現(xiàn)代控制理論(絕對經(jīng)典)

現(xiàn)代控制原理預覽建模分析設計狀態(tài)空間表達式建立求解轉換可控性可觀性穩(wěn)定性狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測器最優(yōu)控制第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式本章主要內容：狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)結構圖狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立狀態(tài)矢量的線性變換狀態(tài)空間表達式的解從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)描述中常用的基本概念系統(tǒng)的外部描述傳遞函數(shù)系統(tǒng)的內部描述狀態(tài)空間描述1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)：是完全地描述動態(tài)系統(tǒng)運動狀況的信息，系統(tǒng)在某一時刻的運動狀況可以用該時刻系統(tǒng)運動的一組信息表征，定義系統(tǒng)運動信息的集合為狀態(tài)。狀態(tài)變量：是指足以完全描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨立的。一個用階微分方程描述的含有n個獨立變量的系統(tǒng)，當求得n個獨立變量隨時間變化的規(guī)律時，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于n，必有變量不獨立；若少于n，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)向量：設是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，并將它們看做向量的分量，就稱為狀態(tài)向量，記作：狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量為坐標軸所構成的n維空間。在某一特定時刻t，狀態(tài)向量是狀態(tài)空間的一個點。狀態(tài)軌跡：以為起點，隨著時間的推移，狀態(tài)矢量的端點在狀態(tài)空間不斷的移動，所繪出的一條軌跡。狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入變量間關系的一階微分方程組(連續(xù)系統(tǒng))或一階差分方程組（離散系統(tǒng)）。向量形式：

狀態(tài)向量輸入向量輸出方程：在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量之間的m個代數(shù)方程，稱為系統(tǒng)的輸出方程。向量形式：輸出向量

狀態(tài)向量

解：例1-1：建立如圖所示的RCL電路的狀態(tài)方程和輸出方程。

圖1

微分方程

傳遞函數(shù)

只反映外部情況，無法獲知內部聯(lián)系

定義狀態(tài)變量

二階微分方程，選擇兩個狀態(tài)變量狀態(tài)向量

定義輸出變量整理得一階微分方程組為

輸出方程

狀態(tài)方程矩陣相乘)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxúú?ùêê?é+ú?ùê?éúúú?ùêêê?é--=ú?ùê?é&&狀態(tài)空間表達式：狀態(tài)方程和輸出方程合起來構成對一個動態(tài)系統(tǒng)完整的描述，稱為動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

圖1所示電路,若

為輸出,取作為狀態(tài)變量,則其狀態(tài)空間表達式為

若按照如下所示的微分方程：

選,則得到一階微分方程組：即

狀態(tài)變量選擇不同，狀態(tài)方程也不同。兩組狀態(tài)變量之間的關系P：非奇異矩陣狀態(tài)方程…輸出方程…Y(s)G(s)U(s)狀態(tài)空間描述法示意圖線性連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

寫成矩陣形式有：

多輸入多輸出定常線性系統(tǒng)

和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關系。對于上述系統(tǒng)，它們的框圖分別如圖a和b所示。

狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)框圖

常用符號：注:負反饋時為－注：有幾個狀態(tài)變量，就建幾個積分器積分器比例器加法器1.2狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的狀態(tài)模擬結構圖狀態(tài)空間描述的模擬結構圖繪制步驟：⑴畫出所有積分器；積分器的個數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態(tài)變量。⑵根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應的加法器和比例器；⑶用箭頭將這些元件連接起來。

