2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專題提升：第15講 數(shù)列性質(zhì)：最值問題（解析版）

第15講數(shù)列性質(zhì):最值問題

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.已知數(shù)列｛%｝的通項公式?！?〃2-(6+2/1)〃+2016,若4或為數(shù)列｛qJ的最小項，則

實數(shù)4的取值范圍是()

A.(3,4)B.[2,5]C.[3,4]D.(-,-)

【解答】解：由題意，數(shù)列｛”的通項公式」="一(6+2%)"+2014的對稱軸為〃=3+2,

???4或％為數(shù)列｛/｝的最小項，

.?.5.5v3+4v7.5,

2.5<2<4.5.

故選：D.

2.(2021秋?雁峰區(qū)校級月考)在等差數(shù)列中｛〃〃｝,q=21,公差為d,前〃項和為S〃，當

且僅當〃=8時S”取得最大值，則d的取值范圍是()

217217

A.[-3,---)B.(--,-3)C.(-3,--—)D.1--,-3)

o2o2

【解答】解：?.?在等差數(shù)列中｛a,,｝,q=21,公差為d,前〃項和為S“，

當且僅當〃=8時S“取得最大值，

二.%>0,a9<0,

即21+7d>0,21+8J<0,

解得-3</<一目.

8

故選：C.

.2222.2?2

3.(2021秋?淮北期中)設(shè)等差數(shù)列芋“｝滿足s'"%一°°s%+c0s%cos網(wǎng)-sm%=1,

sin(4+%)

公差de(-l,0).若當且僅當“=8時，數(shù)列伍“｝的前〃項和S“取得最大值，則首項“取

值范圍是()

D.殍*

A.(2,等)B.呼，爭C.佟,爭

633263

.2。22?2?2

解答]加隼.山5〃%-cosy+cos-a5cos/=]

sin(〃6+%)

一cos2%+(cosa5cos1+sinasind^)(cosacos-sin%sin4)

得:\55=],

sin(〃6+%)

nn-COS2%+COS(〃5-〃8)COS(〃5+4)_1

即--------------;---:------------=------=I,

—cos2%+-cos2/-cos2%

由積化和差公式得:

sin(a6+a7)

(cos2%-cos2a5)

整理得：2-----------------------

sin(4+%)

-.(-2)sin(a8+a5)sin(tj8-a5)

即有z------------：----------=1,

sin(a6+%)

.,.sin(3d)=—1.

,：de(-1,0),/.3de(-3,0)，

則3公-3T，

由S?=na,+-n(n-Y)d=--n2+(a.+—)n,

〃]212112

對稱軸方程為〃=9（4+工），

7112

由題意儀“1"=8時,數(shù)列｛為｝的前nd和S；取得最大.

156,乃、17

7447r

得:—<a<—，

613

首項4的取值范圍是（上，—）.

63

故選：A.

4.（2021春?武侯區(qū)校級期中）設(shè)等差數(shù)列｛an｝滿足：

22229

cosa3cosa5-sinsina5-cos2a3=sin（^+%）,a4keZ且公差dG（-1,0）,

若當且僅當〃=8時，數(shù)列｛6｝的前〃項和S〃取得最大值，則首項q的取值范圍是（）

A.2乃]B.(―,2乃)C.[―,2mD.2萬）

嚀24

2222

【解答】解：*/cosa3cosa5-sina3sina5-cos2a3=sin(q+%),

22222

/.cosa3cosa5-sindt3sina5一cos%+sina3=sin(q+%),

22

即cos%(cos?a5-l)-sin%(sin?%-1)=sin2a4，

2222

即-cos%sina5+sin/cosa5=sin24,

即(sin/cosa5-cos/sin%)(sina3cosa5+cosa3sin%)=sin2a4，

即sin(%-4)sin(q+4)=sin2a4，

BP-sin2dsin(26r4)=sin2%，

k元

*/a4'—,「.sin2a4￥0,

.\sin(2rf)=-l.

,/dG(-1,0),/.2dG(-2,0)，

則2d=——,d=——.

24

.cn(n-V)dn(n-1)/乃、冗？，兀、

由S〃=na｝+―--=叫+--—x(--)=--?+(4+§)〃?

對稱軸方程為〃=3(4+—)，

718

由題意當且僅當"=8時，數(shù)列短〃｝的前〃項和S.取得最大值，

,154.冗、17/用汨In.

