五年級下冊數(shù)學試題五升六講義第15講 行程問題(奧數(shù)板塊)北師大版

第十五講板塊一相遇問題程=速遇時間

行程問題

和=遇間=總度和例1、

甲、乙兩輛汽車同時從東西兩地向開出，甲每小時行56千米，乙每小時行48米，兩車在離兩地中點32處相遇。問：東西兩地間的距離是多少千米？跟蹤訓1：1、

一輛汽車和一輛摩托車同時從甲乙兩地相對開出，汽車每小時行40千摩托車小時行65千米，當摩托車行到兩地中點處，與汽車還相距75千。乙兩地相距多少千？2、

張、李兩人同時從甲地出發(fā)去乙，李騎自行車每分鐘行200張步行每分鐘走80，李達乙地后立即按原路返回，當他與相遇時，張離乙地還有多遠？例2、和小張同時從甲乙兩地相對走來已知小張騎摩托車的速度是小李騎自行車速度3倍當兩人相遇時，小張比小李多行千甲、乙兩地的距離是多少千米？跟蹤訓2：李、王兩人同時從相距900、B兩對出發(fā)，已知李騎摩托的行駛速度是步行速度的8倍那么兩人相遇時，各行了多少千？1

2轎和貨車同時從甲乙兩城的中點處，向反的方向行駛時轎車到達甲城，此時貨車離乙城還有140千已知轎車的速度是貨車的2倍城相距多少千米例3

甲、乙兩車早上8時別B兩時相向發(fā)，到10時車相距112.5千兩車繼續(xù)行駛到下午1，兩車相還是千、兩間的離是多少千米？跟蹤訓3：1、甲乙同時從AB兩相向出發(fā)3時后，車還相距120千又行3時，車又相距千相距多少千米？2、甲乙分別從AB兩同時相向而行，勻速前進。如各人按原定速度前進4時相遇；如果兩人各自比原計劃少走千，5小相B兩相多千？2

板塊二追及問題差速度及時間追及問題差=路差及時間

追及時間路程差度差例1

中巴車每小時行60千車小行千同從相距千的地方開且中巴在前。幾小時后小轎車追中巴車？跟蹤訓1：兄弟二人從100米道的起點和終點同時出發(fā)，沿同一方向跑步，弟弟在前每分鐘跑120米哥在后，每分鐘跑140米幾鐘哥追弟例2

一輛汽車從甲地開往乙地，要3千開按計劃以每小45米的速度行駛，途中因汽車故障修車2時。因為按時到達乙地，修好車后必須每小時多30千。車在甲多處修車的？跟蹤訓2：、小王家離工廠3米，他每天騎車以每分鐘200米速上正好準時到工廠。有一天，出發(fā)幾分鐘后，因遇熟人停車分，為了準時到廠，后面的必須每分鐘多行100米小是離廠多遠處遇到熟人的？、一輛汽車從甲地開往地，若每小時行千8小到達。這汽車以每小時36千速度行駛一段時間后隊加油用了分了能在8小到達乙地油每小時必須多行7.2千米。加油站離乙地多少千米？3

例3

甲、乙兩人以每分鐘60的速度同時、同地、同向步行出發(fā)。15分甲返回原地取東西，而乙繼續(xù)前進。甲取東西用去5分鐘的時間，然后改騎自車以每分鐘360米的速度追乙。甲騎車少分鐘才能追上乙？跟蹤訓3：快車每小時行60千慢車每小時行40千兩車同時從甲地開往地。出發(fā)0.5小后，快車因故停下修車1.5小修好車后，快車仍用原前進，經(jīng)過幾小時才能追上慢車？例4

