線性系統(tǒng)理論能控性和能觀性

線性系統(tǒng)理論能控性和能觀性第一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.1能控性和能觀性的定義4.1.1問題的提出能控性問題已知某系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài)，試問是否存在一個(gè)容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下于有限時(shí)間后到達(dá)某希望的待定狀態(tài)？能觀性問題已知某系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸入和輸出，試問可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸入和輸出決定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài)？第二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日例4.1.1

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為將其表為標(biāo)量方程組的形式，有第三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日而由始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，因而系統(tǒng)為完全能控；但輸出都可通過選擇輸入這表明：狀態(tài)變量和只能反映狀態(tài)變量狀態(tài)變量和輸出既無直接聯(lián)系，也無間接聯(lián)系，所以系統(tǒng)是不完全能觀測的。第四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日，則不論電容的初始端電壓。從電路不難看出：如果初始狀態(tài)例4.1.2

考察圖4.1.1所示的電路，系統(tǒng)的狀態(tài)變量為電容端電壓輸入為電壓源輸出為電壓，那么不管輸入是什么，對所有必恒有，即不受影響；

另一方面，如果輸入是多少，對所有恒有，即不能由反映。這表明，此電路是狀態(tài)不能控和狀態(tài)不能觀測的。第六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)值，但不能將例4.1.3

考慮圖4.1.2所示的兩個(gè)電路。在圖4.1.2（a）的電路中，兩個(gè)狀態(tài)變量為兩電容的端電壓能夠做到使和，輸入或者和分別轉(zhuǎn)移到不同的任意目標(biāo)值。

如若初始狀態(tài)則不論將輸入取為何種形式，對所有總只能是即不可能做到使。這表明此電路不完全能控。第八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日在圖4.1.2（b）的電路中，

如若取輸入，那么當(dāng)兩個(gè)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)且為任意值時(shí)，必定有也即對所有總是有。這說明，此種情況下的電路狀態(tài)運(yùn)動(dòng)是由輸出不能反映的，所以此電路為不完全能觀測。第九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.1.2能控性的定義定義

對于線性時(shí)變系統(tǒng)

是系統(tǒng)在如果對取定初始時(shí)刻

的一個(gè)非零初始狀態(tài)，存在一時(shí)刻

,和一個(gè)無約束的容許控制

使得系統(tǒng)在這個(gè)控制的作用下，系統(tǒng)由出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過時(shí)間

后由

轉(zhuǎn)移到，則稱此

時(shí)刻的一個(gè)能控狀態(tài)。第十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定義

對于線性時(shí)變系統(tǒng)上是完全能控的。

如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在

時(shí)刻的能控狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)在時(shí)刻

是完全能控的。如果對于任何

，系統(tǒng)均是在時(shí)刻為能控的，則稱該系統(tǒng)在區(qū)間

第十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定義4.1.3

對于線性時(shí)變系統(tǒng)

取定初始時(shí)刻

如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻是不能控的，則稱該系統(tǒng)在時(shí)刻是不完全能控的。第十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日說明

定義中要求在可找到的輸入的作用下，使

上的一段有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)系原點(diǎn)。而對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡并不加以限制和規(guī)定。這就是說，能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)定性特性。

說明

定義中提到的所謂無約束的容許控制，無約束表示對輸入的每個(gè)分量的幅值不加以限制，即可取為任意大到所要求的值，容許控制則表示輸入的所有分量均是在時(shí)刻的非零狀態(tài)

在上平方可積的。

第十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

來定義的，這對于時(shí)變系統(tǒng)是完全必要的。如果所考慮的為線性定常系統(tǒng)，則其能控與否和

說明4.1.3

上述各定義中都是相對于J中的一個(gè)取定時(shí)刻

時(shí)刻的選取無關(guān)。第十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日說明

上述定義中都規(guī)定為由非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，如果將其變更為由零狀態(tài)達(dá)到非零狀態(tài)，則稱這種情況為狀態(tài)能達(dá)的。對于連續(xù)的線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是等價(jià)的。對于離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說兩者是不等價(jià)地的。可以出現(xiàn)這樣的情況，系統(tǒng)是不完全能控的，但卻是完全能達(dá)的。

