線性系統(tǒng)理論離散線性系統(tǒng)理論

線性系統(tǒng)理論離散線性系統(tǒng)理論第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日為系統(tǒng)的輸入解耦零點；稱滿足為系統(tǒng)的輸出解耦零點；的定義11.1.1對于系統(tǒng)（11.1.5）

我們稱滿足的11.1離散動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述11.1.1離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日11.1.2

脈沖傳遞函數(shù)矩陣

脈沖傳遞函數(shù)矩陣為的有理分式矩陣，并且通常只討論為真的和嚴(yán)格真的情況，因為非真的將不具有因果性，即會出現(xiàn)還沒有加入輸入作用而已產(chǎn)生輸出響應(yīng)的現(xiàn)象，這是不符合一般的物理可實現(xiàn)性的。稱滿足的為系統(tǒng)的傳輸零點。

第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日11.2

離散動態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動分析

從數(shù)學(xué)角度看，線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動分析，歸結(jié)為對時變的線性差分方程或定常的線性差分方程進(jìn)行求解。第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日.令，則由已知和，從式（）求得(為給定問題的時間區(qū)間末時)11.2.2線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律矩陣差分方程和

第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日的解陣和分別稱為線性時變離散系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日和線性定常離散系統(tǒng)定理11.2.1令和分別為線性時變離散系統(tǒng)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則其表達(dá)式分別為

第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日所描述的線性時變離散系統(tǒng)，其狀態(tài)運(yùn)動的表達(dá)式為

和

其中

定理11.2.2對于式第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日所描述的線性時變離散系統(tǒng)，其狀態(tài)運(yùn)動的表達(dá)式為

或

其中，是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。定理11.2.3對于

或

第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日11.3

線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化11.3.1實現(xiàn)方法下圖是將連續(xù)時間系統(tǒng)化為離散時間系統(tǒng)的一種典型情況。受控對象是連續(xù)時間系統(tǒng)，其狀態(tài)，輸出和輸入都是時間的連續(xù)函數(shù)向量?？刂蒲b置由數(shù)模轉(zhuǎn)換器、數(shù)字計算機(jī)、模數(shù)轉(zhuǎn)換器構(gòu)成。它只能輸入離散時間變量，并輸出離散時間變量，其中離散時間序列。第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日

基本結(jié)論給定線性連續(xù)時變系統(tǒng)則其在基本假設(shè)下的時間離散化模型為

并且兩者的系數(shù)矩陣間存在如下的關(guān)系式：

第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中，為采樣周期；是連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日定理11.3.2在前述基本假設(shè)下，線性連續(xù)定常系統(tǒng)的時間離散化模型為其中

第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日推論11.3.1時間離散化不改變系統(tǒng)的時變性或定常性，即時變連續(xù)系統(tǒng)離散化后仍為時變系統(tǒng)，而定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后仍為定常系統(tǒng)。推論11.3.2不管連續(xù)系統(tǒng)矩陣或是否為非奇異，但離散化系統(tǒng)的矩陣或?qū)⒁欢ㄊ欠瞧娈惖?。對于連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必是非奇異的。第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日稱為是穩(wěn)定的，如果對于任給的11.4離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性11.4.1離散時間系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性定義11.4.1離散線性系統(tǒng)的平衡點及任何非負(fù)整數(shù)，存在使當(dāng)時，有

對于所有成立。第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日，使得當(dāng)無關(guān)）及任意非負(fù)整數(shù)稱為是一致漸近穩(wěn)定的，如果它是一致穩(wěn)定的，同時對每個稱為是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，同時存在一個定義11.4.2離散系統(tǒng)的平衡點時，有

定義11.4.3離散系統(tǒng)

的平衡點，存在一個（與和及一（與無關(guān)），使當(dāng)?shù)谑隧?，共五十一頁?022年，8月28日時，對于所有，有

對于所有成立。定義11.4.4離散系統(tǒng)

