2021年全國統(tǒng)一新高考數(shù)學(xué)試卷(新高考Ⅱ卷)【轉(zhuǎn)發(fā)請注明來源】

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考口卷）一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的?2-11?復(fù)數(shù)市在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）D.第四象限)D.{1,3}第一象限B.D.第四象限)D.{1,3}2.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4}，則(A.{3}B.{1,6}C.{5,6}3.若拋物線y2=2pXp>0)的焦點到直線y=x+l的距離為?,則P=()A.1B.2C.2a/2D.4北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑/?為6400km的球,其上點/的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為&,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為TOC\o"1-5"\h\zS=2加；（1-cosa）（單位:km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）A.26%B.34%C.42%D.50%正四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）A.20+12>/3B.28>/2C.yD.空豐某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10b）,下列結(jié)論中不正確的是（）b越小,該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大b越小，該物理量在一次測量中大于10概率為0.5b越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等b越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等TOC\o"1-5"\h\z已知d=lo&2,b=log83,c=|，則下列判斷正確的是（）A.c<b<ciB.b<ci<cC.a<c<bD.a<b<c已知函數(shù)/（x）的定義域為R,/（x+2）為偶函數(shù)，/（2x+l）為奇函數(shù)，則（）A./=0B./（-1）=0C.于（2）=0D./（4）=0二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分?在每小題給岀的選項中,有多項符合題目要求?全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本…,x”的離散程度的是（）A.樣本心吃,…，兀的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本…,x”的中位數(shù)樣本毎,吃，…,兀的極差D.樣本心卞,…，兀的平均數(shù)如圖,在正方體中,O為底面的中心，P為所在棱的中點，M,/V為正方體的頂點.則滿足MV丄OP的是（）

已知直線+—F=0與圓C:x2+y2=r2，點A(a.b)，則下列說法正確的是()A.若點力在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點2在圓C內(nèi)，則直線/與圓6■相離C.若點力圓C外，則直線/與圓6■相離D.若點力在直線/上,則直線/與圓C相切?+d設(shè)正整數(shù)”=心?2°+勺?2+…+Et?2E+%2*，其中a.e｛O,l｝，記埶町二^+耳+…+絞.?+dB.fi?(2n+3)=6?(n)+lD.6>(2"-1)=”B.fi?(2n+3)=6?(n)+lD.6>(2"-1)=”C.co(Sn+5)=a)(4n+3)三?填空題：本題共4小題f每小題5分?共20分.22已知雙曲線+卡=l(a>0,b>0)的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為TOC\o"1-5"\h\z寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):.①f(XlX2)=fMf(X2)；②當(dāng)XG(0，S時,f'(x)>0；(Df(x)是奇函數(shù).已知向量a+b+c=6,a=1,卩|=同=2,c"+厶.c+c?q=?已知函數(shù)幾力=|『_］帆<0宀>0,函數(shù)/⑴的圖象在點Ag,/(xJ)和點^(x2,/(x2))的兩條IamI切線互相垂直,且分別交p軸于/V兩點，則「討取值范圍是.0VI四、解答題：本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步g記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛?｝的前/?項和，若①=：衛(wèi)屮4=S4.(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式暫；(2)求使S”>色成立的門的最小值.18.在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為“、b、c,b=a+l,c=a+2..(1)若2smC=3smA,求△A3C的面積;(2)是否存在正整數(shù)。,使得△ABC為鈍角三角形?若存在,求出a的值；若不存在,說明理由.19.