第十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日系統(tǒng)為不完全能控的情況是一種“奇異”的情況，系統(tǒng)中組成元件的參數(shù)值的很小的變動(dòng)（這在實(shí)際情況中是完全可能的）都可使其成為完全能控。所以對于一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)，系統(tǒng)為能控的概率幾乎等于1。換句話說，如果隨機(jī)地選取系統(tǒng)地系數(shù)矩陣和的元，那么使系統(tǒng)為完全能控的概率幾乎等于1。第十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.1.3能觀測性定義

能觀測性表征系統(tǒng)的狀態(tài)是否可由系統(tǒng)的輸入和輸出完全反映。定義

對于線性時(shí)變系統(tǒng)

如果對取定初始時(shí)刻

的一個(gè)非零初始狀態(tài)上的系統(tǒng)輸出

可以唯一地決定系統(tǒng)的初始狀態(tài)為能觀測的。，存在一個(gè)有限時(shí)刻

，使得由區(qū)間

，則稱此

在時(shí)刻

第十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定義

對于線性時(shí)變系統(tǒng)取定初始時(shí)刻

及一個(gè)非零初始狀態(tài)，如果對于任何有限時(shí)刻

均有,，則稱此

在時(shí)刻

為不能觀測的。第十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日系統(tǒng)均是在定義4.1.6

對于線性時(shí)變系統(tǒng)如果狀態(tài)空間中所有狀態(tài)都是時(shí)刻上是完全能觀測的。的能觀測狀態(tài),則稱系統(tǒng)在時(shí)刻觀測的。如果對于任何

是完全能時(shí)刻為能觀測的，則稱系統(tǒng)在第十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻是不能觀測的。則稱系統(tǒng)在時(shí)刻定義4.1.7

對于線性時(shí)變系統(tǒng)

取定初始時(shí)刻是完全不能觀測的。

第二十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.2線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)

4.2.1Gram矩陣判據(jù)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

定理4.2.1

系統(tǒng)

在時(shí)刻能控的充分必要條件是存在某個(gè)有限時(shí)刻

，使得矩陣

是正定的，這里

是系統(tǒng)

第二十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日命題4.2.1

令是任意一個(gè)能把系統(tǒng)

的初始狀態(tài)控制到的容許控制，

則

第二十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.2.2基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的判據(jù)定理

假設(shè)和都是的連續(xù)函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)

在

時(shí)刻能控的充分必要條件是存在某個(gè)有限時(shí)刻

，使得矩陣在

上行線性獨(dú)立，即對任意維非零向量都有

第二十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.2.3基于系統(tǒng)參數(shù)矩陣的判據(jù)定理

假設(shè)系統(tǒng)

令

時(shí)刻能控。

中的和的每個(gè)元分別是

和一次連續(xù)可微函數(shù)，記如果存在某個(gè)時(shí)刻，使得

，那么該系統(tǒng)在第二十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.3線性定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)4.3.1定常系統(tǒng)能控性的特殊性引理

設(shè)定常線性系統(tǒng)在某

時(shí)刻完全能控，則它必在上完全能控。第二十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.3.2能控性矩陣判據(jù)定理

定常線性系統(tǒng)能控的充分必要條件是:

第二十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論4.3.1

已知定常線性系統(tǒng)

如果系統(tǒng)矩陣的最小多項(xiàng)式是次的，那么該系統(tǒng)能控的充分必要條件是:

第二十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日那么它能控的充分必要條件是:

推論4.3.2

設(shè)定常線性系統(tǒng)是單輸入的，即

第二十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.3.3PBH判據(jù)定理4.3.2

定常線性系統(tǒng)能控的充分必要條件是，對每個(gè)其中，表示的特征值集合。都有第二十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論

定常線性系統(tǒng)能控的充分必要條件是它沒有輸入解耦零點(diǎn)。

能控的充分必要條件是，對于系統(tǒng)矩陣的每個(gè)左特征向量推論4.3.4

定常線性系統(tǒng),總有

第三十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日的特征值（或者說系統(tǒng)的極點(diǎn)）進(jìn)行分類。