例1-2

畫出一階微分方程的模擬結構圖。模擬結構圖微分方程：例1-3分析：本系統(tǒng)狀態(tài)變量有三個一個輸入量u，一個輸出量y，（r=1,m=1）解：

系統(tǒng)結構圖（或狀態(tài)變量圖）如下：

1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立建立狀態(tài)空間描述的三個途徑：1、由系統(tǒng)框圖建立2、由系統(tǒng)機理進行推導3、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得一、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述［例1-4］：系統(tǒng)框圖如下：［關鍵］：將積分部分單獨表述出來，對結構圖進行等效變換1、積分環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、比例積分環(huán)節(jié)等效變換如下：［例1-4］：系統(tǒng)框圖如下：圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量），則有：寫成矩陣形式：狀態(tài)變量的選取原則選擇系統(tǒng)儲能元件的輸出物理量；狀態(tài)變量不唯一狀態(tài)變量的選取不同，狀態(tài)空間表達式也不同！二、由系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量（對角線標準型和約當標準型）選擇系統(tǒng)輸出及其各階導數(shù)；解：質量塊受力圖如下：[例1-5]試列出在外力f作用下，以質量的位移為輸出的狀態(tài)空間表達式。依據(jù)牛頓定律，有：選取狀態(tài)變量位移輸入輸出輸出方程狀態(tài)方程依據(jù)牛頓定律：寫成矩陣形式：

1)選取n個狀態(tài)變量；確定輸入、輸出變量；建立狀態(tài)空間表達式的步驟狀態(tài)變量、輸入變量、參數(shù)輸出變量、狀態(tài)變量、輸入變量、參數(shù)

2)根據(jù)系統(tǒng)微分方程列出n個一階微分方程；3)根據(jù)系統(tǒng)微分方程，列出m個代數(shù)方程。結論：(1)狀態(tài)變量選取具有非唯一性。狀態(tài)變量個數(shù)系統(tǒng)的階次；(2)狀態(tài)變量具有獨立性；(3)不同組狀態(tài)變量之間可做等價變換線性變換。對于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對應的狀態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)。三、由系統(tǒng)微分方程或者傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式n階SISO控制系統(tǒng)的時域模型為：可實現(xiàn)的條件：微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導數(shù)項）：

1、傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：1).選擇狀態(tài)變量

狀態(tài)方程輸出方程2).化為向量矩陣形式：系統(tǒng)矩陣輸入矩陣輸出矩陣狀態(tài)方程輸出方程友矩陣特點：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點：主對角線上方的元素為1，最后一行為微分方程系數(shù)的負值，其它元素全為0，稱為友矩陣或相伴矩陣。3).畫系統(tǒng)結構圖：例1-6

考慮系統(tǒng)試寫出其狀態(tài)空間表達式。則狀態(tài)空間表達式為：解：選擇狀態(tài)變量：標量系統(tǒng)結構圖2、傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn)微分方程形式（微分方程含有輸入的導數(shù)項）：狀態(tài)變量選擇原則：使導出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u的導數(shù)項。設系統(tǒng)傳遞函數(shù)（m=n）為：綜合除法嚴格有理真分式若則串聯(lián)分解：選取狀態(tài)變量：可控標準型輸出方程：友矩陣若則狀態(tài)方程：可控標準型標量系統(tǒng)結構圖：例1-7：求以下系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式解：例1-7：求以下系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式解：3、系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)留數(shù)選取狀態(tài)變量對角標準型1)互異極點對角標準型系統(tǒng)模擬結構圖例1-8：求以下系統(tǒng)的對角標準型狀態(tài)空間表達式。解：對角標準型注意符號不變3、系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)狀態(tài)變量2)n重極點約當標準型例1-9：求以下系統(tǒng)的約旦標準型狀態(tài)空間表達式。解：對角塊約當塊1.4狀態(tài)矢量的線性變換P：非奇異線性變換矩陣單輸入單輸出系統(tǒng)非奇異線性變換P變換用途：通過線性非奇異變換，可以使規(guī)范化(對角化、約當化），且不改變系統(tǒng)的原有性質，是等價變換。方陣的特征值與特征向量

設是階方陣，如果數(shù)和維非零向量使關系式成立，那么數(shù)稱為方陣的特征值，非零向量稱為的對應于的特征向量。的解為特征根。的解為特征向量。方陣的次多項式為的特征多項式。為的特征方程。一、A陣為任意形式（1）A為任意形式的方陣，有n個互異實特征值對應的特征向量，滿足：[例1-10]

變換系統(tǒng)為對角標準型。

2)確定非奇異矩陣P

[解]:1)求其特征值:3）求對角線標準型為：（2）A為任意形式的方陣，有q重實特征值，其余為n-q個互異實特征值。求解時只有1個獨立的實特征向量

為廣義實特征向量，滿足：q階約旦塊約旦塊（若干）對角線元素互異實特征值對應的實特征向量，滿足：非奇異線性變換矩陣[例1-11]試將下列狀態(tài)方程化為約當標準型：[解]