在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,=04=JI0C=3.BC(1)證明：平面丄平面ABCD;(2)求二面角B-QD-A平面角的余弦值.已知橢圓C的方程為匚+買=l@〉b>0),右焦點為尸(Q0),且離心率為@.a~b~3(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)/V是橢圓C上的兩點，直線MV與曲線P+y2=b\x>0)相切?證明：M,/V,尸三點共線的充要條件是|MN|=*.—種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)才表示1個微生物個體繁殖下一代的他，P(X=/)=p,(/=0,l,2,3).(1)已知Po=0-4,pY=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X);(2股Q表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕概率Q是關(guān)于x的方程:p。+p.x+p2x2+幾丘=x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)<1時，p=l，當(dāng)E(X)>1時，p<l;(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義?已知函數(shù)f(x)=(x-l)ex-ax2+b.討論/⑴的單調(diào)性；從下面兩個條件中選一個,證明：『⑴有一個零點1?—<a<—./?>2a;22@0<a<^,b<2a.2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考全國口卷）參考答案與試題解析一?選擇題：本題共12小題f每小題5分?共60分?在每小題給岀的四個選項中f只有一項是符合題目要求的?2-11.復(fù)數(shù)廠〒在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）1-31D.第四象限A.第一象限B.第二象限C.D.第四象限2-i【思路分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡r，從而可求對應(yīng)的點的位置.11]11]2^2Jr【解析】：—=（2~1）（1+31）=^=—,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為&二1-3110該點在第一象限，故選：A.設(shè)集合》={1,2,3,4,5、1-3110該點在第一象限，故選：A.設(shè)集合》={1,2,3,4,5、6}"={1,3,6}、3={2,3,4},貝（）A.{3}B.{1,6}C.{5,6}【思路分析】根據(jù)交集、補集的定義可求Ac（（；.B）.【解析】：由題設(shè)可得二{1,5,6},故Ac（￡B）={l,6}，故選：B.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點到直線y=的距離為血，則廠（A.1B.2C.2邁D.{1,3}）D.4【思路分析］首先確定拋物線的焦點坐標(biāo),然后結(jié)合點到直線距離公式可得〃的值.【解析】：拋物線的焦點坐標(biāo)為￡,o］,【解析】：拋物線的焦點坐標(biāo)為￡,o］,其到直線x-y+l=0的距離:\L丿2Vi+Tp=2（p=-6舍去）故選:B.北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果?在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑/?為6400km的球,其上點Z的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為心,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為TOC\o"1-5"\h\zS=2加；（1-cosa）（單位:km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）A.26%B.34%C.42%D.50%［思路分析］由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【解析】：由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：164002;?■尸（l—cosa）_l—cosG_—6400+36000?°仁―42%?故選:C-4兀尸~2~2~°正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）A.20+125/3B.28>/2C.yD.今2［思路分析］由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積,再由棱臺的體積公式即可得解.【解析】：作出圖形,連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,所以該棱臺的高〃=。22_（2羽-邁丫=V2,下底面面積5=16,上底面面積二=4,所以該棱臺的體積卩=杯（\+二+應(yīng)?）=卜血x（16+4+屈）=豐血.故選：D.6.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布W（10,b‘），下列結(jié)論中不正確的是（）b越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大b越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5b越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等b越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等［思路分析］由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.