推論4.3.5

系統(tǒng)能控的充分必要條件是

按照系統(tǒng)的能控性，可以對定常線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣第三十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日，并且滿足叫做該系統(tǒng)的一個(gè)不能控振型。定義4.3.1

如果則系統(tǒng)的不能控振型必是系統(tǒng)的極點(diǎn),同時(shí)又是系統(tǒng)的零點(diǎn)。第三十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.4對偶原理與能觀測性判據(jù)4.4.1Gram矩陣判據(jù)定理

已知線性系統(tǒng)它在

時(shí)刻完全能觀測的充分必要條件是，存在某個(gè)有限時(shí)刻，使得矩陣

是正定的。第三十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日時(shí)刻完全能控。

4.4.2對偶原理引理

線性系統(tǒng)時(shí)刻安全能控的充分必要條件是它的對偶系統(tǒng)在的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是互為轉(zhuǎn)置逆的關(guān)系。

時(shí)刻完全能控測的充分必要條件是它的對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和它的對偶系統(tǒng)定理4.4.2

（對偶原理）系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控測；系統(tǒng)在在第三十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.4.3能觀性判據(jù)能觀的充分必要條件是，存在某個(gè)有限時(shí)刻上列線性獨(dú)立，即對任意的非零向量有定理4.4.3

已知系統(tǒng)，假設(shè)和的諸元均為連續(xù)的，則其在時(shí)刻，使得矩陣在

第三十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

已知系統(tǒng)，假設(shè)

和分別是并令

如果存在某個(gè)時(shí)刻那么系統(tǒng)和一次連續(xù)可微的，記:，使得

在時(shí)刻是完全能觀測的。第三十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理4.4.5

定常線性系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是:

第三十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論4.4.1

已知定常線性系統(tǒng)如果的最小多項(xiàng)式是次的，那么系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是:

第三十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論4.4.2

已知定常線性系統(tǒng)是單輸入的，即那么它完全能觀測的充分必要條件是:

第三十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

定常線性系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，對每個(gè)都有:第四十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論

定常線性系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是它沒有輸出解耦零點(diǎn)。第四十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.5系統(tǒng)的能控、能觀性指數(shù)4.5.1線性系統(tǒng)的能控性指數(shù)完全能控的線性定常系統(tǒng)定義階常陣:其中為正整數(shù),因?yàn)橄到y(tǒng)能控,當(dāng)時(shí),為能控制性矩陣，且。則存在一個(gè)使成立的最小正整數(shù)，稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，定義式為：第四十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

，并設(shè)引理4.5.1

已知系統(tǒng)記其能控性指數(shù)為則必成立:

第四十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論

對于單輸入系統(tǒng)，也即時(shí)，系統(tǒng)的能控型指數(shù)為。推論

線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件時(shí)第四十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，則能控性指數(shù)引理

令可進(jìn)而表為為矩陣的估計(jì)不等式第四十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第四十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日命題4.5.1

對系統(tǒng)的狀態(tài)方程作線性非奇異變換，其能控指數(shù)和能控型指數(shù)集

保持不變。

第四十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.5.2線性系統(tǒng)的能觀性指數(shù)第四十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日若把表示為第四十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日從開始搜索個(gè)線性無關(guān)的行,考慮到的秩為,將這個(gè)線性無關(guān)的行重新排列:第五十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日通常稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)集,顯然有:

和第五十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，那么上式還可表示為

的能觀測性指數(shù)和能觀測性指數(shù)集，我們有1若2如果令

3當(dāng)對該系統(tǒng)作線性非奇異變換時(shí)，都保持不變。引理4.5.3

關(guān)于系統(tǒng)為矩陣，則必成立和第五十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日推論

若，則系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件為

第五十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.6單輸入－單數(shù)出先行系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型定理4.6.1

對完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)

引入線性非奇異變換即可導(dǎo)出其

第一能控規(guī)范型為第五十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其中其中

第五十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理4.6.2

對完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng):定義:

則在線性非奇異變換第五十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日下系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)于下述第二能控規(guī)范型

其中:第五十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日這里:第五十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日完全能控，則其傳遞函數(shù)為推論4.6.1

