2021屆全國I卷高三二輪聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)（文）試題

/17/17/2021屆全國I卷高三二輪聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合,即得解.【詳解】所以，故選：C2．已知為銳角，且，則（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】用誘導(dǎo)公式和二倍角公式變形，然后可解得，注意角的范圍即可．【詳解】為銳角，則，，因為，所以，解得，或舍，故選：3．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉被認(rèn)為是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)了歐拉公式，它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．特別是當(dāng)時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，這個恒等式將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位1和數(shù)字0）聯(lián)系到了一起，若表示的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，則可以為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將選項中所給的角逐一帶入，由歐拉公式把復(fù)數(shù)化為三角形式，再化為代數(shù)形式，即可判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第幾象限，從而得到結(jié)果.【詳解】得，當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限；當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限；當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在軸上；當(dāng)時，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限；故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)學(xué)文化類問題，正確解題的關(guān)鍵是理解歐拉公式，并能將復(fù)數(shù)三角形式熟練化為代數(shù)形式，確定出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點.4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，進而得到，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列的公差不為零，且滿足，可得，即，所以.故選：A.5．如圖正方形的邊長為2，設(shè)是所在邊的中點，中心為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)量積公式，逐一計算，即可得答案.【詳解】，，，，所以．故選：D．6．已知直線被中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線所截得的線段長為6，被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先判斷焦點位置，再利用當(dāng)時，，當(dāng)時，，即解方程組求解【詳解】由直線被雙曲線截得的線段長為6，被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，可得雙曲線的焦點在軸上，不妨設(shè)雙曲線方程為，直線被雙曲線截得的線段長為6，所以當(dāng)時，，①由雙曲線的漸近線方程為，直線被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，所以對于，當(dāng)時，，即，②由①②解得，故雙曲線方程為，故選：．7．下圖是2020年我國居民消費價格月度漲跌幅度圖(來源于國家統(tǒng)計局網(wǎng)站)下列說法錯誤的是（）A．1~12月月度同比的平均值為2.55B．1~12月月度環(huán)比的平均值為負(fù)數(shù)C．1~12月月度同比整體為下降趨勢D．1~12月月度環(huán)比的方差大于月度同比的方差【答案】D【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)計算平均數(shù)，然后判斷A和B；根據(jù)圖表數(shù)據(jù)的變化趨勢判斷C和D.【詳解】同比平均數(shù)：，環(huán)比平均數(shù)：，1-12月月度同比的平均值為，選項A正確；1~12月月度環(huán)比的平均值為，選項B正確；觀察圖表可以得出，1~12月月度同比整體為下降趨勢，選項C正確；1~12月月度環(huán)比的波動小于月度同比的波動，選項D錯誤．故選：D．8．圓錐的高為1，體積為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】首先根據(jù)題意，確定出圓錐的底面圓半徑和母線長，從而確定出軸截面的頂角，結(jié)合三角形的面積公式可確定其為直角三角形時面積最大.【詳解】圓錐的高為1，體積為，則底面圓的半徑為，母線長為2，軸截面的頂角為，當(dāng)截面為直角三角形時，過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積最大，最大值為，故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)過圓錐定點截面面積的最值問題，正確解題的關(guān)鍵是要明確圓錐軸截面頂角的大小以及三角形面積公式.9．已知函數(shù)，定義域為的函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷的奇偶性，再根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性計算可得；【詳解】由得的圖象關(guān)于對稱，因為，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，即也關(guān)于對稱，則函數(shù)與圖象的交點關(guān)于對稱，則不妨設(shè)關(guān)于點對稱的坐標(biāo)為，則，則，即，故選：．