中考數(shù)學一輪知識復習和鞏固練習考點18 特殊的四邊形（基礎鞏固） (含詳解)

考向18特殊的四邊形【知識梳理】考點一、幾種特殊四邊形性質、判定四邊形性質判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分1、有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個角是直角的四邊形是矩形；3、對角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱圖形等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形方法指導：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質.考點二、梯形1．解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）；

（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中（圖2）；

（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中（圖3）；

（4）“延腰”：構造具有公共角的兩個三角形（圖4）；

（5）“等積變形”，連結梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構成三角形（圖5）．

圖1圖2圖3圖4圖5

方法指導：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當?shù)妮o助線，把梯形問題轉化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決．在學習時注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對于學好梯形內容很有幫助．2.特殊的梯形（1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．性質：①等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等．②同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．③等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過兩底中點的一條直線．（2）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．考點三、中點四邊形相關問題1.中點四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．2.若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；

若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；

若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．方法指導：中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的位置和數(shù)量關系決定．【專項訓練】一、選擇題1.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和BC′F的周長之和為（）A．3 B．4 C．6 D．82.如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=10，AD=6，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F，則△CEF面積為()．

A．4B．6C．8D．103．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一點，PE⊥AC，垂足為E，PF⊥BD，垂足為F，則PE+PF的值為()．A．

B．

C．2D．

第3題第4題4.如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，要使EFGH為矩形，四邊形應該具備的條件是（）.

A．一組對邊平行而另一組對邊不平行B．對角線相等

C．對角線相互垂直D．對角線互相平分5.如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過O點作OE⊥OF分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF等于（）.A.7B.5C.4D.3

6.如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）.

A．15°B．18°C．36°D．54°二、填空題7.直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，已知DF=3，則AE=．8.如圖，菱形ABCD中，于E，于F，，則等于___________．9.正方形ABCD中，E為BC上一點，BE=，CE=，P在BD上，則PE+PC的最小值可能為__________．10.如圖，M為正方形ABCD中BC邊的中點，將正方形折起，使點A與M重合，設折痕為EF，若正方形的面積為64，則△AEM的面積為____________．

11.如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4，BC=3，P為AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是_______________.12.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2SKIPIF1<0，點E是BC邊的中點，△DEF是等邊三角形，DF交AB于點G，則△BFG的周長為________．三、解答題13．如圖1，圖2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動(點E不與點A，B重合)，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．

(1)如圖1，當點E在AB邊的中點位置時：

①猜想DE與EF滿足的數(shù)量關系是__________；

②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關系是__________；

③請證明你的上述兩個猜想．

(2)如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關系．

14.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，

(1)求BC、AD的長度；

(2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/秒的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm/秒的速度運動，當P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出t的取值范圍(不包含點P在B、C兩點的情況)；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

15.已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．（1）如圖1，當P點在線段AB上時，PE+PF的值是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請加以說明．（2）如圖2，當P點在線段AB的延長線上時，求PE﹣PF的值．16.如圖，十三個邊長為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已標出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．答案與解析一．選擇題1．【答案】C．【解析】將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，折痕為EF，由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周長=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周長=2△ABE的周長=2×3=6．故選：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可證△OEB≌△OFC，則EB=FC=3，AE=BF=4，EF=SKIPIF1<0=5.6．【答案】B.【解析】由題意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空題7．【答案】3．【解析】如圖，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分別為AB、AC的中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF=BC．又∵點E是直角△ABC斜邊BC的中點，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：設AE=x=EM,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,從而算出面積.11.【答案】SKIPIF1<0.【解析】連接PC．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；

又∵∠ACB=90°，∴四邊形ECFP是矩形，

∴EF=PC，∴當PC最小時，EF也最小，

即當CP⊥AB時，PC最小，

∵AC=4，BC=3，∴AB=5，

∴SKIPIF1<0AC?BC=SKIPIF1<0AB?PC，∴PC=SKIPIF1<0．

∴線段EF長的最小值為SKIPIF1<0；故答案是：SKIPIF1<0．12．【答案】3+SKIPIF1<0.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°點E是BC邊的中點，推出四邊形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等邊三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，進而求得FG，再證△AGD≌△BGF，得到BF=AD，從而求出△BFG的周長．三.綜合題13．【解析】（1）①DE=EF；

②NE=BF；

③∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，

∵N，E分別為AD，AB中點，

∴AN=DN=SKIPIF1<0AD，AE=EB=SKIPIF1<0AB，

∴DN=BE，AN=AE，

∵∠DEF=90°，

∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠FEB=∠ADE，

又∵AN=AE，

∴∠ANE=∠AEN，

又∵∠A=90°，

∴∠ANE=45°，

∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，

又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，

∴△DNE≌△EBF（ASA），

∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），

連接NE，則點N可使得NE=BF．

此時DE=EF．

證明方法同（1），證△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°,

∴∠DBC=30°,

∴BC=2CD=6cm.

由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠ABC=∠C=60°,

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=30°,

∴∠ABD=∠ADB,

∴AD=AB=3cm.

（2）當P、Q分別從B、C同時出發(fā)運動t秒時，BP=2t，CQ=t,

∴PC=6-2t,

過Q作QE⊥BC于E，則QE=CQsin60°=SKIPIF1<0t,

∴S梯形ABCD-S△PCQ=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0（6-2t）t=SKIPIF1<0（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5.

∵S梯形ABCD=SKIPIF1<0，S△ABD=SKIPIF1<0×3×SKIPIF1<0×3,

∴S△ABD=SKIPIF1<0×S梯形ABCD,

∴五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD面積的SKIPIF1<0.

∴S△PCQ：S五邊形ABPQD=1：5，

即S五邊形ABPQD=SKIPIF1<0S梯形ABCD

∴SKIPIF1<0（2t2-6t+27）=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0,

整理得：4t2-12t+9=0,

∴t=SKIPIF1<0，即當t=SKIPIF1<0秒時，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三個小正方形的邊長為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余