有限元課件第4講等參元和高斯積分市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第4講等參單元和數(shù)值積分第1頁第1頁實(shí)際問題經(jīng)常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整單元來迫近原問題。直接研究這些不規(guī)整單元表示式比較困難（在總體坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)位移插值函數(shù)，則計(jì)算形狀函數(shù)矩陣、單元?jiǎng)偠染仃嚰暗刃Ч?jié)點(diǎn)載荷列陣時(shí)十分冗繁）。事實(shí)上，形狀不規(guī)整單元和形狀規(guī)整單元（矩形單元、正六面體單元）能夠建立一個(gè)映射關(guān)系，使得物理坐標(biāo)系中整體坐標(biāo)和自然坐標(biāo)系中局部坐標(biāo)一一相應(yīng)。等參單元提出為有限元法成為當(dāng)代工程實(shí)際領(lǐng)域最有效數(shù)值分析辦法邁出了極為主要一步。第2頁第2頁4.1等參單元簡(jiǎn)樸桿系問題分析新路徑等參單元定義給出平面問題四邊形等參單元計(jì)算公式三維問題六面體等參單元計(jì)算公式采用等參單元長(zhǎng)處第3頁第3頁簡(jiǎn)樸桿系問題分析之新路徑途經(jīng)1：在整體直角坐標(biāo)系下進(jìn)行單元分析（參看第3講內(nèi)容）路徑2：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析第4頁第4頁直角坐標(biāo)系(x,y,z)極坐標(biāo)(r,)，2維球坐標(biāo)系(r,θ,)柱坐標(biāo)系

(,,z)自然坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)系第5頁第5頁自然坐標(biāo)系:選軌跡上任一點(diǎn)O為原點(diǎn)用軌跡長(zhǎng)度S描寫質(zhì)點(diǎn)位置OmS質(zhì)點(diǎn)沿切線邁進(jìn)方向單位矢量為切向單位矢量(tangentialunitvector)

質(zhì)點(diǎn)與切向正交且指向軌跡曲線凹側(cè)

單位矢量為法向單位矢量(normalunitvector)

第6頁第6頁當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí)，通常采用自然法擬定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、速度、加速度。在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)速度，是非常簡(jiǎn)樸，由于無論質(zhì)點(diǎn)處于什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。第7頁第7頁新路徑：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析坐標(biāo)插值函數(shù)：局部自然坐標(biāo)和整體直角坐標(biāo)能夠建立一個(gè)映射關(guān)系節(jié)點(diǎn)條件：xixj第8頁第8頁單元內(nèi)坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值表示局部坐標(biāo)到物理坐標(biāo)變換第9頁第9頁單元位移函數(shù)：節(jié)點(diǎn)條件：第10頁第10頁觀測(cè)：?jiǎn)卧獛缀巫鴺?biāo)與位移用同樣節(jié)點(diǎn)和相同形狀函數(shù)通過插值方式表示。

形狀函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出，表示式很簡(jiǎn)樸第11頁第11頁第12頁第12頁單元應(yīng)變能：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨?3頁第13頁單元外力功等效節(jié)點(diǎn)力對(duì)于本例自然坐標(biāo)系下分析結(jié)果與整體直角坐標(biāo)系下分析結(jié)果完全相同。忽略單元間作用力第14頁第14頁等參單元定義給出等參單元：用同樣節(jié)點(diǎn)和相同形狀函數(shù)通過插值方式表示出單元幾何坐標(biāo)與位移單元，稱為等參單元。假如坐標(biāo)變換節(jié)點(diǎn)數(shù)多于位移插值節(jié)點(diǎn)數(shù)，稱為超參變換。反之，假如坐標(biāo)變換節(jié)點(diǎn)數(shù)少于位移插值節(jié)點(diǎn)數(shù)，則稱為亞參變換。等參單元插值函數(shù)用自然坐標(biāo)給出。第15頁第15頁平面問題四邊形等參單元推導(dǎo)整體直角坐標(biāo)單元局部自然坐標(biāo)（普通四邊形）（規(guī)格化矩形）映射坐標(biāo)映射第16頁第16頁映射節(jié)點(diǎn)條件：結(jié)構(gòu)插值函數(shù)第17頁第17頁第18頁第18頁第19頁第19頁節(jié)點(diǎn)條件：位移函數(shù)第20頁第20頁同理可得：第21頁第21頁第22頁第22頁單元幾何坐標(biāo)與位移用同樣節(jié)點(diǎn)和相同形狀函數(shù)通過插值方式表示。形狀函數(shù)用自然坐標(biāo)給出。第23頁第23頁?第24頁第24頁偏導(dǎo)數(shù)變換雅可比矩陣：第25頁第25頁第26頁第26頁四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點(diǎn)

不能出現(xiàn)內(nèi)角不小于180o情況

內(nèi)角最好介于30o-150o之間（有限變形情況）避免出現(xiàn)第27頁第27頁三維問題六面體等參單元計(jì)算公式第28頁第28頁第29頁第29頁第30頁第30頁采用等參單元長(zhǎng)處借助于等參元能夠?qū)τ谄胀ㄈ我鈳缀涡螤罟こ虇栴}以便地進(jìn)行有限元離散。等參元插值函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出，等參元一切計(jì)算都是在自然坐標(biāo)系中規(guī)格化母單元內(nèi)進(jìn)行，相關(guān)運(yùn)算大大簡(jiǎn)化。無論各個(gè)積分形式矩陣被積函數(shù)如何復(fù)雜，都能夠采用原則化數(shù)值積分辦法計(jì)算，從而使工程問題有限元分析納入了統(tǒng)一通用化程序。第31頁第31頁4.2數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分及其基本思想Newton-cotes積分公式Gauss-Legendre積分公式等參元中積分階次選擇第32頁第32頁關(guān)于數(shù)值積分計(jì)算剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣元素時(shí)，往往涉及到復(fù)雜函數(shù)定積分，在有限元分析中廣泛采用數(shù)值積分辦法。數(shù)值積分辦法是一個(gè)近似辦法。一個(gè)函數(shù)定積分能夠通過n個(gè)結(jié)點(diǎn)函數(shù)值加權(quán)組合來表示第33頁第33頁數(shù)值積分基本思想第34頁第34頁求積公式—插值法至少含有n-1次代數(shù)精度第35頁第35頁Newton-cotes求積公式假如n個(gè)結(jié)點(diǎn)等距分布，則前面插值型求積公式稱為Newton-cotes求積公式。Newton-cotes求積公式含有n-1次代數(shù)精度幾種慣用求積公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2第36頁第36頁Gauss-Legendre求積公式n個(gè)插值結(jié)點(diǎn)非等距分布結(jié)點(diǎn)和積分權(quán)系數(shù)能夠查表第37頁第37頁高斯積分辦法預(yù)先定義了積分點(diǎn)和相應(yīng)加權(quán)系數(shù)，求出被積分函數(shù)在指定積分點(diǎn)上數(shù)值，加權(quán)后求和，就得到了該函數(shù)積分。高斯積分辦法含有最高計(jì)算精度。采用n個(gè)積分點(diǎn)高斯積分能夠達(dá)到2n-1階精度，也就是說，假如被積分函數(shù)是2n-1次多項(xiàng)式，用n個(gè)積分點(diǎn)高斯積分能夠得到準(zhǔn)確積分結(jié)果。第38頁第38頁等參元高斯求積公式普通形式第39頁第39頁等參元中積分階次選擇積分階次選擇直接影響計(jì)算精度和計(jì)算工