的平衡點稱為是指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在一，且對每個，存在使當(dāng)時有

對于所有成立。第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日稱為是大范圍一致漸近穩(wěn)定的，如果1.它是一致穩(wěn)定的；2.方程的解是一致有界的；3.對任何時趨于零。定義11.4.8

該離散系統(tǒng)的平衡點稱為是大范圍穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，并且方程的每個解當(dāng)定義11.4.7

該離散系統(tǒng)的平衡點，任何及存在（與無關(guān)），使得當(dāng)時，有

對于所有成立。第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日定義11.4.9離散系統(tǒng)

的平衡點稱為是大范圍指數(shù)穩(wěn)定的。如果存在，并對任何，存在，使當(dāng)時，有

對于所有成立。第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日（離散系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判據(jù)）對于離散系統(tǒng)

11.4.2離散時間系統(tǒng)的Lyapunov主穩(wěn)定性定理如果存在一個相對于的標(biāo)量函數(shù)，且對任意滿足：1.為正定的；3.當(dāng)時有

則原點平衡狀態(tài)，即為大范圍漸近穩(wěn)定。2.負(fù)定；第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日

時，系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)，即推論11.4.1對于離散系統(tǒng)（11.4.1）

設(shè)，則當(dāng)收斂，即對所有，有

為大范圍漸近穩(wěn)定。第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日的最小多項式的單根。2.其唯一平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下穩(wěn)定的充要條件是，定理11.4.3對于線性定常離散系統(tǒng)（11.4.5）有：1.其每一個平衡狀態(tài)的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的那些特征值是11.4.3線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定的全部特征值第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日

一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對于任何一致有界、一致對稱正定的階的對稱矩陣，如果存在設(shè)為一，使得對于所有的均成立

便稱矩陣為一致有界、一致正定的。離散時變性系統(tǒng)

矩陣Lyapunov差分矩陣方程

第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日由式（11.4.12）定義，則多項式

11.4.4Schur-Cohn判據(jù)

定理11.4.6

（Schur-Cohn判據(jù)）已知由式（11.4.11）表出的多項式為Schur的充要條件是

此處規(guī)定。第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日11.5

離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀測器11.5.1能控性和能達(dá)性第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日

其中，（定常離散系統(tǒng)的秩判據(jù)）當(dāng)為定常時，線性離散系統(tǒng)（11.5.1）為完全能控的充要條件是

為系統(tǒng)的維數(shù)。第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日推論11.5.2考慮單輸入定常離散系統(tǒng)

其中，為維狀態(tài)向量；為標(biāo)量輸入；假定為非奇異。當(dāng)系統(tǒng)為完全能控時，可構(gòu)造如下的控制

使在步內(nèi)將任意狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點上。第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日的任意非零初態(tài)定義11.5.2如果對初始時刻，都存在有限時刻，且可由上的輸出唯一地確定則稱系統(tǒng)在時刻是完全能觀測的。

第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日（時變離散系統(tǒng)的Gram矩陣判據(jù)）線性時變離散系統(tǒng)（11.5.15）

為完全能觀的充要條件是，存在有限時刻，在時刻，使如下定義的Gram矩陣

為非奇異的。第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日定理11.5.6（定常離散系統(tǒng)的秩判據(jù)）線性時變離散系統(tǒng)

為完全能觀的充要條件是

或

第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日為標(biāo)量輸出。當(dāng)系統(tǒng)完全能觀測時，可只利用推論11.5.3考慮單輸出定常離散系統(tǒng)

其中，為維狀態(tài)向量；步內(nèi)的輸出值而構(gòu)造出任意的非零狀態(tài)第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日11.5.4規(guī)范分解與規(guī)范型

定常線性系統(tǒng)

代數(shù)等價于下述按能控性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范型

第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中，維能觀分狀態(tài)向量，即按能觀性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范型

為維能控分狀態(tài)向量，