應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析

1/1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析第8章典型習(xí)題解析

1.試畫出下圖所示簡支梁A點(diǎn)處的原始單元體。

圖8.1

解：（1）原始單元體要求其六個(gè)截面上的應(yīng)力應(yīng)已知或可利用公式直接計(jì)算，因此應(yīng)選取如下三對(duì)平面：A點(diǎn)左右側(cè)的橫截面，此對(duì)截面上的應(yīng)力可直接計(jì)算得到；與梁xy平面平行的一對(duì)平面，其中靠前的平面是自由表面，所以該對(duì)平面應(yīng)力均為零。再取A點(diǎn)偏上和偏下的一對(duì)與xz平行的平面。截取出的單元體如圖(d)所示。(2)分析單元體各面上的應(yīng)力:

A點(diǎn)偏右橫截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力如圖(b)、(c)所示，將A點(diǎn)的坐標(biāo)x、y代入正應(yīng)力和切應(yīng)力公式得A點(diǎn)單元體左右側(cè)面的應(yīng)力為：

zMyIσ=b

IQSzz

*=

τ

由切應(yīng)力互等定律知,單元體的上下面有切應(yīng)力τ；前后邊面為自由表面，應(yīng)力為零。在單元體各面上畫上應(yīng)力，得到A點(diǎn)單元體如圖(d)。

2.圖(a)所示的單元體,試求（1）圖示斜截面上的應(yīng)力;（2）主方向和主應(yīng)力，畫出主單元體;（3）主切應(yīng)力作用平面的位置及該平面上的正應(yīng)力，并畫出該單元體。解：（1）求斜截面上的正應(yīng)力

?30－σ和切應(yīng)力?30－τ

由公式

MPa5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=??++-=

?-σ

MPa95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=?--+?=

?-τ

（2）求主方向及主應(yīng)力

8

.010050120

22tan-==--

=yxxσστα?-=66.382α

?=?

-=67.7033.1921αα

最大主應(yīng)力在第一象限中，對(duì)應(yīng)的角度為

070.67α=?，主應(yīng)力的大小為

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa22σ=

??--??=－＋－－＋

由

yxσσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPaxyασσσσ=+=-+-=-－

因有一個(gè)為零的主應(yīng)力，因此

)33.19(MPa

0.7133?--＝第三主方向＝ασ

畫出主單元體如圖8.2(b)。

（3）主切應(yīng)力作用面的法線方向

25

.1120100

502tan==

'α?='34.512α

?='?

='67.11567.2521αα

主切應(yīng)力為

'

2

'

1

MPa04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=?-+?--=

此兩截面上的正應(yīng)力為

MPa0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=?--?--++-=

'ασ

MPa0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=?--?--++-=

'ασ

主切應(yīng)力單元體如圖所示。

由

y

xMPaσσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性。

3.試用圖形解析法，重解例2。解：（1）畫應(yīng)力圓

建立比例尺，畫坐標(biāo)軸τσ、。對(duì)圖(a)所示單元體，在τσ

-平面上畫出代表xxτσ、的點(diǎn)A(-50,-60)和代表

yyτσ、的點(diǎn)B(100,60)。連接A、B，與水平軸σ交于C點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心，CB（或CA）

為半徑，作應(yīng)力圓如圖所示.

(2)斜截面上的應(yīng)力

在應(yīng)力圓上自A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過?60，到達(dá)G點(diǎn)。G點(diǎn)在τσ、坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)即為該斜截面上的應(yīng)力，從應(yīng)力圓上可直接用比例尺測量或計(jì)算得到G點(diǎn)的水平和垂直坐標(biāo)值：

64.5ασ=-MPa

τ

α

=34.95MPa

(3)主方向、主應(yīng)力及主單元體

圖所示應(yīng)力圓圖上H點(diǎn)橫坐標(biāo)OH為第一主應(yīng)力，即

1121.04MPaOHσ==

K點(diǎn)的橫坐標(biāo)OK為第三主應(yīng)力，即

371.04MPaOKσ==-

由應(yīng)力圓圖上可以看出，由B點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過02α為第一主方向，在單元體上則為由y

軸順時(shí)針轉(zhuǎn)

0α，且

00238.66,19.33αα=?=?

應(yīng)力圓圖上由A順時(shí)針轉(zhuǎn)到K點(diǎn)(?=∠66.38ACK)，則在單元體上由x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過?33.19為第三主方向,畫出主單元體仍如圖(b)所示。

（4）主切應(yīng)力作用面的位置及其上的應(yīng)力

圖所示應(yīng)力圓上N、P點(diǎn)分別表示主切應(yīng)力作用面的相對(duì)方位及其上的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上由B到N，逆時(shí)針轉(zhuǎn)過?34.51，單元體上maxτ作用面的外法線方向?yàn)橛蓎

軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過?67.25，且

MPa04.96minmax==-=CBττ

minmaxττ和作用面上的正應(yīng)力均為25MPa,主切應(yīng)力作用面的單元體仍如圖(c)所示。

4.如圖所示兩端封閉的薄壁筒同時(shí)承受內(nèi)壓強(qiáng)p和外力矩m的作用。在圓筒表面a點(diǎn)用應(yīng)變儀測出與x軸分別成正負(fù)45?方向兩個(gè)微小線段ab和ac的的應(yīng)變?chǔ)?5?＝629.4×10–6

，ε–45?＝－66.9×10–6

，試求壓強(qiáng)P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直徑d＝200mm，厚度t＝10mm，E＝200GPa，泊松比μ＝0.25。

解：（1）a點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài),在a點(diǎn)取出如圖(c)所示的原始單元體，其上應(yīng)力：

22,,42xyxpdpdm

ttdtσστπ=

==-

（2）求圖8.4(c)斜單元體efgh各面上的正應(yīng)力：

245245

32283228xy

xxyxpdm

tdtpdmtdtσσστπσσστπ-+=-=

+

+=+=-

（3）利用胡克定律，列出應(yīng)變?chǔ)?5?、ε–45?表達(dá)式

()()()()()()2454545245454511321181132118pdmEEtdtpdmEEtdtεσμσμμπεσμσμμπ??=

-=-++??????-=-+????＝

-

將給定數(shù)據(jù)代入上式

6

6

3213200210629.4100.751.252001081020010pmπ-?????=??+??

?????

6

6

321320021066.9100.751.252001081020010pmπ-????-?=??-??

?????

得內(nèi)壓強(qiáng)和外力矩

p＝10MPa，m＝35kNm

5.直徑d=20mm、L=2m的圓截面桿,受力如圖。試?yán)L桿件中A點(diǎn)和B點(diǎn)的單元體受力圖,算出單元體上的應(yīng)力的數(shù)值,并確定這些點(diǎn)是否為危險(xiǎn)點(diǎn)。

（c）

(a)（b）（d）

解：以下圖為圖各單元體受力圖：

應(yīng)力計(jì)算:

圖（a）的A點(diǎn):

aN

63.69MPAσ=

=-

圖（b）的A點(diǎn):

a

3

80

50.96MPd

16

τ=

=π圖（c）的A點(diǎn):

aN

127.38MPAσ=

=

B點(diǎn)

:

點(diǎn)

A點(diǎn)

A點(diǎn)

A)

(a)

(c)

(b點(diǎn)

B)

(d點(diǎn)

Bτ

τ

τ

aN

127.38MPAσ=

=,a

38050.96MPd16

τ==π圖（d）中A點(diǎn)(壓應(yīng)力):

3

a

33z

M201025.48MP1W3.14(2010)32

-?σ===???B點(diǎn):

*za

zQS4Q0.17MPIb3Aτ===

(b）中的A為危險(xiǎn)點(diǎn)，（c）中的A、B為危險(xiǎn)點(diǎn)，（d）中的A，B點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn),相比之下A點(diǎn)的應(yīng)力較大。

6.已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示(應(yīng)力單位:MPa)。試用圖解法求:

(1)(a)、(b)中指定斜截面上的應(yīng)力;并用解析法校核之;

(2)(c)、(d)、(e)上主應(yīng)力的大小與方向,在單元體上畫出主平面的位置,求最大切應(yīng)力。

(a)300

斜截面單元本;(b)450

斜截面單元體;(c)純切應(yīng)力單元體;(d)壓拉切單元體(e)拉壓切單元體。

解：(a)按比例畫出應(yīng)力圓如下圖,可得α=300

的斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為E點(diǎn)的坐標(biāo)為

30a

45MP?σ=

30a

8.5MP?τ=

解析法校核：

xyxy

xa

xyxa

30505030

cos2sin2cos6045MP22225030sin2cos28.5MP22αασ+σσ-σ+-σ=

+

α-τα=

+=σ-σ-τ=α+τα===(b)用比例畫出應(yīng)力圓,E點(diǎn)的坐標(biāo)為

45a

5MP?σ=

45a

25MP?τ=

解析法校核：

xyxy

xaxy

xa5050cos2sin2cos9020sin905MP22

22

50

sin2cos2sin9025MP2

2

αασ+σσ-σσ=+

α-τα=

+-=σ-στ=

α+τα=

?=

(c）應(yīng)力圓如下圖,與σ軸的交點(diǎn)即為主應(yīng)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得

兩個(gè)主應(yīng)力之值分別為：

11a232a

OA50MP,0,OA50MPσ==σ=σ==-

主平面的方位可由應(yīng)力圓上量得,因

112DOA90

?=∠=-

最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為(從D1到A1是順時(shí)針轉(zhuǎn)的):

45

?=-

13

maxa

50MP2σ-στ=

=最大切力；

(d）應(yīng)力圓與σ軸的交點(diǎn)即為主應(yīng)力得應(yīng)點(diǎn)，從應(yīng)力圖上可按比例直接量得兩個(gè)主應(yīng)力之值分別為：

11a

22a3OA70MPOA30MP,0σ==σ==σ=最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為(可由應(yīng)力圓上得):

12FCA