求特征值：另一廣義的特征矢量：

（二重根）時的特征矢量為：

時特征矢量：（3）A為任意形式的方陣，有q重實特征值，其余為n-q個互異實特征值。求解時有q個獨立的實特征向量互異實特征值對應的實特征向量滿足：非奇異線性變換矩陣[例1-12]已知系統(tǒng)矩陣A，將其變換為規(guī)范矩陣。[解]:特征值1對應兩個獨立的特征向量[例1-12]已知系統(tǒng)矩陣A，將其變換為規(guī)范矩陣。[解]:特征值4對應一個獨立的特征向量盡管A有重根，因為有三個獨立的特征向量，仍可以化為對角陣！二、A陣為友矩陣（1）有n個互異實特征值

，其變換陣是一個范德蒙德矩陣非奇異線性變換矩陣范德蒙矩陣[例1-13]：已知系統(tǒng)矩陣A，將其變換為對角線矩陣。[解]:（2）有q重互異實特征值

，對應1個獨立的實特征向量

；另外有

個互異實特征值非奇異線性變換矩陣[例1-14]：已知系統(tǒng)矩陣A，將其變換為對角線矩陣。[解]:一、線性定常系統(tǒng)的運動1）自由運動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時，由初始狀態(tài)引起的運動稱自由運動。齊次狀態(tài)方程的解：2）強迫運動：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運動，稱為強迫運動。非齊次狀態(tài)方程的解：1.5控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的解二、齊次狀態(tài)方程的解指數(shù)函數(shù)一階標量微分方程已知狀態(tài)方程求矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉移矩陣描述了狀態(tài)向量由初始狀態(tài)向任意時刻狀態(tài)轉移的內在特性。仿照標量微分方程1）冪級數(shù)法2）拉氏變換法求解：齊次狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為：兩邊取拉氏變換得：整理得：拉氏反變換得：兩種方法的關系？兩種方法的關系？狀態(tài)轉移矩陣三、狀態(tài)轉移矩陣滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：已知：令：則有：1、狀態(tài)轉移矩陣的含義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣2、狀態(tài)轉移矩陣的基本性質證明：推論：狀態(tài)轉移具有可逆性證明：轉移至的狀態(tài)轉移矩陣為證明：狀態(tài)轉移可以分段進行！例1-15：已知狀態(tài)轉移矩陣，求解：性質4性質2證明：證明：證明：非奇異線性變換非奇異矩陣另一組狀態(tài)變量新的系統(tǒng)矩陣新的狀態(tài)轉移矩陣3、特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設即A為對角陣且具有互異元素時，有

（2）設A為約當陣，即

則（3）設A是一個有多個約當塊或對角塊的約當矩陣4、狀態(tài)轉移矩陣的計算1）直接求解法：根據(jù)定義2）標準型法求解：對角線標準型和約當標準型3）拉氏反變換法2）用標準型法求解特征值互異，轉化成對角標準型，且A為友矩陣特征值：例1-16：求以下矩陣A的狀態(tài)轉移矩陣[解]：

1）直接算法（略）

3）用拉氏變換法求解四、線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解求1、積分法零初態(tài)響應2、拉氏變換法拉氏反變換取拉氏變換初始時刻非零拉氏變換卷積定理例1-17：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程中試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應。解法一：積分法例1-17：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程中試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應。解法二：拉氏變換法1.6由狀態(tài)空間法求傳遞函數(shù)一、定義及表達式零初始條件下，輸出向量的拉氏變換與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關系——傳遞函數(shù)矩陣。第個輸入與第個輸出之間的傳遞函數(shù)。

[例1-18]

已知系統(tǒng)動態(tài)方程為試求系統(tǒng)的傳遞矩陣。解:,線性變換同一系統(tǒng)，傳遞函數(shù)陣是唯一的！第二章線性控制系統(tǒng)的可控性與可觀測性本章主要內容：線性定常系統(tǒng)的可控性的定義及判別線性定常系統(tǒng)的可觀測性的定義及判別可控性與可觀測性的對偶原理可控標準型和可觀測標準型線性系統(tǒng)的結構分解可控性和可觀測性的基本概念：20世紀60年代初，由卡爾曼提出，與狀態(tài)空間描述相對應?？煽匦裕悍从沉丝刂戚斎雽ο到y(tǒng)狀態(tài)的制約能力。

