黑龍江省綏化市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(理科)(A卷)含解析_第1頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精黑龍江省綏化市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(理科)(A卷)含解析2019—2020學(xué)年綏化市高二第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(A卷)一、選擇題(共12小題)。1.設(shè)集合U={x|1≤x≤10,x∈Z},A={1,3,5,7,8},B={2,4,6,8},則(?UA)∩B=()A.{2,4,6,7} B.{2,4,5,9} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,}2.已知z=(1+i)(2﹣i),則|z|2=()A.2+i B.3+i C.5 D.103.函數(shù)f(x)=+的定義域為()A.[﹣2,0)∪(0,2] B.(﹣1,0)∪(0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣1,2]4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+<n(n∈N*,n>1)時,第一步應(yīng)驗證不等式()A. B. C. D.5.已知f(x)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)可以是()A.f(x)=x4﹣2x2 B.f(x)= C.f(x)=xsinx D.f(x)=+cosx6.一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨立的加工工序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則產(chǎn)品的正品率為()A.1﹣a﹣b B.1﹣a?b C.(1﹣a)?(1﹣b) D.1﹣(1﹣a)?(1﹣b)7.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0。9,則P(2<X<4)=()A.0。2 B.0.3 C.0.4 D.0。68.給出下列命題:①命題“若b2﹣4ac<0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實根”的否命題;②命題“在△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC為等邊三角形”的逆命題;③命題“若a>b>0,則"的逆否命題;④“若m≥1,則mx2﹣2(m+1)x+(m+3)≥0的解集為R”的逆命題;其中真命題的序號為()A.①②③④ B.①②④ C.②④ D.①②③9.已知函數(shù)f(x)=,且f(a)=﹣3,則f(6﹣a)=()A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣10.已知a=21.2,b=()﹣0。8,c=ln2,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a11.已知x、y的取值如下表所示:x0134y2。24.34。86.7若從散點圖分析,y與x線性相關(guān),且=0.95x+,則的值等于()A.2.6 B.6。3 C.2 D.4.512.f(x)的定義域為R,且f(x)=,若方程f(x)=x+a有兩不同實根,則a的取值范圍為()A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(0,1) D.(﹣∞,+∞)二.填空題(共4題,每題5分)13.命題“?x0∈R,4x02﹣ax0+1<0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是.14.設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=i)=,i=1,2,3,則P(X=2)=.15.定義在(﹣1,1)上的函數(shù)f(x)=﹣3x+sinx,如果f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0,則實數(shù)a的取值范圍為.16.點P(1,0)到曲線(其中參數(shù)t∈R)上的點的最短距離為.三.解答題(共6道題17題10分其余各題12分滿分70分)17.已知復(fù)數(shù)z=,求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點,到點(﹣1,2)的距離.18.在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為(ρ∈R).以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).(1)請寫出直線l的參數(shù)方程;(2)求直線l與曲線C交點P的直角坐標(biāo).19.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.(Ⅰ)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.20.某公司為了提高某產(chǎn)品的收益,向各地作了廣告推廣,同時廣告對銷售收益也有影響,在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用,并將各地區(qū)的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),且擬定一個合理的收益標(biāo)準(zhǔn)t(百萬元),由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,計算圖中各小長方形的寬度;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,若該公司想使74%的地區(qū)的銷售收益超過標(biāo)準(zhǔn)t(百萬元),估計t的值;(3)按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:廣告投入x(單位:萬元)12345銷售收益y(單位:百萬元)23257表中的數(shù)據(jù)顯示,x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,計算y關(guān)于x的回歸方程.(回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,).21.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.22.為了搞好某運動會的接待工作,組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者,調(diào)查發(fā)現(xiàn),男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運動,其余人不喜愛運動.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如表2×2列聯(lián)表:喜愛運動不喜愛運動總計男1016女614總計30(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與喜愛運動有關(guān)?(3)如果從喜歡運動的女志愿者中(其中恰有4人會外語),抽取2名負(fù)責(zé)翻譯工作,那么抽出的志愿者中至少有1人能勝任翻譯工作的概率是多少?附:P(K2≥k)0.0500.0100。001k3.8416。63510。828K2=.

