中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點(diǎn)22 正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算（能力提升） (含詳解)

考向22正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）

(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.

（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.方法指導(dǎo)：（1）正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是SKIPIF1<0；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長(zhǎng)的比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）平方的比.考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算1．圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.方法指導(dǎo)：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、選擇題1.將一個(gè)底面半徑為5cm，母線長(zhǎng)為12cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開并展平，所得的側(cè)面展開圖的圓心角是（）度．A.60B.90C.120D.150 2．某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO＝8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圓錐的底面積是（）平方米．A.9πB.16πC.25πD.36π3．某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示，為了美化環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形各頂點(diǎn)為圓心，2m長(zhǎng)為半徑的扇形區(qū)域內(nèi)（陰影部分）種上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是（）A．6πm2B．5πm2C．4πm2D．3πcm24．如圖所示，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)SKIPIF1<0，則圖中陰影部分的面積是（）A．6πB．5πC．4πD．3π5．如圖所示，從一個(gè)直徑為2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、填空題7．若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是18π，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的底面圓半徑是________．8．如圖，已知⊙O是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的面積為________．9．如圖是一條水平鋪設(shè)的直徑為2米的通水管道橫截面，其水面寬為1.6米，則這條管道中此時(shí)水最深為__________米．10．將半徑為10cm，弧長(zhǎng)為12π的扇形圍成圓錐(接縫忽略不計(jì))，那么圓錐的母線與圓錐高的夾角的余弦值是________．11．如圖所示是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm．在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA＝2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離為________cm．12．如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a，按此規(guī)律，則第n個(gè)正多邊形的面積為．三、解答題13．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連結(jié)EF、EO，若DE＝SKIPIF1<0，∠DPA＝45°．(1)求⊙O的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．14.如圖AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．(1)判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．15．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，弦CE⊥AB于F，C是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q．(1)求證：P是△ACQ的外心；(2)若SKIPIF1<0，CF＝8，求CQ的長(zhǎng)；(3)求證：(FP+PQ)2＝FP·FG．16.如圖，圓O的半徑為r．（1）在圖①中，畫出圓O的內(nèi)接正△ABC，簡(jiǎn)要寫出畫法；求出這個(gè)正三角形的周長(zhǎng)．（2）在圖②中，畫出圓O的內(nèi)接矩形ABCD，簡(jiǎn)要寫出畫法；若設(shè)AB=x，則矩形的周長(zhǎng)為．（3）如圖③，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為r（常數(shù)）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．設(shè)AB=x，求六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并探究L是否有最大值，若有，請(qǐng)指出x為何值時(shí)，L取得最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．答案與解析一、選擇題

1.【答案】D；【解析】圓錐的底面周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以它的側(cè)面展開圖的圓心角是SKIPIF1<0．2.【答案】D；【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，AO＝8，所以BO＝6，所以圓錐的底面積是SKIPIF1<0．3.【答案】A；【解析】五個(gè)扇形的半徑都為2cm，設(shè)其圓心角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則無法直接利用扇形面積公式求解，可以整體考慮，SKIPIF1<0邊形形內(nèi)角和＝(5-2)×180°＝540°，∴SKIPIF1<0．4.【答案】A；【解析】如果分別求SⅠ和SⅢ得陰影面積則很復(fù)雜，由旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，易得SⅠ＝SⅡ，∴SKIPIF1<0．5.【答案】B；【解析】要求圍成的圓錐的底面圓半徑，只要求出扇形ABC中BC的弧長(zhǎng)，該弧長(zhǎng)即為圍成的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)周長(zhǎng)即可以求出半徑．∵直徑為2，∠BAC＝60°∴AC＝SKIPIF1<0，∴BC的弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0，設(shè)底面圓的半徑為r，則由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．6.【答案】D；【解析】連結(jié)OE1，OD1，OD2，如圖，∵六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1為等邊三角形，∵正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長(zhǎng)=×2，同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長(zhǎng)=（）2×2，則正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)=（）9×2=．故選D．二、填空題7．【答案】3；【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，側(cè)面展開圖半圓弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0，圓錐底面積半徑為r，則有：SKIPIF1<0．∴R2＝36，R＝6．又SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴2πr＝6π，r＝3．8．【答案】SKIPIF1<0；【解析】設(shè)⊙O與BC切于D點(diǎn)，連接OD，OC．在Rt△ODC中，SKIPIF1<0．∠OCD＝30°．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．9．【答案】0.4；【解析】如圖，過O作OC⊥AB于C，并延長(zhǎng)并SKIPIF1<0于D．在Rt△OBC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴CD＝OD-OC＝1-0.6＝0.4(米)．10．【答案】SKIPIF1<0；【解析】如圖，因?yàn)?πR＝12π，所以R＝6．由勾股定理，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．11．【答案】SKIPIF1<0；【解析】底圓周長(zhǎng)為2πr＝10π，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形所對(duì)圓心角為n°，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴n＝180°，如圖所示，F(xiàn)A＝2，OA＝8，在Rt△OEA中由勾股定理可得EA即為所求最短距離．∴SKIPIF1<0．12．【答案】a；【解析】第一個(gè)：正多邊形的面積等于a；第二個(gè)：如圖作AE⊥BD于E，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，∵正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120°，∴∠ABE=30°，則AE=1，BE=，△ABD的面積為：×2×1=，a=2×2=4，∴正六邊形的面積為：a，第三個(gè)：如圖，∵正八邊形的一個(gè)內(nèi)角為135°，∴∠ABD=45°，設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為2，則BD=AD=，△ABD的面積為1，四邊形ABEF的面積為1+2+1=2+2，a=2×（2+2）=4+4，∴正八邊形的面積為2a，通過計(jì)算可以看出：第n個(gè)正多邊形的面積為a．三、解答題13.【答案與解析】（1）∵直徑AB⊥DE，∴SKIPIF1<0．∵DE平分半徑OA，∴SKIPIF1<0．在Rt△OCE中，∵∠CEO＝30°．∴OE＝2．即⊙O的半徑為2．（2）連OF，在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°．∠D＝90°-45°＝45°∴∠EOF＝2∠D＝90°．∵SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．14.【答案與解析】解：(1)直線CD與⊙O相切．如圖，連接OD．∵OA＝OD，∠DAB＝45°，∴∠ODA＝45°．∴∠AOD＝90°．∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD．又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴直線CD與⊙O相切．(2)∵BC∥AD，CD∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴CD＝AB＝2．∴SKIPIF1<0．∴圖中陰影部分的面積等于SKIPIF1<0．15.【答案與解析】(1)證明：∵C是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0．∴∠CAD＝∠ABC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴∠CAD+∠AQC＝90°．又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ＝90°．∴∠AQC＝∠PCQ．∴在△PCQ中，有PC＝PQ．∵CE⊥直徑AB，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴∠CAD＝∠ACE．∴在△APC中，有PA＝PC．∴PA＝PC＝PQ．∴P是△ACQ的外心．(2)解：∵CE⊥直徑AB于F，∴在Rt△BCF中，由SKIPIF1<0，CF＝8，得SKI