輸入能否控制狀態(tài)（控制問題）可觀測性：反映了輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的判斷能力。

狀態(tài)能否由輸出反映（估計問題）例2-1：已知系統(tǒng)的動態(tài)方程，判斷其可控性、可觀測性。系統(tǒng)完全可控！可以控制無法反映系統(tǒng)不完全可觀！2.1可控性定義線性連續(xù)系統(tǒng)如果存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限的時間區(qū)內，使系統(tǒng)由非零初始狀態(tài)，轉移到一指定的任一終端狀態(tài)，則在是可控的。狀態(tài)可控系統(tǒng)可控若系統(tǒng)所有非零狀態(tài)在時刻都是可控的，則稱此系統(tǒng)在時刻是完全可控的；如果系統(tǒng)在所有時刻都是可控的則稱系統(tǒng)一致可控。在時刻可控系統(tǒng)在時刻可控所有非零狀態(tài)在時刻可控系統(tǒng)在時刻完全可控所有非零狀態(tài)所有時刻系統(tǒng)一致可控線性定常系統(tǒng)的可控性與無關狀態(tài)可控狀態(tài)可達線性定常系統(tǒng)：可控性與可達性等價階可控性矩陣多輸入：階可控性矩陣單輸入：滿足條件即可，不必寫出所有列！線性定常系統(tǒng)的可控性判據(jù)一、秩判據(jù)[例2-2]

判別如下系統(tǒng)的可控性[解]：故系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控！[例2-3]

判別如下線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性[解]：系統(tǒng)不可控！二、對角標準型判據(jù)特征值互異Ｂ矩陣沒有全為零的行。系統(tǒng)不可控！與無任何聯(lián)系[例2-4]：判別下列對角標準型線性定常系統(tǒng)的可控性。沒有全零行系統(tǒng)可控！1、2、有全零行系統(tǒng)不可控！Ｂ陣中，對應于每一個約當塊(特征值不同）的最后一行元素不全為零。三、約當標準型判據(jù)[例2-5]考察以下系統(tǒng)的能控性：狀態(tài)完全能控狀態(tài)完全能控非奇異線性變換不改變系統(tǒng)可控性！系統(tǒng)：非奇異變換后：1、舉例系統(tǒng)結構圖如下只包含不包含系統(tǒng)不可觀測！2.2線性定常系統(tǒng)可觀測性定義及其判據(jù)2、可觀測性定義如果對任意給定的輸入u(t)，存在一有限觀測時間,使得根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在內完全可觀測。一、秩判據(jù)單輸出：多輸出：階可觀測性矩陣階可觀測性矩陣條件滿足即可，不必寫出所有的行！線性定常系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)[例2-6]：判別如下系統(tǒng)的能觀測性：前三行已使系統(tǒng)完全可觀測！解：

C矩陣沒有全為零的列二、對角標準型判據(jù)系統(tǒng)不可觀測！無任何聯(lián)系特征值互異[例2-7]：考察如下系統(tǒng)的可觀測性：系統(tǒng)不可觀測！系統(tǒng)可觀測！C矩陣中與約旦塊第一列對應的列不全為零

C矩陣中與互異特征值對應的列不全為零三、約當標準型判據(jù)系統(tǒng)可觀測！與無任何聯(lián)系系統(tǒng)不可觀測！[例2-8]：考察如下約旦規(guī)范型系統(tǒng)的可觀性：系統(tǒng)可觀測！系統(tǒng)可觀測！系統(tǒng)可觀測！系統(tǒng)不可觀測！[例2-9]：系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)能觀,則要求rank