參考答案一.選擇題(共12小題,每題5分)1.設(shè)集合U={x|1≤x≤10,x∈Z},A={1,3,5,7,8},B={2,4,6,8},則(?UA)∩B=()A.{2,4,6,7} B.{2,4,5,9} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,}【分析】先求出?UA={2,4,6,9,10},由此能求出(?UA)∩B.解:∵集合U={x|1≤x≤10,x∈Z}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={1,3,5,7,8},B={2,4,6,8},∴?UA={2,4,6,9,10},∴(?UA)∩B={2,4,6}.故選:D.2.已知z=(1+i)(2﹣i),則|z|2=()A.2+i B.3+i C.5 D.10【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.解:由z=(1+i)(2﹣i)=3+i,得|z|2=.故選:D.3.函數(shù)f(x)=+的定義域為()A.[﹣2,0)∪(0,2] B.(﹣1,0)∪(0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣1,2]【分析】分式的分母不為0,對數(shù)的真數(shù)大于0,被開方數(shù)非負(fù),解出函數(shù)的定義域.解:要使函數(shù)有意義,必須:,所以x∈(﹣1,0)∪(0,2].所以函數(shù)的定義域為:(﹣1,0)∪(0,2].故選:B.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+<n(n∈N*,n>1)時,第一步應(yīng)驗證不等式()A. B. C. D.【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫出n=2時左邊的表達(dá)式即可.解:用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N+,n>1)時,第一步應(yīng)驗證不等式為:;故選:B.5.已知f(x)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)可以是()A.f(x)=x4﹣2x2 B.f(x)= C.f(x)=xsinx D.f(x)=+cosx【分析】根據(jù)題意,依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,綜合即可得答案.解:根據(jù)題意,依次分析選項:對于A,f(x)=x4﹣2x2,其定義域為R,有f(﹣x)=x4﹣2x2=f(x),是偶函數(shù),其導(dǎo)數(shù)f′(x)=4x3﹣4x=4x(x2﹣1),在區(qū)間(0,1)上,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù),不符合題意;對于B,f(x)=,其定義域為R,有f(﹣x)==f(x),是偶函數(shù),其導(dǎo)數(shù)f′(x)=,在區(qū)間(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),符合題意;對于C,f(x)=xsinx,其定義域為R,有f(﹣x)=(﹣x)sin(﹣x)=xsinx=f(x),是偶函數(shù),有f()=>0,但f()=﹣<0,在(0,+∞)上不是增函數(shù),不符合題意;對于D,(x)=+cosx,其定義域為R,有f(﹣x)=(﹣x)2+cos(﹣x)=+cosx=f(x),是偶函數(shù),有f(0)=1,f()=+<1,在(0,+∞)上不是增函數(shù),不符合題意;故選:B.6.一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨立的加工工序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則產(chǎn)品的正品率為()A.1﹣a﹣b B.1﹣a?b C.(1﹣a)?(1﹣b) D.1﹣(1﹣a)?(1﹣b)【分析】經(jīng)過這每道工序出來的產(chǎn)品是否為正品,是相互獨立的,第一道工序的正品率為1﹣a,第二道工序的正品率為1﹣b,再利用相互獨立事件的概率乘法公式求得產(chǎn)品的正品率.解:由題意可得,當(dāng)經(jīng)過這第一道工序出來的產(chǎn)品是正品,且經(jīng)過這第二道工序出來的產(chǎn)品也是正品時,得到的產(chǎn)品才是正品.經(jīng)過這每道工序出來的產(chǎn)品是否為正品,是相互獨立的.第一道工序的正品率為1﹣a,第二道工序的正品率為1﹣b,故產(chǎn)品的正品率為(1﹣a)?(1﹣b),故選:C.7.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0。9,則P(2<X<4)=()A.0.2 B.0。3 C.0。4 D.0.6【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可得P(0<X<2)=P(2<X<4),結(jié)合P(X>0)=0.9,易求得結(jié)果.解:因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0。9,所以該正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=2,故P(X<2)=P(X>2)=0。5,所以P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)﹣P(X>2)=0.9﹣0。5=0。4.故選:C.8.給出下列命題:①命題“若b2﹣4ac<0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實根”的否命題;②命題“在△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC為等邊三角形"的逆命題;③命題“若a>b>0,則”的逆否命題;④“若m≥1,則mx2﹣2(m+1)x+(m+3)≥0的解集為R”的逆命題;其中真命題的序號為()A.①②③④ B.①②④ C.②④ D.①②③【分析】分別寫出命題的否命題、逆命題和逆否命題、逆命題,判斷真假即可得到結(jié)論.