【解析】：對于A心為數(shù)據(jù)的方差，所以b越小，數(shù)據(jù)在“=10附近越集中，所以測量結(jié)果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5'故B正確；對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D,因為該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9,10.0）的概率與落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在（9.9,10.2）的概率與落在（10,10.3）的概率不同，故D錯誤.故選:D.已知d=lo&2,b=log83,c=|，則下列判斷正確的是（）A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<hD.a<b<c【思路分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較Jb與c的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【解析】：ci=log52<log5>/5=^-=logs2V2<logs3=b,即avc<b.故選:C.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,/（x+2）為偶函數(shù)，/（2x+l）為奇函數(shù)，則（）A./=0B./（-1）=0C./（2）=0D./（4）=0【思路分析】推導(dǎo)出函數(shù)/（刃是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得岀/（1）=0,結(jié)合已知條件可得岀結(jié)論.【解析】:因為函數(shù)/（-v+2）為偶函數(shù),則f（2+x）=f（2-x）,可得/（x+3）=/（l-x）,因為函數(shù)/（2x+l）為奇函數(shù)，則f（l-2x）=-f（2x+l），所以,f（l-x）=-f（x+l）,

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)F(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，則F(0)=/(1)=0,故/(-1)=-/(1)=0,其它三個迦頁未知.故選：B.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分?在每小題給岀的選項中,有多項符合題目要求?全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分?下列統(tǒng)計量中，能度量樣本坷￡,…，兀的離散程度的是()A.樣本塢人,￡的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本心丕,…,兀的中位數(shù)C.樣本兀,丕,…,兀的極差D.樣本小耳,.?.,￡的平均數(shù)【思路分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，明陛是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.［解析】：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知,標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知,極差考查的是婁的離散程度;由極差的定義可知,極差考查的是婁的離散程度;由平均數(shù)的定義可知,平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC如圖,在正方體中,O為底面的中心，P為所在棱的中點，M,/V為正方體的頂點.則滿足MN丄OP的是()【思路分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【解析】：設(shè)正方體的棱長為2,對于A，如圖(1)所示，連接4C,則MN//AC,故ZPOC(或其補角)為異面直線OP,MN所成的角,匹角三角形。PC,oc=QCP=1,故ZPOC=”琴.故MTV丄OP不成立f故A錯誤.(或者易得OP在上底面的射影為MN,故MN丄OP不成立)

對于B,如圖（2）所示，取NT的中點為0，連接，0Q，則O0丄ATzPQ丄MNf由正方體SBCM—NAZZT可得SN丄平面ANDT,而O0u平面ANDT,故SN丄O0，而SNRMN=N，故O0丄平面SA7M,又AWu平面SATO/,OQLMN，而OQQPQ=Q,所以伽丄平面OP0,而POU平面OP0,故MV丄OP,故B正確?對于C,如圖（3）,連接3Dz則加//MNz由B的判斷可得OP丄3D,故OP丄MN，故C正確.圖（圖（3）T對于D,如圖（4）,取4Q的中點0,AF的中點K,連接AC,PQ,OQ,PK、OK,貝0AC//MN,因為DP=PC,故PQf/AC,故PQHMN,所以ZQPO或其補角為異面直線PO、MN所成的角，因為正方體的棱長為2,故P0==JI,OQ=yjAO2+AQ2=Jl+2=,PO=^PK2+OK2=74+T=V5,QO-<PQ2+OP-,故ZQP°不是直角,故PO、MN不垂直,故D錯誤?故選:BC已知直線/：處+紗一尸=0與圓C:x2+y2=r，點，則下列說法正確的是（）A.