N=2系統(tǒng)能觀,則要求rankN=2非奇異線性變換不改變系統(tǒng)可觀測性！系統(tǒng)：非奇異變換后：一、線性系統(tǒng)的對偶關系線性系統(tǒng)1、2如下：如果滿足如下關系，則稱兩系統(tǒng)是互為對偶的：2.3可控性與可觀測性的對偶關系對偶系統(tǒng)狀態(tài)結構圖輸入r維，輸出m維輸入m維，輸出r維互為對偶關系的系統(tǒng)之間的性質1）互為對偶的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是互為轉置的。2）互為對偶的系統(tǒng)，其特征方程是相同的。設和是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則的能控性等價于的能觀測性；的能觀測性等價于的能控性。二、對偶原理2.4可控標準型和可觀測標準型一、單輸入系統(tǒng)的可控標準型單輸入線性定常系統(tǒng)：則存在線性非奇異變換：能控將狀態(tài)方程化為可控標準型：非奇異變換陣為：是相乘的結果：[例2-10]：設線性定常系統(tǒng)用下式描述式中：試將狀態(tài)方程化為可控標準型。[解]1）判斷系統(tǒng)可控性2）計算特征多項式3）計算變換陣如果單輸出線性定常系統(tǒng)：是可觀測的，將狀態(tài)方程化為可觀測標準型：則存在線性非奇異變換：二、單輸出系統(tǒng)的可觀測標準型證明思路：利用對偶原理，系統(tǒng)的可觀測標準型，等價于其對偶系統(tǒng)的可控標準型。[例2-11]：設線性定常系統(tǒng)用下式描述式中：試將狀態(tài)空間表達式化為可觀測標準型。[解]：1）判斷系統(tǒng)能觀測性2）計算特征多項式3）計算變換陣G(s)與系統(tǒng)可控性和可觀測性的關系設(單輸入單輸出)定理:系統(tǒng)能控能觀的充要條件是G(s)中沒有零極點對消[例2-12]：寫出以下傳遞函數(shù)的能控標準型。[解]：無零極點相約，故能控且能觀測?？梢曰癁槟芸貥藴市?。所以：能控標準型為：[例2-12]：寫出以下傳遞函數(shù)的能觀測標準型。[解]：無零極點相約，故能控且能觀測?？梢曰癁槟苡^測標準型。所以：能觀測標準型為：系統(tǒng)狀態(tài)變量可控不可控可觀不可觀可觀不可觀可控可觀可控不可觀不可控可觀不可控不可觀2.5系統(tǒng)的結構分解結構分解依據(jù)可控可觀性，將系統(tǒng)分解為四個子系統(tǒng)特殊的線性變換分解步驟：1、將系統(tǒng)分解成可控與不可控子系統(tǒng)；2、分別將兩個子系統(tǒng)分解成可觀與不可觀子系統(tǒng)。一、按能控性分解目的：將系統(tǒng)顯性分解為能控和不能控兩部分。如果線性定常系統(tǒng)：是狀態(tài)不完全能控的，它的能控性判別矩陣的秩則存在非奇異變換：將狀態(tài)空間描述變換為：其中：非奇異變換陣：前n1列為M中n1個線性無關的列，其余列在保證Rc非奇異下任選。能控性分解示意圖：其中是n1維能控部分：其中是n-n1維不能控部分：u不能直接控制，而未來信息中又不含的信息。能控部分不能控部分例2-13：對以下系統(tǒng)進行可控性分解。解：可控性矩陣不可控構造變換矩陣與前2個列向量線性無關；盡可能簡單不可控子系統(tǒng)可控子系統(tǒng)二、按能觀測性分解目的：將系統(tǒng)顯性地分解為能觀測和不能觀測兩部分。觀測器設計基礎。如果線性定常系統(tǒng)：是狀態(tài)不完全能觀測的，它的能觀測性判別矩陣的秩：則存在非奇異變換：將狀態(tài)空間描述變換為：其中：