設(shè)系統(tǒng)命題4.6.1

代數(shù)等價(jià)的單變量完全能控系統(tǒng)具有相同的第一或第二能控規(guī)范型。第五十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日例4.6.1

給定能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)為定出其特征多項(xiàng)式和常數(shù)則利用式（4.6.4）～（4.6.11），即可導(dǎo)第六十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第六十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日而其逆為于是，又可定出能控規(guī)范型中的狀態(tài)向量為第六十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其特征多項(xiàng)式如式（）所示，則在線性非奇異變換4.6.2單輸入-單輸出系統(tǒng)的

能觀測規(guī)范型定理

對完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)下，可導(dǎo)出其第一能觀規(guī)范型為:第六十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第六十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

對完全能觀測的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)

其特征多項(xiàng)式:定義:第六十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

則，在線性非奇異變換下，可導(dǎo)出其第二能觀規(guī)范型為:第六十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日例4.6.2給定能觀測的單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)先定出其特征多項(xiàng)式和常數(shù)第六十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第六十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日于是，又可定出能觀測規(guī)范型中的狀態(tài)向量為第七十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日命題

代數(shù)等價(jià)的單變量完全能觀測系統(tǒng)具有相同的第一或第二能觀規(guī)范型。命題

第一（二）能控規(guī)范型和第一（二）能觀規(guī)范型是互為對偶的。第七十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第七十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.7多輸入-多輸出線性系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型4.7.1兩種搜索方案給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為其中,為常陣；和分別為和常陣。第七十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其能控性判別陣和能觀測性判別陣分別是為了找出中的個(gè)線性無關(guān)的列（行），通?？墒褂酶駯艁磉M(jìn)行，并可有兩種搜索方案第七十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日方案1[列搜索]

對給定（Ａ,Ｂ），按

圖４.７.１所示構(gòu)成格柵圖。按列搜索

與前面線性無關(guān)列的線性相關(guān)性一直到時(shí)，搜索結(jié)束。

第七十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日方案2[行搜索]

對給定（Ａ,Ｂ），按

圖４.７.2所示構(gòu)成格柵圖。按行搜索第七十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日如果，那么中的個(gè)列是線性無關(guān)的，在第一行中從起依次找到個(gè)線性無關(guān)的向量，并搜索以下的行，直到找到個(gè)線性無關(guān)的向量為止。用表示第列中“”格的長度，那么就可以得到一個(gè)指數(shù)集合它即是系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。第七十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.7.2多輸入-多輸出系統(tǒng)的Wonham能控制規(guī)范型

[Wonham能控制規(guī)范型的求取]第一步:判斷多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)是否為完全能控,如否，則不存在能控規(guī)范型.第二步:表按前搜索方案Ｉ找出能控性矩陣的個(gè)線性無關(guān)的向量為：其中：第七十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

對完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)基于算法求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)

第三步:取變換陣為第四步:計(jì)算第七十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日具有Wonham第一能控規(guī)范型的形式其中：第八十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第八十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日算法４.７.2[Wonham第二能控制規(guī)范型的求取]第一步至第三步:同算法第四步:計(jì)算矩陣,并將其表為如下形式第八十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第五步:取矩陣的每個(gè)塊中的末行按下述方式構(gòu)造變換矩陣:第八十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第六步:計(jì)算第八十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

對完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)基于算法求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換具有Wonham第二能控規(guī)范型的形式:下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)

第八十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其中:第八十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第八十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.7.3Luenberger能控規(guī)范型

[Luenberger能控規(guī)范型的求取]第一步:判斷多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)是否為完全能控,如否，則不存在能控規(guī)范型。第二步:按搜索方案II找出其能控性矩陣為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。的個(gè)線性無關(guān)列,且將搜索結(jié)果表為:其中:第八十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第三步：依據(jù)搜索結(jié)果取變換陣為：第四步：計(jì)算第八十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

對于完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)

對其應(yīng)用算法4.7.3求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換:設(shè)其滿足下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)具有Luenberger第一能控規(guī)范型的形式

其中

第九十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第九十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日，第九十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日算法

[Luenberger第二能控規(guī)范型

的求取]