甲騎車、乙跑步，二人同時從同地點出發(fā)沿著長4千的形路方進晨。發(fā)10鐘便乙后追上了乙二的度每分鐘700米甲二人的速度各多少？跟蹤訓4：、爸爸和小明同時從同地點出發(fā)，沿相同方向在環(huán)形跑道上跑步。爸爸每分鐘150，小明每鐘跑，如果跑道全長米：至少經(jīng)營幾分鐘爸從小明身后追上小明？2米環(huán)形跑道上，甲、乙二人同時同地同向跑，甲每秒5米乙秒4.4。兩人起跑后的第一次相遇點在起跑線多少米？4

板塊三多人相遇問多人相遇追及問題，即在同一直上3個個的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞“路”這基本關(guān)系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化可到如下兩條關(guān)式：路程和度遇間；路程差度及時間；多人相遇與追及問題雖然較復雜但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問即可迎刃而解．例1甲A地同時乙、丙從B去地甲和乙相后分與丙相遇，知甲、乙、丙三人的速度分別是每分鐘100米分90米每鐘75米求、兩間的距離。跟蹤訓1：客車、貨車、小轎車的速度分別每小時60千50千、千，客車、貨車在，小轎車在，三車同時出發(fā)，小轎車客貨車相向而行，小轎車與客車相遇1小和貨車相，求兩地的距離。例2、乙兩車的速度分別為52米／時和40米／時，它們同時從地發(fā)地，出發(fā)后6時甲遇一迎來的卡車1時車也遇到了這輛卡車。求這輛卡車的速度。跟蹤訓2：1、

甲乙丙三人沿環(huán)形林蔭道行走，時從同一地點出發(fā)，甲、乙按順時針方向行走，丙按逆時針向行走。已知甲每小時行7千乙每小時行51時后甲、丙二人相遇，又過了分，與乙相遇，問甲、丙相遇時丙行多少千米？5

2甲、丙三輛車同時從地到地，甲、乙車的速度分別為60米／時和48千／時。有一輛迎面開來的卡車分在他們出發(fā)5時6時8時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。例3、甲、丙三人，甲每分鐘走40米丙每分鐘走60，甲、乙兩人從地時出發(fā)相向而行們15分后從B出發(fā)追趕乙后甲在中相遇7鐘甲又和丙相遇，又過了分才上乙，那么兩距多少米？跟蹤訓3：甲、乙、丙在湖邊散步，三人同從同一點出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小5.4千，速度是每小時4.2米，她們二人同方向行走，丙與們反方向行走，半個小時后甲和丙相遇，在分，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程多少？板塊四多次相遇問）非環(huán)形跑道多次相遇題：要注意“第一次相遇行的全程數(shù)”與“第二次相遇行的全數(shù)”的關(guān)系。從兩端出發(fā)的直線型多次相遇問相遇次數(shù)路程和

同一出發(fā)點的直線型多次相遇問相遇次數(shù)路程和123n

1352n1

123n

2462n注：兩個人相遇，如果沒有特殊調(diào)一般都是指兩個人的迎面相遇，而在第一種情況兩人從兩出發(fā)相向而行，他們總是在奇數(shù)全程上相遇（迎面相遇，不包括追及相遇6

例1甲人一長30米直路上來回步是每秒1米是每0.6米果他們同時分別從直路的兩端出，當他們跑了10鐘后，共相遇幾次？跟蹤訓1：A、兩距950米．甲、乙兩同時由A地往返鍛煉半小時．甲步行，分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米則、二一遇多少次？第幾次迎面相遇距B地近例2甲、乙兩車同從城相向而行，在距離城千遇，都到達對方城市后立即以原速度原路返回，又在距離A城千處相遇，兩城相距多少千米？跟蹤訓2：1、

