2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.1平面向量的概念及線性運算真題演練集訓(xùn)理新人教A版

PAGEPAGE62022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.1平面向量的概念及線性運算真題演練集訓(xùn)理新人教A版1．[2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))D.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))答案：A解析：eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→)).應(yīng)選A.2．[2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，那么eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up16(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))C.eq\o(BC,\s\up16(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))答案：A解析：eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，應(yīng)選A.3．[2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]A，B，C為圓O上的三點，假設(shè)eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，那么eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))的夾角為________．答案：90°解析：∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，∴點O是△ABC邊BC的中點，∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝90°.課外拓展閱讀專題一平面向量與三角形問題的綜合[典例1]P是△ABC內(nèi)一點，且eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))，△PBC的面積是2015，那么△PAB的面積是________．[思路分析]△PBC，△PAB分別與△ABC共底邊于BC，AB，由平面幾何知識，將每組共底邊的三角形面積之比轉(zhuǎn)化為共底邊上的對應(yīng)高的比，即可得出面積關(guān)系，進(jìn)而計算出△PAB的面積．[解析]設(shè)S△ABC＝S，S△PBC＝S1＝2015，S△PAB＝S2.解法一：(恰當(dāng)切入，從“三點共線〞突破)如下圖，延長AP交BC于D，由平面幾何知識，得eq\f(S1,S)＝eq\f(|\o(PD,\s\up16(→))|,|\o(AD,\s\up16(→))|).由A，P，D三點共線，可得eq\o(AD,\s\up16(→))＝μeq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)μeq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)μeq\o(AC,\s\up16(→))(μ∈R)．①由B，D，C三點共線，可得eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up16(→))(λ∈R)．②聯(lián)立①和②，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3)μ，,1－λ＝\f(7,18)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,13)，,μ＝\f(18,13).))那么eq\o(AD,\s\up16(→))＝μeq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(18,13)eq\o(AP,\s\up16(→))，eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(5,13)eq\o(AP,\s\up16(→))，那么eq\f(|\o(PD,\s\up16(→))|,|\o(AD,\s\up16(→))|)＝eq\f(5,18)，于是S＝eq\f(18,5)S1.同理，延長CP交AB于E，計算可得eq\f(|\o(PE,\s\up16(→))|,|\o(CE,\s\up16(→))|)＝eq\f(7,18)，所以S2＝eq\f(7,18)S.于是S2＝eq\f(7,18)S＝eq\f(7,18)×eq\f(18,5)S1＝eq\f(7,5)S1＝eq\f(7,5)×2015＝2821.解法二：(巧妙構(gòu)造，引出向量“投影〞取勝)如下圖，構(gòu)造一個單位向量e(其中e⊥eq\o(BC,\s\up16(→)))，那么eq\o(BP,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))在單位向量e方向上的投影長度|e·eq\o(BP,\s\up16(→))|與|e·eq\o(BA,\s\up16(→))|分別是△PBC，△ABC的公共底邊上的高，那么S＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|·|e·eq\o(BA,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))||e||eq\o(BA,\s\up16(→))||cos〈e，eq\o(BA,\s\up16(→))〉|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|·|eq\o(BA,\s\up16(→))|sin∠ABC；因為eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\f(5,18)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(BC,\s\up16(→))，所以S1＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e·\o(BP,\s\up16(→))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,18)\o(BA,\s\up16(→))＋\f(7,18)\o(BC,\s\up16(→))))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e·\f(5,18)\o(BA,\s\up16(→))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,18)\o(BA,\s\up16(→))))|cos〈e，eq\o(BA,\s\up16(→))〉|＝eq\f(5,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|\o(BC,\s\up16(→))||\o(BA,\s\up16(→))|sin∠ABC))＝eq\f(5,18)S.設(shè)i為與向量eq\o(AB,\s\up16(→))垂直的單位向量，同理，可以推出S2＝eq\f(7,18)S.于是S2＝eq\f(7,18)S＝eq\f(7,18)×eq\f(18,5)S1＝eq\f(7,5)S1＝eq\f(7,5)×2015＝2821.解法三：(劃歸轉(zhuǎn)化，牽手三角形“重心〞巧解)由eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))，可得5eq\o(PA,\s\up16(→))＋6eq\o(PB,\s\up16(→))＋7eq\o(PC,\s\up16(→))＝0.令eq\o(PA′,\s\up16(→))＝5eq\o(PA,\s\up16(→))，eq\o(PB′,\s\up16(→))＝6eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\o(PC′,\s\up16(→))＝7eq\o(PC,\s\up16(→))，連接A′B′，B′C′，C′A′，如下圖，于是eq\o(PA′,\s\up16(→))＋eq\o(PB′,\s\up16(→))＋eq\o(PC′,\s\up16(→))＝0.即P是△A′B′C′的重心，S△PA′B′＝S△PB′C′，根據(jù)條件，得S1＝eq\f(1,2)|eq\o(PB,\s\up16(→))||eq\o(PC,\s\up16(→))|sin∠BPC＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\o(PB′,\s\up16(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)\o(PC′,\s\up16(→))))sin∠BPC＝eq\f(1,42)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|\o(PB′,\s\up16(→))||\o(PC′,\s\up16(→))|sin∠BPC))＝eq\f(1,42)S△PB′C′，所以S△PB′C′＝42S1，同理可得S△PA′B′＝30S2.于是S2＝eq\f(42,30)S1＝2821.故填2821.[答案]2821溫馨提示在尋找三個三角形面積之間的關(guān)系時，可以從多方面思考：①可以從“三點共線〞突破，運用三點共線向量式求解，思維起點低，思路直接，如解法一；②可以從向量“投影〞得出關(guān)系，構(gòu)造出一個中介性輔助元素單位向量e，i，如解法二；③可以轉(zhuǎn)化條件形式，將eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))轉(zhuǎn)化成5eq\o(PA,\s\up16(→))＋6eq\o(PB,\s\up16(→))＋7eq\o(PC,\s\up16(→))＝0，利用三角形“重心〞性質(zhì)引出巧解，如解法三．專題二用幾何法求解向量填空題利用向量加法的幾何意義或向量減法的幾何意義，可以將一些向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法，快速得到答案，防止繁瑣的運算和由于運算而產(chǎn)生的錯誤．[典例2]a，b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，那么a與a＋b的夾角是________．[解析]令eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四