2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第2節(jié)兩條直線的位置關(guān)系教師用書文北師大版

PAGEPAGE7第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系[考綱]1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離．1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，假設(shè)其斜率分別為k1，k2，那么有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.(2)兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，那么有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.2．兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，那么l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，那么它們的斜率之積一定等于－1.()(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(4)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，假設(shè)直線l1⊥l2，那么A1A2＋B1B2(5)假設(shè)點(diǎn)P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點(diǎn)，那么P，Q兩點(diǎn)的最小距離就是兩條平行線的距離．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(教材改編)點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，那么a等于()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1C[由題意得eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq\r(2)，又a>0，∴a＝eq\r(2)－1.]3．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，那么直線l恒過定點(diǎn)________．(2，－2)[直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x＝2，y＝－2，所以直線l恒過定點(diǎn)(2，－2)．]4．直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.假設(shè)l1⊥l2，那么實(shí)數(shù)a的值為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482375】2[由eq\f(a,a－3)＝－2，得a＝2.]5．直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，那么它們之間的距離是________．2[∵eq\f(6,3)＝eq\f(m,4)≠eq\f(14,－3)，∴m＝8，直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，∴兩平行線之間的距離d＝eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.]兩條直線的平行與垂直(1)設(shè)a∈R，那么“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行〞的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2022·青島模擬)過點(diǎn)(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0(1)A(2)A[(1)當(dāng)a＝1時(shí)，顯然l1∥l2，假設(shè)l1∥l2，那么a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件．(2)直線x－2y＋3＝0的斜率為eq\f(1,2)，從而所求直線的斜率為－2.又直線過點(diǎn)(－1,3)，所以所求直線的方程為y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.][規(guī)律方法]1.判定直線間的位置關(guān)系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．2．在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可防止討論．另外當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，比例式eq\f(A1,A2)與eq\f(B1,B2)，eq\f(C1,C2)的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，有時(shí)比擬方便．[變式訓(xùn)練1]過點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.假設(shè)l1∥l2，l2⊥l3，那么實(shí)數(shù)m＋n的值為()A．－10 B．－2C．0 D．8A[∵l1∥l2，∴kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]兩直線的交點(diǎn)與距離問題(1)直線l過點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，那么直線l的方程為________．(2)過點(diǎn)P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482376】(1)x＋3y－5＝0或x＝－1[法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－eq\f(1,3)，直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1,4)，∴直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.](2)設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，那么直線l與l2的交點(diǎn)B(6－x0，－y0)，2分由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0－2＝0，,6－x0－y0＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(11,3)，,y0＝\f(16,3)，))6分即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)，\f(16,3)))，從而直線l的斜率k＝eq\f(\f(16,3)－0,\f(11,3)－3)＝8，10分直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.12分[規(guī)律方法]1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程；也可利用過交點(diǎn)的直線系方程，再求參數(shù)．2．利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．[變式訓(xùn)練2]假設(shè)直線l過點(diǎn)A(1，－1)與直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且|AB|＝5，求直線l的方程．[解]①過點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5，即直線l的方程為x＝1.4分②設(shè)過點(diǎn)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1，))得x＝eq\f(k＋7,k＋2)且y＝eq\f(4k－2,k＋2)(k≠－2，否那么l與l1平行)．那么B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).8分又A(1，－1)，且|AB|＝5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2＝52，解得k＝－eq\f(3,4).10分因此y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.12分對(duì)稱問題(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是________．(2)光線從A(－4，－2)點(diǎn)射出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(－1,6)，那么BC所在的直線方程是________．(1)y＝2x－3(2)10x－3y＋8＝0[(1)法一：在直線l上任取一點(diǎn)P′(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)P(2－x,2－y)必在直線y＝2x＋1上，∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.因此，直線l的方程為y＝2x－3.法二：由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0(c≠1)，那么點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等，∴eq\f(|2－1＋c|,\r(22＋1))＝eq\f(|2－1＋1|,\r(22＋1))，解得c＝－3.因此所求直線l的方程為y＝2x－3.法三：在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，那么點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)M(2,1)，B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)N(1，－1)．由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程為eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.(2)作出草圖，如下圖，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′，那么易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為eq\f(y－6,－4－6)＝eq\f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.][遷移探究1]在題(1)中“將結(jié)論〞改為“求點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)〞，那么結(jié)果如何？[解]設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，b)，2分那么AA′的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,2)，\f(1＋b,2)))，4分所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋b,2)＝2×\f(1＋a,2)＋1，,\f(b－1,a－1)×2＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,5)，,b＝\f(9,5)，))10分故點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(9,5))).12分[遷移探究2]在題(1)中“關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱〞改為“關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱〞，那么結(jié)果如何？[解]在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，那么點(diǎn)A關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M(1,0)，點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為N(3,1)，6分∴根據(jù)兩點(diǎn)式，得所求直線的方程為eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－3,1－3)，即x－2y－1＝0.12分[規(guī)律方法]1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將直線關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱．2．解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)問題，關(guān)鍵是要抓住兩點(diǎn)，一是點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．[變式訓(xùn)練3](2022·廣州模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0B[由題意得直線x－2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．在直線x－2y＋1＝0上取點(diǎn)A(－1,0)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為B(m，n)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m＋1)×－1＝－1，,\f(m－1,2)＋\f(n,2)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3.))故所求直線的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－1,2－1)，即2x－