兩輛汽車同時從東、西兩站相向出。第一次在離東站60千米的地方相遇。之后兩車繼續(xù)以原來的速度前進達車后都立即返回中點西側(cè)米處相遇多少千米？2、

甲、乙兩輛汽車同時從、地相對開出。第一次相遇時離站90千然后各按原速繼續(xù)行駛達對方車站后立即原路返回相在離A的距離占兩間的。間的路程是多少千米？7

例3、甲兩人分別從、兩同時相向而行，甲每分鐘15米，乙每分鐘走75，相遇后續(xù)前進，到達對方地點后又返回續(xù)走，他們第三次相遇與第五次相遇地點相8米求地相距多少米？跟蹤訓3：甲乙兩車分別從兩出發(fā)，在B之間不斷往返，已知甲車的速度是每小時15米，乙車的速度是每小時35千，并且甲乙兩車第三次相遇的地點與第四次相遇的地點恰相100千那么B兩之間的距離是多少千米？板塊五流水行船問在流水行船問題中，我們的參考將不再是速度為0的參系，因為水本身也是在流動的，所以這里我們必須考慮水流速度對船速度的影響，具體為：①水速=速水；②逆水=速速解差問題）由述個子們難出個用結(jié)：船=順水速度)÷2；水=順-逆速)÷2此外，對于河流中的漂浮物，我還會經(jīng)常用到一個常識性性質(zhì)，即：漂浮物速水速度。流行問中相與及①兩只船在河流中相遇問題，當、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出：甲船順水速+逆水速=（甲船速）＋（乙船-速）甲船+船船速②同樣道理，如果兩只船，同向動，一只船追上另一只船所用的時間，與水速無甲船順水速-順水速（甲船速-（速船-乙速也有：甲船逆水速船逆水速甲船-速）（-速=甲乙速說明：兩船在水中的相遇與追及題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與水沒有關(guān)系.例、甲、兩港間的水路長千，一只船從甲港開往乙港，順水時到達從乙港返回甲港，逆水小達，船在靜水中的速度和水流速度。8

跟蹤訓1：、甲、乙兩港相距360千，一輪船往返兩港需小，流行順航多了5小.現(xiàn)在有一只帆船，靜水中速度是每小時12千，只船兩港要多少小時？、船從甲地到乙地要行2，從乙地到甲地要3小，現(xiàn)有一條木筏甲地順著河漂流到乙地要幾小時？例、一走船以同樣的速度往返于甲、乙兩個港口，它順流而下行小逆流而上行10小如果水流速度是每小時千求甲、乙兩港口之間的距離。跟蹤訓2：、輪船以同一速度往返兩碼頭之間。它順流而下，行了??；逆流而上，行10時。如果水流速度是每小時3千，求兩碼頭之間的距離。、一條輪船往返于AB地之間，由A到B地順行，由B地地逆水航行。已知船在靜水中的速度是每小時，由地地了6時，由地所用的間是由A地地用的1.5倍求流度例3有乙兩船，甲船和漂流物同時由河西向東而，乙船也同時從河東向西而行。甲船行小時后與漂流物相距100千，乙船行小后流物相遇，船的劃速相同，河長多少千米？跟蹤訓3：、有兩只木排，甲木排漂流物同時由A地地行，乙木排也同時從B向前行，甲木排5時后與漂流物相距75千，木行15小后與漂流物遇，兩木排的劃速相同B兩長多少千米？9

、某人暢游長江，逆流上，在A處失只，他又向前游了20分，發(fā)丟水，返回追尋，在離處2米的地方追到他返回追尋用多少分？板塊六火車過橋問火車過橋是行程問題中一類有趣小問題。通常，在行程中所涉及的運動物體（人或車）是不慮本身長度的，但火車的長度不忽略不計?；疖囃ㄟ^大橋是指從車頭上橋到車尾離橋，也就火車運動的總路程是車長加橋長。過問題的基本數(shù)量關(guān)系：·車=長＋車長）÷通過時間·通過時=長＋車長）÷車速·橋=×通過時間－車長·車=×通過時間－橋長·這類問題經(jīng)常涉及到錯車和超:①（甲車身長＋乙車身長）÷（速＋乙速=車時間；②（甲車身長＋乙車身長）÷（速－乙速=車時間。例1:

一列火車以每分鐘600米度通過一座長2200大橋，如果火車全長200米，從車頭上橋到車尾離開大橋另一端，共需多分鐘？跟蹤訓1：、一座大橋長600米一火長米過40，這列火車秒行多少米？、一個車隊以4米秒度緩緩通過一座長200米橋共用115已知每輛車長米兩車間隔米：這車隊共有多少輛車？10

例2:

慢車車身長125米速每秒17車長140米速每22在前面行，快車在后面從追上到完全超過需多少秒？跟蹤訓2：火一長102,行20米一長120每秒行兩車同向而第一列車追及第二列車到兩車離開需要幾?步行的速度為每2米一火從開超用了10秒已火長米火車的速.例3有兩列火車，列火車長250米速度為/秒另列火車車長為120米為米。若兩車相向而行，從相遇到離開要多少秒？跟蹤訓3：、有兩列火車，一列火長米每行30米另火車長340米秒行米兩車相向而行，從相遇到離開一共需要分鐘？、客車以每秒鐘米度行對開來一列貨車，速度是每秒鐘14，從身邊經(jīng)過共了10秒鐘，問貨車的車長是多少米？11

板塊七環(huán)形跑道問：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行則每追上一圈相遇一次．這個等關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型同向：路程差相對(反：和

同一出發(fā)點nSnS

直徑兩端+0.5S例：樹小學有一條長米形跑道，小和小胖同時從起跑線起跑，小亞每秒6，小胖每秒跑4（）小亞第一次追上小時兩人各跑了多少米？（）小亞第二次追上小時兩人各跑了多少圈？跟蹤訓1：、一條環(huán)形跑道長400米甲騎自行車每分鐘騎450，乙跑步每分鐘250米人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？、奇思和妙想在操場上賽跑步，奇思每分鐘跑250米妙想每分跑210一圈跑道長800米他們同時從起點出發(fā)，那么奇思三次超過妙想需要多少分鐘？例：、一個周長為314的圓上的同一點相反的方向運動。甲每分鐘走18.84米乙每分鐘走12.56米當乙第二相遇時，甲比乙多走了多少米？12

跟蹤訓2：、一個圓形操場跑道的長是500米，兩個學生同時同地背向而行黃鶯每分鐘走66米雀每分鐘走米過幾鐘才能相?、小張和小王各以一定速度，在周長500米形跑道上跑步。王的速度是每分鐘200米張和小王同時從同一地點出發(fā)，向跑步1分后一次相遇，小張的速度是多少？例：、丙三人在一個周長300米跑道上跑步，甲每分鐘跑100米乙分米丙每分鐘跑50如果他們同時從一個地方同方向跑步，那么至少多少分鐘后三再次相遇？跟蹤訓3：、在環(huán)形跑道上AB兩相100米甲乙人別AB兩同發(fā)，按逆時針方向跑步。甲5秒，乙米/。每人每跑100米都要停10秒鐘。那么，甲追乙需要多少秒?、周老師和王老師沿著校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘55米師每分鐘走米已林蔭道周長是480米他從一點時而行。在他們第10次相遇后，王老師再走米就回到出發(fā)點。拓展知板塊八上下坡問題13