?.—<—(qH—)<—,PT:—<4<27c.

27824

首項4的取值范圍是(叁，2萬)，

4

故選：D.

5.(2021春?威寧縣期末)對于數(shù)列｛4｝,定義工=3+至十二2”工,為數(shù)列他“｝的，，美

n

值”,現(xiàn)在已知某數(shù)列｛《,｝的“美值”匕=2用，記數(shù)列甩-⑼的前一項和為S.，若S”,,九

對任意的〃GN*恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是()

A.[11,^B.(H,^c?匡4D.(竺」)

5555115115

【解答】解：由x=q+2%+…+2”&可得:q+2a,+~+2"-4=〃x2"M,

n

2

當〃..2時,O|+2a2+...+2"~all_l=(n-l)x2",

兩式相減可得：2"-%“=〃x2"s-(〃-1)x2"=(〃+1)2",

所以％=2〃+2,所以a“一切=2〃+2—r〃=(2-f)〃+2,

所以數(shù)列｛〃“-㈤是等差數(shù)列.

由5??Sl0對任意的"GN*恒成立可得:%-10f..0且%-11T,,0,

即22—10「..0且24-11*0,

即上24圖11

115

故選：c.

6.（2021秋?南明區(qū)校級月考）已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,且貝打?！皘的

最小值為（）

A.1B.2C.3

D.4

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛4｝中5"=|〃2一日〃，

當”=1時，4=S[=—7,

當〃..2時，q=S“-S,i=3〃-10,

綜合可得:a?=3n-10,則|4|=|3"-10|,

當〃=3時，|%|取得最小值1；

故選：A.

7.（2021秋?西城區(qū)校級月考）等差數(shù)列僅“｝的前n項和為S“，前n項積為7；,已知弓=T,

%=一1,貝IJ（）

A.S“有最小值，7；有最小值B.5,,有最大值，7；有最大值

C.S“有最小值，7；有最大值D.S“有最大值，7；有最小值

【解答】解：在等差數(shù)列｛”“｝中，由出=-4,a,=-1.得d=%-%=3,

口」f-]■4=a>—cl-4—3=-7.

S=-ln+^^~~—x3=—M2--n.則當”=而neN*，

2226

.??當〃=3時，S,有最小值;

等差數(shù)列｛4｝的前三項小于0，自第四項起大于0,且大于I,

7；<0,T2>0,T3<0,當幾.4時，7；,<0,

.?.7；有最大值，為△?

故S,有最小值，7；有最大值.

故選：C.

8.（2021?遼寧開學(xué)）若數(shù)列｛氏｝滿足q=2"-",T?=a,a2-an,則7；的最小值為（）

A.B.2-10C.2TD.2T2

【解答】解：Zk="2（".2川"”>=2<"T/Y,

T?

可得：〃=3時，T3=T4.

〃<3時，弘〃>3時，弘>1.

<1；

T,.

:.T1>T2>T3=T4<T5<T6<..,f

,0

Tn的最小值為7；或小7；=2-3x2。x2-=2~,

故選：B.

9.（2021秋?深圳月考）已知數(shù)列應(yīng)｝的通項公式%=3"（2〃-13）,則數(shù)列前〃項和S”取最

小值時，兒的值是（）

A.6B.7C.8D.5

【解答】解：由題意，令a,1=3"（2〃一13）>0,即2〃—13>0,解得

1

令?！?3"(2〃-13)<0,即2〃一13<0,解得〃

2

故當掇W6時，an<0,

當〃..7時,a”>0，

當“eN*時，2〃-13為遞增的等差數(shù)列，3">0恒成立,

:.ax<生<???<a6<0<a7<as<--

.?.當九=6時，前”項和S,取得最小值.

故選：A.

17

10.（2021?安徽模擬）已知正項等比數(shù)列｛”"｝的前”項和為S?,S2=-,S3=—,則ata2...an

的最小值為（）

A修B.令4

C.4)，6石)

q(i+q)=§

【解答】解:由題意可得，

7

a(l+q+q2)=—

_4=一

3

解可得，“產(chǎn)藥或2（舍）,

故

當掇女5時，4v1，當幾.6,>1，

4

55

則axa2...an的最小值為a}a2...a5=(a3)=(—).

故選：D.

