高中數(shù)學(xué)基本不等式的證明

基本不等式的證明(1)教課目的1）認(rèn)識(shí)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)均勻數(shù)與幾何均勻數(shù)的觀點(diǎn)，能推導(dǎo)并掌握基本不等式；2）理解定理的幾何意義，可以簡(jiǎn)單應(yīng)用定理證明不等式。教課要點(diǎn)，難點(diǎn)：基本不等式的證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。教課過程一．問題情境1．情境：把一個(gè)物體放在天平的盤子上，在另一個(gè)盤子上放砝碼使天均勻衡，稱得物體的質(zhì)量為a，假如天平制造得不精準(zhǔn)，天平的兩臂長(zhǎng)略有不一樣（其余要素不計(jì)），那么a并不是物體的重量?？墒?，我們可作第二次丈量：把物體調(diào)動(dòng)到天平的另一個(gè)盤子上，此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b。2．問題：怎樣合理地表示物體的質(zhì)量呢？二．學(xué)生活動(dòng)指引學(xué)生作以下思慮：1）把兩次稱得的物體的質(zhì)量“均勻”一下：（2）依據(jù)力學(xué)原理：設(shè)天平的兩臂長(zhǎng)分別為l1,l2，物體的質(zhì)量為M，則l1Ml2a，①l2Ml1b，②，①，②相乘在除以l1l2，得Mab（3）ab與ab哪個(gè)大？2三．建構(gòu)數(shù)學(xué)1．算術(shù)均勻數(shù)與幾何均勻數(shù)：設(shè)a,b為正數(shù)，則ab稱為a,b的算術(shù)均勻數(shù)，ab稱為a,b的幾何均勻數(shù)。22．用詳細(xì)數(shù)據(jù)考證得：ab基本不等式：ab(a0,b0)2即兩個(gè)正數(shù)的幾何均勻數(shù)不大于它們的算術(shù)均勻數(shù)，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)二者相等。下邊給出證明：證法1：abab1[(a)2(b)22ab]1(ab)20222當(dāng)且僅當(dāng)ab即ab時(shí)，取“”。證法2：要證abab，只需證2abab2只需證0a2abb，只需證0(ab)2由于最后一個(gè)不等式建立，因此abab建立，當(dāng)且僅當(dāng)ab即ab時(shí)，2取“”。證法3：關(guān)于正數(shù)a,b有(ab)20，ab2ab03．說明：1）基本不等式建立的條件是：a0,b02）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、剖析法（證法2）、綜合法（證法3）（3）abab的幾何解說：（如圖1）以ab為直徑作圓，在直徑AB上取一2AB，則CD2CACBab，點(diǎn)C，過C作弦DDDab，而半徑ab進(jìn)而CDCDab2AaB（4）當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”的含義：一方面是當(dāng)aCbb時(shí)取等號(hào)，即ababab；另一方面是僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，即（圖1）Dab2abab。2R，那么a2b2（5）假如a,b2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”）．四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用1．例題：例1．設(shè)a,b為正數(shù)，證明以下不等式建立：（1）ba2（）1ab；2a2a證明：（1）∵a,b為正數(shù)，∴b,a也為正數(shù)，由基本不等式得ba2ba2ababab∴原不等式建立。（2）∵a,1均為正數(shù)，由基本不等式得a12a12，∴原不等式建立。aaa例2．已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcca證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca因此，a2b2c2abbcca．例3．已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證(abcd)(acbd)4abcd．證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得：abcdabcd0，2acbdacbd0，∴(abcd)(acbd)abcd，24即(abcd)(acbd)4abcd．例4．求證：x242．x231證明：∵x230，又x231，∴x23，x23∴x24(x23)1x2312x212，x2x2x23333x23即x24．x2232．練習(xí)：給出以下結(jié)論：（1）若x0,y0,則lgxlgy2lgxlgy（2）若x0,則1cosx21cosx2cosxcosx（3）若x0，則x42x44xx（4）若x0，則2x2x22x2x2此中正確的有2．課本P901,2五．回首小結(jié)：1．算術(shù)均勻數(shù)與幾何均勻數(shù)的觀點(diǎn)；2．基本不等式及其應(yīng)用條件；3．不等式證明的三種常用方法。六．課外作業(yè)：P903P931