變速變道問題屬于行程中的綜合，用到了分步、分段處理等多種處理問題等解題方法。對于種分段變速問題，利用算術(shù)方法折線圖法和方程方法解題各有特點。算術(shù)方法對于運動過程的把握非細致，但必須一步一步來；折線圖則顯得非常直觀，每一次遇點的位置也易于確定；方程的優(yōu)點在于無需考慮得非常細，只需要知道變速點就可以列出等量關(guān)系式，把大量的推過程轉(zhuǎn)化成了計算．例從到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路一輛汽車上坡速度為每小千下坡速度每小時35千。甲地到乙地共用9小從乙地返回到甲地共用7.5小求去上坡路和下坡路分別為多少千米？跟蹤訓1：、從A地到B地上坡再下坡明坡速度是每小時行千下坡速度是每小30米小明往返共用小，小明爸往返用1.5小如果爸爸上坡每小時千米，那么爸爸下坡的速度是多少？1、從甲地到乙地全是山，其中上山路程是下山路程的，汽車上山速度是下山速度一半，從2甲地到乙地共用7小，這輛汽車從乙地返回甲地需要幾時？8、小華以每小時米速度登山，走到途中A后，他將速度改每小時2米，在接下的13小時中他山頂又立即下山走A點500米地方他下山的速度是每小時4米，下山比上山少用了52.5。那么，他往返共走了多少千米？例如右圖，從到B是坡路，從B到C是路，從到D上坡路。小和小王步行速度分別都是：上坡每小時4千平路每小時5千下坡每小時6千。人別兩同時出發(fā)，1相向而行，經(jīng)過1小在點，已知的離BC距的當小王到達后分小張5到達。求到全程距離。14

例甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，甲爬到山頂立即返回并與乙恰好在半山腰相遇，甲下山速度是上山速度的2倍上速度是乙上山速度的幾倍？跟蹤訓2：、甲、乙兩人同時從山開始爬山，到達山頂后就立即下山，他們兩人下山速度都是各上山速度的1.5，并甲比乙速度快，兩人出發(fā)后1小，甲與乙在離山頂600米遇當乙到達山頂時，甲恰好到半山腰。那么甲從山腳出到回到山腳共用多少小時？、某人爬山鍛煉身體，從山腳爬到山頂后，立即按原路返回山腳，共用40分如果把整個上、下山過程按時間順序分四段。每40分，在第四個分第一個40分走了1.6米，三個40分比二分走了0.8千那么此人上山速度是每小時多少千？板塊九發(fā)車問題間隔發(fā)車問題，只靠空間理想象稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助，但是一旦掌握了3個基本方法，一般問題都可以迎而解。①汽車間=車速+人速度）×相遇事件時間間隔②汽車間=車速人速度）×追及事件時間隔③汽車間=速度×汽車發(fā)車時間間隔例一條電車線路的點站和終點站分別是甲站和乙站，每5分一輛電從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走分．一人乙出沿車騎車前往甲站．他出發(fā)的時，恰好有一輛電車到達乙站上他又遇到了10迎面開來的電車甲站時又有一輛車從甲站開出他從乙站到甲站用了多少分鐘？15

跟蹤訓1：、、是共汽車的兩個車站，從A站站坡路。天上午8到11點從A，B兩每隔30同時相向發(fā)出輛公共汽車知A到B站需105分B站單需80（）：、9：00A站車司機分別能看到幾輛從站來的汽車？（）從A站車的司機最少能看到幾輛從開來的汽車？、小紅在環(huán)形公路上行，每6分可以看見一輛公共汽車迎面開來，每9分有一輛公共汽車從背后超過她。如果小紅步的速度和公共汽車的速度各自都保持一定，而汽車站每隔相的時間向相反的方向各發(fā)一輛公共汽，那么汽車站發(fā)車的間隔時間是多例：人沿著電車道旁的便道以每小

4.5

千米的速度步行，每

7.2

分鐘有一輛電車迎面開過，每分鐘有一輛電車從后面追過，如電車按相等的時間間隔以同一速度不停地往返運行．問：電的速度是多少？電車之間的時間間隔多少？跟蹤訓2：以勻速行走在一條路公前后兩端隔相同的時間發(fā)一輛公共汽.現(xiàn)每隔15分有一輛公共汽車追上他10有一輛公共汽車迎面駛來擦身而問公共汽車每隔多少分鐘發(fā)車一輛?16

