四川省蒼溪縣2023屆高三數(shù)學(xué)第一次月考試卷文

④三．解答題〔共六道題，其中17題10分，其余各題均12分〕給定兩個命題，命題p：對任意實數(shù)都有恒成立，命題q：關(guān)于的方程有實數(shù)根．假設(shè)“p∨q〞為真命題，“p∧q〞為假命題，那么實數(shù)的取值范圍。18．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的定義域為集合A，函數(shù)的值域為集合B.(1)求集合A，B；(2)假設(shè)集合A，B滿足,求實數(shù)的取值范圍.19.設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定義域上的最值．解(1)f′(x)＝1＋2ax＋eq\f(b,x)(x>0)，又f(x)過點P(1,0)，且在點P處的切線斜率為2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，,1＋2a＋b＝2.))解得a＝－1，b＝3.(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3lnx，其定義域為(0，＋∞)，∴g(x)＝2－x－x2＋3lnx，x>0，那么g′(x)＝－1－2x＋eq\f(3,x)＝－eq\f(x－12x＋3,x).當(dāng)0<x<1時，g′(x)>0；當(dāng)x>1時，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．∴g(x)的最大值為g(1)＝0，g(x)沒有最小值．20.函數(shù)f(x)對任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)假設(shè)f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.(1)證明：設(shè)x1＜x2，∴x2－x1＞0，當(dāng)x＞0時，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0?f(x1)＜f(x2)∴f(x)在R上為增函數(shù)．(2)∵m，n∈R，不妨設(shè)m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴a2＋a－5＜1?－3＜a＜2即a∈(－3,2)．21．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)＋ax，x＞1.(1)假設(shè)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)假設(shè)方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有兩個不等實根，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝eq\f(x,lnx)＋ax，x＞1.∴f′(x)＝eq\f(lnx－1,ln2x)＋a.由題意可得f′(x)≤0，即a≤eq\f(1,ln2x)－eq\f(1,lnx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，對x∈(1，＋∞)恒成立．∵x∈(1，＋∞)，∴l(xiāng)nx∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,lnx)－eq\f(1,2)＝0時，函數(shù)t(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)的最小值為－eq\f(1,4)，∴a≤－eq\f(1,4).(2)∵x＞1，∴(2x－m)lnx＋x＝0?2x－m＋eq\f(x,lnx)＝0?m＝eq\f(x,lnx)＋2x，∴方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有兩個不等實根，即函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝m在(1，e]上有兩個不同的交點．由(2)可知，f(x)在(1，eeq\f(1,2))上單調(diào)遞減，在(eeq\f(1,2)，e]上單調(diào)遞增且f(eeq\f(1,2))＝4eq\r(e)，f(e)＝3e，∴當(dāng)x→1時，eq\f(x,lnx)→＋∞，∴4eq\r(e)＜m≤3e，故實數(shù)m的取值范圍是(4eq\r(e)，3e]．22．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)x∈(1，＋∞)時，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0，1)時，1＋(c－1)x>cx.解：(1)由題設(shè)，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1，令f′(x)＝0解得x＝1.當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．(2)證明：由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0，所以當(dāng)x≠1時，lnx<x－1.故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，lnx<x－1，lneq\f(1,x)<eq\f(1,x)－1，即1<eq\f(x－1,lnx)<x.(3)證明：由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，那么g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，解得x0＝eq\f(ln\f(c－1,lnc),lnc)，當(dāng)x<x0時，g′(x)>0，g(