10．函數(shù)，若不等式對恒成立，則的最小正值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得轉(zhuǎn)化條件為是函數(shù)的最小值，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，不等式對恒成立，是函數(shù)的最小值，當(dāng)時，的最小正值為．故選：D.11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個點滿足：過點作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實數(shù)m的值為（）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【分析】根據(jù)四邊形PMCN為正方形可得，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為可求得結(jié)果.【詳解】由可知圓心，半徑為，因為四邊形PMCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，所以直線：上有且只有一個點，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或（舍）.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：將題意轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為是解題關(guān)鍵.12．已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式、比較法進行判斷即可.【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，因為，故所以，則故選：【點睛】方法點睛：對于判斷函數(shù)值大小問題一般從判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性入手.二、填空題13．若實數(shù)滿足則點構(gòu)成的集合為__________．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，分別令、和，分析即可得答案.【詳解】適合條件的所有正整數(shù)解是：令，可得；令，可得；令，可得．綜上可得所有正整數(shù)解是．故答案為：14．寫出一個值域為的奇函數(shù)__________．【答案】（答案不唯一）【分析】由題設(shè)限定條件奇函數(shù)和有界性，利用熟悉的函數(shù)來構(gòu)造.【詳解】因是奇函數(shù)，可選用，而的值域為[-1,1]，要值域為[?2,2]，可用.故答案為：(答案不唯一).15．詞語“鱉膈”等出現(xiàn)自我國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉膳”，如圖，三棱錐是一個鱉，其中，三棱錐的接球的表面積為12，，則三棱錐的體積的最大值為__________．【答案】【分析】先求出三棱錐的外接球的半徑為再證明為三棱錐的外接球的直徑，由題意得到，利用基本不等式得到，即可求出三棱錐的體積的最大值.【詳解】由題意，三棱錐的外接球的表面積為，即，則三棱錐的外接球的半徑為因為,所以面BCD，所以BD.同理可證：.所以為三棱錐的外接球的直徑.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以三棱錐的體積的最大值為故答案為：三、雙空題16．形如都是正整數(shù)，，且的最大公因數(shù)為1的數(shù)叫真分?jǐn)?shù)，數(shù)列是由所有滿足時的真分?jǐn)?shù)構(gòu)成的，且是遞增數(shù)列，則數(shù)列共有__________項，__________．．【答案】17【分析】根據(jù)數(shù)列的定義，確定分母為的真分?jǐn)?shù)的個數(shù)后可得項數(shù)，按大小排序后得計算和即得．【詳解】時，所有真分?jǐn)?shù)構(gòu)從小到大的順序為，，所以故答案為：17；．四、解答題17．已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為且；（1）求角；（2）如圖，邊的垂直平分線交于，交邊于，求長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理得，化簡計算即可求得結(jié)果；（2）由已知可得，在中，由正弦定理可求得，在中，由計算即可求得結(jié)果.【詳解】（1），由正弦定理得，則，即，又是銳角三角形的內(nèi)角，故（2）是等腰三角形，且是一個底角，故為的中點，則，在中，，由正弦定理得，故，故在中，．18．如圖，圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為為圓臺的母線，平面平面為的中點，為上的任意一點．（1）證明：；（2）當(dāng)點為線段的中點時，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）取中點，連接，由題意可得為正三角形，則可得為中點，所以，再由已知可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得；（2）連接，當(dāng)點為線段的中點時，則，求出的面積即可得答案【詳解】（1）證明：取中點，連接，因為圓臺的下底面半徑為2，上底面半徑為1，，所以，又因為，所以為正三角形，于是，．因為為中點，所以，因為平面平面，所以平面平面，所以，又因為，所以平面，又因為平面，所以．（2）連接，當(dāng)點為線段的中點時，的面積為．三棱錐的體積19．某高科技研發(fā)公司生產(chǎn)某種過濾材料，該過濾材料主要質(zhì)量指標(biāo)是對直徑為的漂浮固體顆粒的過濾效率達到0.95以上．當(dāng)前市場供應(yīng)緊缺．