若點力在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點力在圓C內(nèi)，則直線/與圓6?相離C.若點力在圓C外，則直線/與圓。相離D.若點力在直線/上,則直線/與圓C相切【思路分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為a2^h\r2的大小關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【解析】：圓心c（o,o）到直線/的距離d=［、,&廠+/r若點A（a,b）在圓C上，則a2+b2=r2，所以d=/【，=|廠|,yja?+lr則直線/與圓C相切，故A正確；若點A（a,b）在圓C內(nèi),則a2+b2<r2,所以d=/【，>|廠|,\!a■十tr則直線/與圓C相離，故B正確；若點人仏?在圓C外，則a2+b2>r，所以d=~^==<\r\,yjcr+/?"則直線/與圓C相交，故C錯誤；若點A@e）在直線/上,則/+b2-r=0即/+戻=r2,所以d=■7=|r|,直線/與圓U相切，故D正確.故選：ABD.>Ja2+b2設(shè)正整數(shù)”=%2°+"2+???+%「2"1+%2“，其中qw{O,l}，記埶町=綣+4+…+絞.則A.co（2n）=a）｛n）C.颯8料+5）=颯4n+3）［思路分析］利用鞏〃）的定義可判斷ACD選項的正誤,利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【解析】：對于A選項，6y（〃）=c/o+q+???+c“，2/?=?21+?22+???+ak_Y-2k+cik-2A+1,所以，血⑵?）=+q+???+ak=co{n）,A選項正確;對于B選項,取〃二2,2/i+3=7=1-2°+1-21+1-22,"（7）=3,而2=0-2°+121,則力（2）=1,即q（7）h吠2）+1,B選項錯誤；對于C選項,8"+5=a。?2’+珂?2°+???+色?2"'+5=1?2°+1?2’+a。?2’+珂?2°+???+$?2?,所以，<i?（8"+5）=2+c/°+qak,4“+3=兔?2'+32'+???+線?2心+3=1?2°+1?21+。0?2'+"2'+???+@?2用，所以，埶4〃+3）=2+ao+q+???+c”，因此，q（8〃+5）=<y（4n+3）,C選項正確；對于D迦頁，2”一1=2。+21+.?.+2"-1，故血（2”—1）=〃,D選項正確.她:ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.2213.已知雙曲線二—啓=1（°>0,b>0）的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為crb"【思路分析】由雙曲線離心率公式可得.=3，再由漸近線方程即可得解.（T22【解析】：因為雙曲線4-7T=>0上>0）的離心率為2,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=土屈.故答案為：y=土羽x.【歸納總結(jié)】本題考查了雙曲線離心率的應(yīng)用及漸近線的求解，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/（%）：.①/（心丫2）=/（不）/（花）；②當(dāng)XG（0,+oO）時,f（x）>0；@）f（x）是奇函數(shù).【思路分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可得所求的f（x）.【解析】：取f（x）=x4,則/（X宀,滿足①，廣（x）=4f,x>0時有f（x）>o,滿足②，廣（X）=4f的定義域為R,又廣（―x）=—4+=-f\x）,故廣（X）是奇函數(shù),滿足③.故答案為：f（x）=x4（答案不唯一，/⑴=亍”（/?gnJ均滿足）【歸納總結(jié)］熟悉常見基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)有利于進(jìn)行構(gòu)造.【思路分析］由已知可得@+厶+丁=0，展開化簡后可得結(jié)果.

【解析】：由已知可得(a+5+c)=a~+b~+c+2(a+B?c+c?a)=9+2(d?怡+5?c+c?d)=0,因此,a?b+b?c+c?d=一一?故答案為:一二.【歸納總結(jié)】三個數(shù)的完全平方的式子要熟悉.16.已知函數(shù)/(x)=fT，X]<0宀>0,函數(shù)/⑴的圖象在點Ag,/(xJ)和點^(x2,/(x2))的兩條IamI切線互相垂直，且分別交p軸于/V兩點，則「討取值范圍是.\醐\【思路分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得Ai+X2=0,結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得|AM|=JV|xJ,|BN|=J1+嚴(yán)任|，化簡即可得解.【解析】：解法一:由題意,/W=【解析】：解法一:由題意,/W=|"-1|=<ex-l,x>0t則廣(x)n-e\x<0e\x>0\AM\_Jl+才勺?|兀|\AM\_Jl+才勺?|兀||BN|J1+嚴(yán).|xj=譏(0,1)?解法二:(浙江王海雷補解)由題/W=e"-1,x>0一e”+1,xv0'所以點心,1-滬)和點3(?嚴(yán)-1),kAM=-e\kBN=ex\所以一^=-l,x1+x2=0,所以AM:y-l+eh=一護(x-xj.M(0,eXixL-eXl+1)z所以|AM|=Jxf+(e'1x1)~=Jl+戶?聞,同理=Jl+f’E?|x,|,所以故答案為：0J故忍“=-e"9k?=ez9又AM丄AN=>kAM?/(an=-eVl+A：=一1,得珀+“=0,如圖易得AAEMs△BFN,且有|^|=\OE\,所以冬=罔=罔—￡\BN\\BF\\OE\而0<tanZAOE<e°=l,所以霧e(O,l).