1的斜率為k1,直線A1B的斜率為k2,問:k1k2的斜率乘積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.解:(1)由題意可知a=2,c=所以橢圓E