該公司要擴大產(chǎn)能，在原來A生產(chǎn)線的基礎(chǔ)上，增設(shè)B生產(chǎn)線，為了監(jiān)控該過濾材料生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天需要從兩條生產(chǎn)線上分別隨機抽取該過濾材料檢測過濾效率公司規(guī)定過濾效率大于0.970的產(chǎn)品為一等品，并根據(jù)檢驗員抽測產(chǎn)品中一等品的數(shù)量對兩條生產(chǎn)線進行評價，下面是檢驗員某一天抽取的20個該過濾材料的過濾效率值：生產(chǎn)線過濾效率序號12345678910過濾效率生產(chǎn)線過濾效率序號12345678910過濾效率（1）根據(jù)檢驗員抽測的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為生產(chǎn)線與所生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品有關(guān)？生產(chǎn)線產(chǎn)品是一等品產(chǎn)品不是一等品總計總計（2）在這20件產(chǎn)品中，從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取1件，求恰有一件為一等品的概率．附，其中【答案】（1）填表見解析；有；（2）．【分析】（1）依題意完善列聯(lián)表，計算的值，再與參考數(shù)據(jù)比較即可判斷；（2）依題意計算出基本事件總數(shù)，以及符合條件的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得列聯(lián)表如下：生產(chǎn)線產(chǎn)品是一等品產(chǎn)品不是一等品總計46109110總計13720則，所以有的把握認(rèn)為生產(chǎn)線與所生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品有關(guān)．（2）在這20件產(chǎn)品中，生產(chǎn)線生產(chǎn)的10件產(chǎn)品為中，有4件一等品，件不是一等品，生產(chǎn)線生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中，有9件一等品，件不是一等品，所以從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取1件，共種取法，其中恰有一件一等品共有種，所以恰有一件為一等品的概率．20．函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．附：【答案】（1）；（2）．【分析】（1）當(dāng)時，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進而寫出曲線在處的切線方程為，化簡即可得出答案；（2）對任意的，，都有恒成立，即恒成立，令，只需，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，得出切點，因為，所以切線的斜率為（3），所以曲線在處的切線方程為，化簡得．（2）對任意的，都有恒成立即恒成立，令．①當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增時符合條件．②當(dāng)時，由，及，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．，這與相矛盾，應(yīng)舍去．綜上可知，，所以的取值范圍為，．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.21．橢圓的左?布焦點分別為，直線過和橢圓交于兩點，當(dāng)直線軸時，．（1）求橢圓的方程；（2）若，且，設(shè)線段的中點為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意建立方程求出a,b,c，即可求解；（2）驗證斜率為0時不符合題意，當(dāng)斜率不為0時，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理可求，由向量化簡，并結(jié)合條件，且求解.【詳解】由題意得：，所以，解得橢圓的方程；（2）①當(dāng)直線的斜率為0時，不滿足②設(shè)直線，聯(lián)立，得則，中邊上的中線長為令則，得，由，得，，中邊上中線長的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用直線與橢圓聯(lián)立，及韋達定理與，換元后得出，由，求t的取值范圍，是解題的關(guān)鍵與難點，屬于難題.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是是參數(shù))．在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線．（1）當(dāng)時，請判斷直線與曲線的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時，若直線與曲線相交于兩點，設(shè)，且||，求直線的傾斜角．【答案】（1）直線與曲線相切；（2）或．【分析】（1）將已知極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ，進行等價轉(zhuǎn)化，然后利用極直互化公式化為直角坐標(biāo)方程，并配方得到標(biāo)準(zhǔn)形式，得到曲線的屬性；將直線的參數(shù)方程消參得到普通方程，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，與半徑比較大小，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系中的條件得到直線l與曲線C的關(guān)系;（2）寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，化簡得到關(guān)于t的一元二次方程，利用韋達定理判別式，結(jié)合直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義，得到關(guān)于傾斜角的三角函數(shù)的方程，求解即得傾斜角的值.【詳解】（1）由，得，又，曲線的直角坐標(biāo)方程為，所以曲線是以點為圓心，2為半徑的圓．由直線的參數(shù)方程為得直線的直角坐標(biāo)方程為．由圓心到直線的距離，可知直線與曲線相切；（2）由題意可得直線是經(jīng)過點，傾斜角為的直線，將代入，整理得設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以異號．則||，所以．又，所以直線的傾斜角為或．【點睛】本題考查極直互化，參普互化問題，考查直線的參數(shù)方程的幾何意義及其應(yīng)用，屬中檔題，關(guān)鍵是第一步極直互化時要先兩邊同乘以ρ，進行等價轉(zhuǎn)化，以便為化為直角坐標(biāo)方程創(chuàng)造條