第一步至第三步:同算法第四步:計(jì)算矩陣,并將其表示為下述形式:第五步:取矩陣的每個(gè)塊中的末行按下述方式構(gòu)造變換矩陣:第九十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第六步:計(jì)算第九十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

對于完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)

對其應(yīng)用算法4.7.4求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換

設(shè)其滿足下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)具有Luenberger第二能控規(guī)范型的形式

其中

第九十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第九十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日，

第九十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日例4.7.1已知定常線性系統(tǒng)為，，求該系統(tǒng)的Luenberger第二能控標(biāo)準(zhǔn)型。

解:該系統(tǒng)的能控性矩陣為第九十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日從中按方案Ⅱ選取線性獨(dú)立列向量得矩陣容易計(jì)算第九十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日做矩陣不難計(jì)算第一百頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日于是經(jīng)簡單計(jì)算可以得出，，由矩陣決定得系統(tǒng)就是所要求得Luenberger第二能控標(biāo)準(zhǔn)型。第一百零一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.7.4線性系統(tǒng)的能觀規(guī)范型定理

考慮完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)則其Wonham第一能觀測規(guī)范型在形式上對偶于Wonham第二能控規(guī)范型，即

第一百零二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其中

第一百零三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

第一百零四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百零五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

考慮完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)則其Wonham第二能觀測規(guī)范型在形式上對偶于Wonham第一能控規(guī)范型，即第一百零六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其中

第一百零七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百零八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百零九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

，則其Luenberger第一能觀測規(guī)范型在形式上對偶于Luenberger第二能控規(guī)范型，即

定理

對于完全能觀測的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)

設(shè)其滿足第一百一十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其中

第一百一十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百一十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百一十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

，則其Luenberger第二能觀測規(guī)范型在形式上對偶于Luenberger第一能控規(guī)范型，即

定理

對于完全能觀測的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)設(shè)其滿足第一百一十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日其中

第一百一十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百一十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百一十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.8.1能控性和能觀測性在線性非奇異變換下的屬性為兩者的能觀測性矩陣。

命題4.8.1

設(shè)對進(jìn)行線性非奇異變換所導(dǎo)出的結(jié)果，即兩者之間有下述關(guān)系

其中，為非奇異常陣，從而必成立

和

其中，為兩者的能控性矩陣，

第一百一十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日命題

設(shè)的元是對的絕對連續(xù)函數(shù)，且對一切均不降秩，

記系統(tǒng)和第一百一十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日

Gram能控矩陣分別為則有

和Gram能觀矩陣分別為和和

第一百二十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.8.2線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解算法

[能控性結(jié)構(gòu)分解的求取]第一步:列寫線性定常系統(tǒng)的能控性矩陣并求出第一百二十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第二步:在能控性判別矩陣中任意選取個(gè)線性無關(guān)的列,記為。此外，在維實(shí)數(shù)空間中任意選取個(gè)列向量，記為，使得為線性無關(guān)。第三步：按下述方式組成變換矩陣第四步：計(jì)算

第一百二十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日定理

對不完全能控系統(tǒng)利用算法求得系統(tǒng)在線性非奇異變換下代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)具有下述結(jié)構(gòu)按能控性分解的規(guī)范表達(dá)式第一百二十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日維能控分狀態(tài)向量，即維不能控分狀態(tài)向量，其中，為能控；為。

第一百二十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日例4.8.1

給定線性定常系統(tǒng)已知,故只需判斷是否為行滿秩。現(xiàn)知第一百二十五頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日表明系統(tǒng)不完全能控。進(jìn)而，在中取線性無關(guān)的列和再任取，使構(gòu)成矩陣為非奇異。而通過求逆，可定出第一百二十六頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日于是可算得第一百二十七頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日這樣就導(dǎo)出了系統(tǒng)按能控性分解的表達(dá)式為第一百二十八頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百二十九頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百三十頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百三十一頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百三十二頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百三十三頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日第一百三十四頁，共一百四十九頁，2022年，8月28日4.8.3線性定常系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解算法

能觀性結(jié)構(gòu)分解的求取第一步：列寫系統(tǒng)的能觀測性判別矩陣并計(jì)算第二步：在中任意選取個(gè)線性無關(guān)的