非奇異變換陣：前n1列為N中n1個線性無關的行，其余行在保證Ro非奇異下任選。能觀測性分解示意圖：能觀測部分不能觀測部分其中是n1維能觀測部分：其中是n-n1維不能觀測部分：對y沒有直接影響，而中又不含的信息。（系統(tǒng)的標準分解）假設系統(tǒng)不完全能控也不完全能觀．能控性分解能控子系統(tǒng)能觀性分解三、按能控性和能觀性進行分解不能控子系統(tǒng)能觀性分解能控能觀:能控不能觀:不能控能觀不能控不能觀控制系統(tǒng)本身處于平衡狀態(tài)。受到擾動，產(chǎn)生偏差。擾動消失后，偏差逐漸變小，能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則穩(wěn)定。偏差逐漸變大，不能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則不穩(wěn)定。系統(tǒng)在初始偏差作用下，過渡過程的收斂性。與輸入作用無關第三章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析經(jīng)典控制理論對穩(wěn)定性分析的局限性（1）局限于描述線性定常系統(tǒng)（2）局限于研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性勞斯（Routh）判據(jù)奈氏（Nyquist）判據(jù)現(xiàn)代控制原理對穩(wěn)定性分析的特點（1）穩(wěn)定判據(jù)可用于線性/非線性，定常/時變系統(tǒng)；（2）研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性；（3）能夠反映系統(tǒng)穩(wěn)定的本質特征。李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性理論一、系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)設系統(tǒng)方程為：不受外力n維狀態(tài)向量n維向量函數(shù)展開式為：方程的解為：初始狀態(tài)向量初始時刻3.1李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義平衡狀態(tài)：各分量相對于時間不再發(fā)生變化所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止狀態(tài)

線性定常系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：一個平衡狀態(tài)——狀態(tài)空間原點無窮多個平衡狀態(tài)例3-1：機械位移系統(tǒng)選平衡狀態(tài)狀態(tài)方程平衡狀態(tài)：各分量相對于時間不再發(fā)生變化所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止狀態(tài)

非線性系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：多個平衡狀態(tài)例：歐式范數(shù)二、穩(wěn)定性的幾個定義表示向量的長度表示向量到的距離表示狀態(tài)空間中，以為圓心，半徑為c的圓表示狀態(tài)空間中，以為球心，半徑為c的球設系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心，為半徑的閉球域內，即若能使系統(tǒng)方程的解在的過程中，始終位于以為球心，任意規(guī)定的半徑為的閉球域內，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。穩(wěn)定1、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時間推移，狀態(tài)向量距平衡點的距離可以維持在一個確定的數(shù)值內，而到達不了平衡點。任給一個球域，若存在一個球域使得當時，從出發(fā)的軌跡不離開，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的設系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心，為半徑的閉球域內，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。若系統(tǒng)方程的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有2、漸近穩(wěn)定幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時間推移，狀態(tài)向量距平衡點的距離可以無限接近，直至到達平衡點后停止運動。當時，從出發(fā)的軌跡不僅不超出，而且最終收斂于，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。初始狀態(tài)在整個狀態(tài)空間時，平衡狀態(tài)都漸近穩(wěn)定。當初始條件擴展到整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)均具有漸近穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。3、大范圍漸近穩(wěn)定幾何意義：當時，從狀態(tài)空間任意一點出發(fā)的軌跡都收斂于。初始狀態(tài)有界，隨時間推移，狀態(tài)向量距平衡點越來越遠。4、不穩(wěn)定幾何意義：如果對于某個實數(shù)和任一個實數(shù)，不管這兩個實數(shù)有多小，在內總存在著一個狀態(tài)，由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出，則稱次平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定A的所有特征值：李雅普諾夫意義下穩(wěn)定A的所有特征值：且的特征值無重根不穩(wěn)定A有一個特征值：或的特征值有重根內部穩(wěn)定性3.2李雅普諾夫第一法（間接法）狀態(tài)穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性零初始條件下，對于任意一個有界輸入，若系統(tǒng)所產(chǎn)生的相應輸出也是有界的，稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。外部穩(wěn)定的充要條件：傳遞函數(shù)矩陣中所有元素的極點全部位于s的左半平面。輸出穩(wěn)定性例3-2：設系統(tǒng)方程為試確定其外部穩(wěn)定性、內部穩(wěn)定性。解：（1）求系統(tǒng)的特征方程：故系統(tǒng)內部狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：極點位于s左半平面，s=2的極點被對消掉了。系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的。3.3李雅普諾夫第二法（直接法）不必求解微分方程，直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)運動需要能量。在非零初始狀態(tài)作用下的運動過程中，若能量隨時間衰減以致最終消失，則系統(tǒng)遲早會達到平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。反之，系統(tǒng)則不穩(wěn)定。若能量在運動過程中不增不減，則稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。李雅普諾夫第二法的基本思想

求出系統(tǒng)的能量函數(shù)(李雅普諾夫函數(shù))