二.填空題（共3小題）

11.（2021秋?玄武區(qū)校級月考）已知｛6,｝為等差數(shù)列，%=52,邑=343,｛/｝的前"項

和為S,,,則〃=20時,5“最大.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，

由叼=52,$7=343,可得4+24=52,74+213=343,

解得q=58,d=—31

貝ija,,=58-3（"-1）=61—3〃，

當啜M20時，4>0；當”..21時，a?<0.

所以當〃=20時，5“最大.

故答案為：20.

12.（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)歹人卬>0且|%1=161，

當〃=6時,數(shù)列｛““｝前”項和S”取最大值.

【解答】解：設(shè)數(shù)列｛4｝公差為d,根據(jù)題意可知：％+4=0,可得24+111=0,

111

12q

0〃(九一1)/2、a.12a.業(yè)n

2+nf=6時，數(shù)列｛q,｝前”項

..SfJ=naA+-----(-77《)=-77〃~TT,,二J〃=

/111111c2x

和S,,取最大值6.

故答案為：6.

13.（2016?長春四模）等差數(shù)列｛““｝的前”項和為5"，已知幾=0,幾=25,則使5+1電

取最小值的”等于6或7.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛?“｝的首項為4,公差為d，

???Sl0=1()?!+45〃=0,幾=15q+1054=25，

.?.4=-3,d=-

3

...S1叼+3小牛_竺〃,

〃?233

/八。13101101—210

(〃+l)S“=-n---n2+-n2---n=-n—3獷---n

“333333

令nSn=f(n),

/,(/i)=n2-6n-y,

.?.當〃=3+g庖時，/(〃)取得極值，當3-g扃<〃<3+g歷時，/(〃)遞減；當

〃>3+g歷時，/(〃)遞增：

因此只需比較/(6)和/(7)的大小即可.

f(6)=-56,f(7)=-56,

故(〃+1)5,,的最小值為-59.

故答案為：6或7.

三.解答題(共3小題)

14.(2021?新疆模擬)在平面直角坐標系中,已知三個點列｛4,｝、｛紇｝、｛￡,｝，其中4(〃,4)、

、G(〃-l,0)滿足：向量4Al與向量&C；共線，且點列｛紇｝在方向向量為(1,6)的

直線上，〃]=〃，b、=-a.

(1)試用a與n表示an(n..2)；

(2)若4與%兩項中至少有一項是?！ǖ淖钚≈?，試求〃的取值范圍.

【解答】解：(1)由45,《)、紇5也)、CJn-1,0),

得：中二=(1，%-。.)，瓦C：=(-1，M).

?.?向量AA“二與向量瓦盤共線，

??Ix(-1)-(-1)x(%-4)=0,即a?+1-an=bn.

乂｛紇｝在方向向量為(1,6)的直線上，

色#=6,即心8,=6.

n+\—n

b〃=b、+6(〃-1)=-a+6(九一1),

a〃=4+(〃2-4)+(%—%)+…+一an-\)

=4+4+b2+…+bn_x

=a+(—ci)+(—a+6)+(—ct+6x2)+...+[—ci+6(〃-2)]

=6[1+2+…+(〃-2)]—ci(〃—1)

(\-2)(n-2).

=6x---+-n-----------a(n-1n)

=3(〃-1)(〃-2)-a(n-1)

=3n2-(9+a)n+6+2a(n..2)；

(2)二次函數(shù)f(x)=3/_(9+a)x+6+2a的圖象是開口向上，對稱軸為彳=巴坦的拋物線.

6

又：在心與的兩項中至少有一項是A的最小值，故對稱軸x=巴處在[11,"]內(nèi)，

即口轟佇2”，

262

.?.24到36.

15.(2021秋?海曙區(qū)校級期中)已知數(shù)列伍“｝中，《,=1+——J—-(neN\aeR^a^O].

a+2\n-\y'

(1)若a=-7,求數(shù)列｛七｝中的最大項和最小項的值；

(2)若對任意的〃eN*,都有a,,,,4成立，求。的取值范圍.

【解答】解：(1)+----；----(neN*,ae7?,Ka*0)

a+2(〃-l)\'

當a=—7時，a?=1+—(neTV*)

2/7-9

結(jié)合函數(shù)f(x)=l+—1一的單調(diào)性

2x-9

可知：1>4>4；a5>a()>a1>...>atl>l(neN")

｛an｝中的最大項為％=2，最小項為4=0

(2)凡=1+----,----=1+—2—

a+2(〃-l)n2-a

2

?.?對任意的都有時,%成立，并結(jié)合