故填：(0,1).\BN\【歸納總結(jié)】解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件召+耳=0,消去f變量后,運算即可得解.四、解答題：本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步g17.記s”是公差不為0的等差數(shù)列｛?｝的前77項和，若①=：衛(wèi)屮4=S4.(1)求數(shù)列匕｝的通項公式暫;(2)求使S”>色成立的門的最小值?【思路分析](1)由題意首先求得碼的值,然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【解析】：⑴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:=5①，則：。嚴(yán)5殆,二4=0,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有：64=仏一力）仏+〃）=—滬，S4=al+a2+ai+a4=（偽一加）+（q一〃）+。3+（?一〃）=一2〃,從而：-十=-2d,由于公差不為零，故：d=2,數(shù)列的通項公式為：陽=厲+02-3）〃=2〃—6.⑵由數(shù)列的通項公式可得：?=2-6=-4,則：s?=hx（-4）+x2=n2-6n,則不等式S”>a”即：n2-5n>2n-6,整理可得：（〃一1）（〃一6）>0,解得:〃<1或“>6,又“為正整數(shù),故〃的最小值為7.［歸納總結(jié)］等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.18.在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為“、b、c,b=a+l,c=a+2..（1）若2smC=3smA,求△A3C的面積;（2）是否存在正整數(shù)。,使得△ABC為鈍角三角形?若存在,求出Q的值；若不存在,說明理由.【思路分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a,結(jié)合已知條件求出a的值，進(jìn)一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知,角C為鈍角,由cosCvO結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)°的值.【解析】：（1）因為2sinC=3sin4,則2c=2（a+2）=3a，則a=4,故b=5,c=6,（2）顯然c>（2）顯然c>b>o,若^ABC為鈍角三角形,則C為鈍角，解得一1V。<3,則0<?<3,由三角形三邊關(guān)系可得d+c/+l>c/+2,可得。>1,vr/eZ,故d二2.19.在四^Q-ABCD中，底面4BCD是正方形，若AD=2,QD=QA=怎、QC=3.BC（1）證明：平面丄平面ABCD;（2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【思路分析】（1）取4D的中點為0,連接QO.CO,可證0O丄平面ABCD.從而得到面04D丄面ABCD.（2）在平面ABCD內(nèi)，過0作OT//CD，交BC于T,則OT丄AD,建如圖所示的空間坐標(biāo)系,求出平面04D、平面的法向量后可求二面角的余弦值.因為0A=0D,OA=OD,則0O丄AD,^AD=ZQA=y[S.故00=^/^=2.在正方形ABCD中,因為AD=2,故DO=1,故C0=,因為0C=3,故g=Q02+0C‘，故aQOC為直角三角形且0O丄OC,因為OCC\AD=O,故0O丄平面ABCD,因為QOu平面@4￡>,故平面?4D丄平面ABCD.(2)解法一:在平面ABCD內(nèi)，過0作OT//CD,交BC于T,則OT丄AD,結(jié)合(1)中的0。丄平面4BCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則￡)(0,1,0),0(0,0,2),3(2,-1,0),故呢=(-2,1,2),麗=(-2,2,0).設(shè)平面0FD的法向量/i=(x,y,z),,取x=l,貝!Jy=1,i耳?BQ=Of-2.r+y+2z,取x=l,貝!Jy=1,i故23.D5y=±23.D5y=±X2.[—+=13“而平面04D的法向量為不=(1,0,0),故cos〈g)=u22二面角B-QD-A的平面角為銳角,故其余弦值為亍?解法二:(浙江王海雷補解)過B作丄QD于點M由(1)可知：平面0AD丄平面ABCD?.?34丄AD.?.朋丄面0AD在AB0D中，BQ=jM+AB，=3,QD=￡,BD=2忑coszbqd/^QD—d'左S5心丑2xQBxQD5BQ5即sinZBMA=—=,cosZBMA=-BM33o即二面角b-qd-a的平面角的余弦值為-已知橢圓C的方程為二+冥=l@>b>0),右焦點為尸(血0),且離心率為《.crb"3(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M,/V是橢圓C上的兩點，直線MV與曲線F+y2=b\x>0)相切?證明：M,/V,尸三點共線的充要條件是|MN|=*.［思路分析】(1)由離心率公式可得a=V3,進(jìn)而可得，,即可得解；(2)必要性:由三點共線及直線與圓相切可得直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程可證=;充分性：設(shè)直線MW:y=Ax+b,("<0),由直線與圓相切得b2=k2+l,聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得a/FTF?