——標量函數(shù)。求出能量隨時間變化率依據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程考察能量函數(shù)在運動過程中的變換規(guī)律。利用和的符號特征，判斷平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。例3-3：已知，確定標量函數(shù)的定號性。解：正定解：正半定一、標量函數(shù)定號性解：解：負半定不定二、二次型定號性二次型：各項均為自變量的二次單項式的標量函數(shù)P為實對稱矩陣二次型定號性的判別方法二次型正定矩陣P正定P的各階順序主子式>0二次型負定矩陣P負定P的各階順序主子式負正相間矩陣P正半定矩陣P正半定或者以特征值的大小來對P矩陣進行定號例3-4：確定下列二次型的定號性。解：判別方法一正定P的各階順序主子式>0例3-5：確定下列二次型的定號性。解：判別方法二矩陣P的特征值的符號有正有負，即符號不定不定(1)正定(2)負定(3)則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定。（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，在時滿足：定理1三、李雅普諾夫第二法主要定理(1)正定(2)負半定則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定。（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，在時滿足：(4)(3)定理2(1)正定(2)負半定(3)則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，在時滿足：(4)系統(tǒng)保持穩(wěn)定的等幅振蕩，非漸近穩(wěn)定！能量不變！定理3例3-6：機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定正定負半定但不恒等于0能量不斷衰減漸近穩(wěn)定例3-7：機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定恒等于0能量不變李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定選狀態(tài)方程則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。定理4時變系統(tǒng)定常系統(tǒng)：如果存在具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)其中，且滿足：(1)(2)注意上述定理是系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件。如果不滿足定理，系統(tǒng)零平衡狀態(tài)不一定不穩(wěn)定！應該重新選取李雅普諾夫函數(shù)進行分析。例3-8：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：選?。赫ㄘ摱ù蠓秶ㄒ恢拢u近穩(wěn)定幾何意義：表示系統(tǒng)狀態(tài)到空間原點的距離。表示狀態(tài)趨向原點的速度。22取V(x)=x1+x2x1x2x1x2V增大的方向例3-8：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解法一：求平衡狀態(tài)選取李雅普諾夫函數(shù)：正定負定系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定例3-8：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解法二：求平衡狀態(tài)選取李雅普諾夫函數(shù)：正定負半定系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定只在原點為零3.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用線性定常連續(xù)系統(tǒng)選取正定二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)原點是唯一的平衡狀態(tài)令線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定給定存在滿足李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定給定存在滿足李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程判別步驟：(2)求解(1)選取為正定實對稱矩陣（對角陣或單位陣）；(3)若P為正定實對稱矩陣，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。若

可選取為正半定實對稱矩陣例3-9：機械位移系統(tǒng)狀態(tài)方程解法一選取設P正定，故系統(tǒng)平衡狀態(tài)

——狀態(tài)空間原點漸近穩(wěn)定。解法二

選取設P正定，故系統(tǒng)平衡狀態(tài)

——狀態(tài)空間原點漸近穩(wěn)定。負半定，且不恒為零正定同一個系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)選擇不唯一。反饋經(jīng)典控制理論：現(xiàn)代控制原理：輸出反饋輸出反饋狀態(tài)反饋

選擇反饋信號的形式和強度（反饋系數(shù)）使閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能滿足設計要求。4.1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結構及其特性第四章線性定常系統(tǒng)的綜合設計參考輸入反饋狀態(tài)微分反饋狀態(tài)反饋原系統(tǒng)：反饋控制律：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：一、反饋類型輸出—參考輸入v反饋原系統(tǒng)：反饋控制律：系統(tǒng)維數(shù)不變；選擇H改變系統(tǒng)特征值（閉環(huán)極點），改善系統(tǒng)性能。比較輸出——參考輸入反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：K相當于HC；H的選擇自由度遠小于K；輸出反饋只相當于一部分狀態(tài)反饋；輸出反饋效果低于狀態(tài)反饋，但方便實現(xiàn)。輸出—狀態(tài)微分反饋原系統(tǒng)：狀態(tài)微分：三種反饋共同點不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)同維數(shù)；反饋增益矩陣都是常數(shù)矩陣，反饋為線性變換。二、反饋結構對系統(tǒng)