解:①命題“若b2﹣4ac<0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實根”的否命題為“若b2﹣4ac≥0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根”,故①正確;②命題“在△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC為等邊三角形”的逆命題為“若△ABC為等邊三角形,可得AB=BC=CA”,故②正確;③命題“若a>b>0,則”正確,其逆否命題與原命題等價,故③正確;④“若m≥1,則mx2﹣2(m+1)x+(m+3)≥0的解集為R”的逆命題為“若mx2﹣2(m+1)x+(m+3)≥0的解集為R,則m≥1”由m=0,可得﹣2x+3≥0不恒成立;由m>0,且△=4(m+1)2﹣4m(m+3)≤0,解得m≥1,故④正確.故選:A.9.已知函數(shù)f(x)=,且f(a)=﹣3,則f(6﹣a)=()A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣【分析】利用分段函數(shù),求出a,再求f(6﹣a).解:由題意,a≤1時,2α﹣1﹣2=﹣3,無解;a>1時,﹣log2(a+1)=﹣3,∴α=7,∴f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.故選:A.10.已知a=21。2,b=()﹣0.8,c=ln2,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.解:a=21。2>2>b=()﹣0.8,=20。8>1>c=ln2,故a>b>c,故選:B.11.已知x、y的取值如下表所示:x0134y2。24.34。86.7若從散點圖分析,y與x線性相關(guān),且=0.95x+,則的值等于()A.2。6 B.6.3 C.2 D.4。5【分析】首先求出這組數(shù)據(jù)的橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù),寫出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點,把樣本中心點代入線性回歸方程求出a的值解:∵=4。5,∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是(2,4.5)∵y與x線性相關(guān),且=0.95x+,∴4。5=0.95×2+a,∴a=2。6,故選:A.12.f(x)的定義域為R,且f(x)=,若方程f(x)=x+a有兩不同實根,則a的取值范圍為()A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(0,1) D.(﹣∞,+∞)【分析】由已知中函數(shù)的解析式,我們易分析出函數(shù)的圖象在Y軸右側(cè)呈周期性變化,結(jié)合函數(shù)在x≤0時的解析式,我們可以畫出函數(shù)的像,根據(jù)圖象易分析出滿足條件的a的取值范圍.解:x≤0時,f(x)=2﹣x﹣1,0<x≤1時,﹣1<x﹣1≤0,f(x)=f(x﹣1)=2﹣(x﹣1)﹣1.故x>0時,f(x)是周期函數(shù),如圖,欲使方程f(x)=x+a有兩解,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x+a有兩個不同交點,故a<1,則a的取值范圍是(﹣∞,1).故選:A.二.填空題(共4題,每題5分)13.命題“?x0∈R,4x02﹣ax0+1<0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是[﹣4,4].【分析】寫出特稱命題的否定,可得全稱命題為真命題,再由判別式小于等于0求解.解:命題“?x0∈R,4x02﹣ax0+1<0”為假命題,則其否定“?x∈R,4x2﹣ax+1≥0”為真命題,∴△=a2﹣16≤0,可得﹣4≤a≤4.∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣4,4].故答案為:[﹣4,4].14.設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=i)=,i=1,2,3,則P(X=2)=.【分析】由分布列的性質(zhì)得=1,從而求出a=3,由此能求出P(X=2).解:∵隨機變量X的分布列為P(X=i)=,i=1,2,3,∴=1,解得a=3,∴P(X=2)==.故答案為:.15.定義在(﹣1,1)上的函數(shù)f(x)=﹣3x+sinx,如果f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0,則實數(shù)a的取值范圍為(1,).【分析】先求出函數(shù)是奇函數(shù)且是減函數(shù),從而得到1﹣a<a2﹣1,結(jié)合函數(shù)的定義域,從而求出a的范圍.解:∵f(﹣x)=3x﹣sinx=﹣(3x+sinx)=﹣f(x),是奇函數(shù),又f′(x)=﹣3+cosx<0,是減函數(shù),若f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0,則f(1﹣a)>f(a2﹣1),則1﹣a<a2﹣1,解得:a>1或a<﹣2,由,解得:0<a<,綜上:1<a<,故答案為:(1,).16.點P(1,0)到曲線(其中參數(shù)t∈R)上的點的最短距離為1.【分析】設(shè)曲線(其中參數(shù)t∈R)上的任意一點Q(t2,2t),利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.解:設(shè)曲線(其中參數(shù)t∈R)上的任意一點Q(t2,2t),則|PQ|==t2+1≥0,當(dāng)t=0時,取等號.∴要求的最短距離為1.故答案為:1.三.解答題(共6道題17題10分其余各題12分滿分70分)17.已知復(fù)數(shù)z=,求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點,到點(﹣1,2)的距離.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義以及兩點間的距離公式進行計算即可.解:因為z====2﹣i,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,﹣1),到點(﹣1,2)的距離為==3,18.在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為(ρ∈R).以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).(1)請寫出直線l的參數(shù)方程;(2)求直線l與曲線C交點P的直角坐標(biāo).【分析】(1)直線l的極坐標(biāo)方程為(ρ∈R).利用傾斜角可得直線l的參數(shù)方程.(2)曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),可得普通方程:y=1﹣[1﹣2],化為:x2=2y.