、小明放學后，沿某路共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度停地運行。每隔分有輛共汽車從后面超過他，每20分遇到迎面開的一輛公共汽車。問路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車例一條公路上個騎車人和一個行人車度是步行人速度的3倍隔6有一輛公共汽車超過步行人隔10分有公共汽車超過騎車人果汽車始發(fā)發(fā)車的時間間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發(fā)一公共汽車？跟蹤訓3：、一條街上，一個騎車與一個步行人同向而行，騎車人的速度是步行人速度的3倍隔10分鐘有一輛公共汽車超過行人隔20分有一輛公共汽車超過騎車人果汽車始發(fā)站每次間隔同樣的時間發(fā)一輛車，那么間隔少分鐘發(fā)一輛公共汽車？2、車總站每隔一定間開出一輛電車．甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向行走．每隔分鐘遇上一輛迎面開來的電車每15分遇迎開的輛車甲度是乙的速度3倍那么電車總站每隔多少分鐘開出輛電車？17

板塊十獵狗追兔：問敘：子動作快、步子??；獵狗動作慢、步子大。通常我們遇的行程問題給的路程都是通用單位：米或千米等，但這類題中步與兔步是不一樣的單位，解題關(guān)鍵在于統(tǒng)一單位，然后利追及問題公式“路程差÷速度=及時間”求。單的一在獵狗追兔的問題中狗步與兔步之間在距離上有一定關(guān)系。例：追趕前方15米野獵狗跑3步的時間野兔跑5步獵步離野兔要跑7.獵狗至少跑出多少米才能追上野?跟蹤訓：、一只野兔逃出步獵才它野跑的路程獵狗只需跑3，獵狗跑4步的時間兔子能跑步狗至少要跑多步才能追上野兔？現(xiàn)在離它9步的前方有一只奔跑的兔立趕,獵犬步子它5路兔子跑9,但兔子動作獵犬跑步時兔跑3獵至少跑多少才能追上兔?課作1.蝸一個枯井上爬，白天向上爬厘夜里向下滑40厘若要第6的白天爬到井口，這口井最多深厘2.張開車去送，在起點處他看見路邊的里程碑上的兩位數(shù)為，小后他見里程碑上的兩位數(shù)為：，1小時，看見里程碑上的數(shù)為一三位數(shù)，且恰好是第一個里程碑上的兩位數(shù)中間加上一個0km。張師傅的車速為每小時

千米。3.一度為每小72千汽車，向正前方向的一個回音壁駛?cè)?，?.5才聽到回聲，已知聲音在空氣中的速度是每秒340米，聽回聲時汽車離回音壁還有多遠？18

4.甲、丙、丁人從同一地點出發(fā)都去某地，甲先走了一段時間，然后乙、丙丁三人一起同時出發(fā)，經(jīng)過6小，乙追上甲；經(jīng)過9時后，追上甲；經(jīng)過12小，丁追上甲。已知乙每小時行千丙每時行23千那么丁每小時行多少千米？5.8：00客、貨車兩車同時甲、乙兩地相向而行12：兩相遇，貨車到達甲地的時間是：，客車到達乙地時間是多少？6.電子貓在周長240米環(huán)跑跑一圈，前一半的時間每跑5，后一半時間每跑3米電子貓跑前120時用了7.一隊以4的速度緩慢通過一座長200的大橋，共用115秒知每輛車長5，兩車間隔米這隊共有多少兩輛車？8.學校組織同學旅，旅游車出發(fā)后，小小因故遲到，他攔截了一輛“的士”追趕士”司機告訴小?。喝裘啃r行80千米，則需要1分追上；若每小時行米，42分就追。根據(jù)“的士”司機的估計，求旅車的速度是每小時多少千米？559.一車從甲地乙地，小了150米，正好行了全的，照這樣計算，這輛汽車行完全36程共用多少小時？19

10.某人從地去乙地再返回甲地比前一天多走a千果時用了5天來了4那么甲、乙兩地的距離是千11.野海飛往北海需要7天北飛南需9天它時分別從南海起大約要相遇12.一的速度是每小時90千，通過一座長888米橋，從火頭上橋到車尾離橋，一共用了長秒么這火車長米

甲乙兩地相距13.7米，他們相向而行。甲每小時行4.8千，乙每小時行4