返匚=荷,進(jìn)而可得心±1,即可得解.1+3S【解析】：(1)由題意,橢圓半焦距c=且e=-=^，所以a=$a3又夕=/一，=1,所以橢圓方程為#+尸=1;(2)由(1)得，曲線為x2+r=l(x>0),當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線MN-x=l.不合題意;當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)，必要性:若M,/V,尸三點共線，可設(shè)直線MN:y=R(x—?)即kx-y-y/2k=0.由直線MN與曲線%-+y2=l(x>0)相切可得===1，解得心±1,Jk2+1TOC\o"1-5"\h\z(2)、3V23可得4.「—6+3=0/所以X]+=,X.?=—-■2"4所以=Jl+1?J(X]+)■-4x,x2=y/3,所以必要性成立；充分性:設(shè)直線MN:y=kx+b^kb<0)即也—y+b=0t\b\由直線MN與曲線x2+r=l(x>0)相切可得尋==1，所以b2=k2+ltVF+iy=kx+b聯(lián)立x2r]可得(1+3疋)F+6肋x+3夕一3=0,聯(lián)立6kb3戻—3(6kb、l+3k2-4.^141+3L所以=J1+R'?((召+_4(6kb、l+3k2-4.^141+3L=0,所以k=±l,k=-1=0,所以k=±l,k=-1z所以直線MN:y=x-y/2^y=-x+y/2所以k=lb=-邁杯\b=忑所以所以直線MN過點F(V2.0),M./V,尸三點共線，充分性成立;所以M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=.【歸納總結(jié)］解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用,注意運算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.—種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)才表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=/)=/7(/=0,l,2,3).(1)已知幾=0.4,必=0.3，必=0.2,必=0.1，求E(X);(2股Q表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率Q是關(guān)于x的方程:p°+pYx+p2x2+必=x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E{X)<\時，p=l，當(dāng)E(X)>1時，p<l;(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.【思路分析】(1)利用公式計算可得E(X).(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/⑴=0及極值點的范圍可得/(.Q的最小正零點.(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【解析】：(1)^(X)=0x0.4+1x03+2x0.2+3x0.1=1.(2)設(shè)f(x)=p3^+p2x2+-1)x4-p0,因為P3+P2+A+Po=1，故/(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+pQ,若E(X)<1,則“+2戸+3必<1,故p2+2p3<pQ.=3/V2+2Ax-(/A+/?o+Pi)，因為f(0)=一(卩2+“>+卩3)<°，r(l)=p2+2p3-/?o<0,故廣W有兩個不同零點心花，且^1<0<1<^2,且xw(yo,xJu(花,4oo)時，/(x)>0；xe(xl9x2)時，f(x)vO;故/(x)在(-迪不),(心+8)上為增函數(shù)，在(坷,如)上為減函數(shù)，若忑=1,因為/(X)在(耳,+8)為增函數(shù)且/(1)=0,而當(dāng)xe(o,x2)時，因為/(X)在(碼,石上為減函數(shù)，故/(0>/(兀2)=/⑴=0,故1為p°+Pd+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,若兀>1，因為/(1)=0且在(0,x2)上為減函數(shù)，故1為p°+pm+p2x2+/;3x3=x的一個最小正實根,綜上，若E(X)<1，則p=l.若E(X)>1，則門+2伐+3幾>1，故P2+2p、>Po.此時r(O)=-(p2+po+p3)<O,f(1)=必+2〃3一“>0,故廣(對有兩個不同零點兀，且兀<0<x4<1,且xw(-oo,七)U(X4，+°°)時,f(x)>0;xe(x5,x4)時,f(x)<0;故/(X)在(-8宀)，(“，+°°)上為增函數(shù)，在(“，兀)上為減函數(shù)，而f(l)=0,故/(“)vo,又f(O)=Po>O，故f(x)在(0,“)存在一^零點"，且p<\.所以P為Po+P1X+p2X2+/；3X3=X的一1最小正實根，此時P<1,故當(dāng)E(X)>1時，P<1.(3)意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.已知函數(shù)f(x)=(x-l)ex-ax2+b.討論/⑴的單調(diào)性；從下面兩個條件中選一個,證明：『⑴有一個零點1?—<a<—、b>2a;22@0<ci<^,b<2a.［思路分析］⑴首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；⑵由題意結(jié)合⑴中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【解析】：(1)由函數(shù)的解析式可得:f'(x)=x(ex-2a),當(dāng)*0時,若