把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)).化為普通方程:y=x.聯(lián)立,解得直線l與曲線C交點P的直角坐標(biāo).解:(1)直線l的極坐標(biāo)方程為(ρ∈R).可得直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)).(2)曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),可得普通方程:y=1﹣[1﹣2],化為:x2=2y.把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)).化為普通方程:y=x.聯(lián)立,解得:x=0,y=0.或x=2,y=6.∴直線l與曲線C交點P的直角坐標(biāo)為(0,0)或(2,6).19.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.(Ⅰ)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2",求事件M發(fā)生的概率.【分析】(I)甲上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為,故X~B(),可求分布列及期望;(II)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30到校的天數(shù)為Y,則Y~B(3,),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0},由題意知{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且{X=3}與{Y=1},{X=2}與{Y=0}相互獨立,利用相互對立事件的個概率公式可求解:(I)甲上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為,故X~B(3,),從而P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以,隨機變量X的分布列為:X0123P隨機變量X的期望E(X)=3×=2.(II)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30到校的天數(shù)為Y,則Y~B(3,),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0},由題意知{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且{X=3}與{Y=1},{X=2}與{Y=0}相互獨立,由(I)知,P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}=P({X=3,Y=1}+P{X=2,Y=0}=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)==20.某公司為了提高某產(chǎn)品的收益,向各地作了廣告推廣,同時廣告對銷售收益也有影響,在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用,并將各地區(qū)的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),且擬定一個合理的收益標(biāo)準(zhǔn)t(百萬元),由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,計算圖中各小長方形的寬度;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,若該公司想使74%的地區(qū)的銷售收益超過標(biāo)準(zhǔn)t(百萬元),估計t的值;(3)按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:廣告投入x(單位:萬元)12345銷售收益y(單位:百萬元)23257表中的數(shù)據(jù)顯示,x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,計算y關(guān)于x的回歸方程.(回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,).【分析】(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可計算圖中各小長方形的寬度;(Ⅱ)根據(jù)長方形的面積表示概率,得到關(guān)于t的方程,解出即可;(Ⅲ)求出回歸系數(shù),即可得出結(jié)論.解:(Ⅰ)設(shè)各小長方形的寬度為m,由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可知(0。08+0。1+0。14+0.12+0.04+0.02)?m=0.5m=1,故m=2;…(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小組依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],1﹣0。74=0。26,由估計值是t百萬元,得0。08×2+(t﹣2)×0。1=0.26,解得:t=3,…(Ⅲ)由題意可知,=(1+2+3+4+5)=3,=(2+3+2+5+7)=3.8,xiyi=1×2+2×3+3×2+4×5+5×7=69,=12+22+32+42+52=55,根據(jù)公式,可求得==1.2,=3。8﹣1.2×3=0.2,即回歸直線的方程為=1.2x+0.2.…21.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.【分析】(Ⅰ)利用分層抽樣,通過抽樣比求解應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取人數(shù);(Ⅱ)若(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),的可能值,求出概率,得到隨機變量X的分布列,然后求解數(shù)學(xué)期望;(ii)利用互斥事件的概率求解即可.解:(Ⅰ)單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.人數(shù)比為:3:2:2,從中抽取7人現(xiàn)

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