061利用導(dǎo)數(shù)作圖

教案（首頁）課程名稱高等數(shù)學(xué)及應(yīng)用授課教師周新春課題名稱課題：利用導(dǎo)數(shù)作圖（2）審批授課日期第10周/第12周授課課時(shí)2授課班級(jí)16工業(yè)設(shè)計(jì)3D高級(jí)班/17機(jī)電高級(jí)班，17機(jī)器人班，17物聯(lián)網(wǎng)班專業(yè)機(jī)電，模具教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)的概念，熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸性；教學(xué)重點(diǎn)理解函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)的概念，熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸性；教學(xué)難點(diǎn)熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸性；教學(xué)資源準(zhǔn)備課件，多媒體課前學(xué)習(xí)任務(wù)預(yù)習(xí)函數(shù)的凹凸與拐點(diǎn)教學(xué)流程教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、課題提出(10分鐘)函數(shù)凹的y」o.的單調(diào)性可用函數(shù)的一階到函數(shù)來判增，那么對(duì)于這兩種不同的增法我們y=f(x)b21xo定，對(duì)于同樣的遞增函數(shù)有著不同的增法，如向上凸的增或1如何刻畫呢？AV-'''x. y=f(x)工質(zhì)疑引導(dǎo)強(qiáng)調(diào)明確回憶加深回答用一個(gè)看似簡(jiǎn)單的實(shí)例，為引出賽函數(shù)的概念做準(zhǔn)備，通過教師巡視，適當(dāng)點(diǎn)拔、解疑釋惑等方法讓學(xué)生自己到出，激發(fā)學(xué)生廣州市技師學(xué)院廣州市高級(jí)技工學(xué)校

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廣州市高級(jí)技工學(xué)校學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望。二、新課（55分鐘）1.曲線的凹凸定義和判定法從圖1可以看出曲線弧ABC在區(qū)間Q,c）內(nèi)是向下凹入的，此時(shí)曲線弧ABC位于該弧上任一點(diǎn)切線的上方；曲線弧CDE在區(qū)間（C,b）內(nèi)是向上凸起的，此時(shí)曲線弧CDE位于該弧上任一點(diǎn)切線的下方.關(guān)于曲線的彎曲方向，我們給出下面的定義：定義1如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其任一點(diǎn)切線 的上方，那么此曲線弧叫做在該區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧 位于其任一點(diǎn)切線的下方，那么此曲線弧叫做在該區(qū)間內(nèi)是凸的. 1 / \例如，圖1中曲線弧ABC在區(qū)間Q,c）內(nèi)是凹的， : 曲線弧CDE在區(qū)間bQ,b）內(nèi)是凸的. 口LJ 1 J~一a c bx由圖1還可以看出，對(duì)于凹的曲線弧，切線的 圖1 斜率隨X的增大而增大；對(duì)于凸的曲線弧，切線的斜率隨X的增大而減小.由于切線的斜率就是函數(shù)y=fG）的導(dǎo)數(shù)，因此凹的曲線弧，導(dǎo)數(shù)是單調(diào)增加的，而凸的曲線弧，導(dǎo)數(shù)是單調(diào)減少的.由此可見，曲線y=fQ）的凹凸性可以用導(dǎo)數(shù)f'Q）的單調(diào)性來判定.而f心）的單調(diào)性又可以用它的導(dǎo)數(shù)，即y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f〃Q）的符號(hào)來判定，故曲線y=f（X）的凹凸性與f〃Q）的符號(hào)有關(guān).由此提出了函數(shù)曲線的凹凸性判定定理：播放課件質(zhì)疑引導(dǎo)分析觀看課件思考理解自我建構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生從具體問題、實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念通過教師巡視，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，解決相應(yīng)的問題廣州市技師學(xué)院

廣州市高級(jí)技工學(xué)校定理1設(shè)函數(shù)y=fQ)在Gb)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).(1)如果在(a,b)內(nèi)，f〃Q)>0,那么曲線在(a,b)內(nèi)是凹的；(2)如果在(a,b)內(nèi)，f()<0,那么曲線在(a,b)內(nèi)是凸的.2.拐點(diǎn)的定義和求法定義2連續(xù)曲線上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn).定理2(拐點(diǎn)存在的必要條件)若函數(shù)fQ)在x處的二階導(dǎo)數(shù)存在，且點(diǎn)(x,f(x))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，則TOC\o"1-5"\h\zU0 0 0- =O.我們知道由f〃Q)的符號(hào)可以判定曲線的凹凸.如果f〃Q)連續(xù)，那么當(dāng)f〃Q)的符號(hào)由正變負(fù)或由負(fù)變正時(shí)，必定有一點(diǎn)x使f〃Q)=0.這樣，點(diǎn)(x,f(x))就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).因此，如果y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有0 0 0 0二階導(dǎo)數(shù)，我們就可以按下面的步驟來判定曲線y=f(x尢勺拐點(diǎn)：(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域；(2)求y"=f〃Q)；令f"Q)=0,解出這個(gè)方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實(shí)根；⑶對(duì)解出的每一個(gè)實(shí)根x0，考察f〃Q)在x的左右兩側(cè)鄰近的符號(hào).如果f〃Q)在x0的左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)相反，那么點(diǎn)(x0,f(x0))就是一個(gè)拐點(diǎn)，如果內(nèi))在x0的左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)相同，那么點(diǎn)(x0,f(x0))就不是拐點(diǎn).例1求曲線y=x3-3x2的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+8)；(2)y，=3x2-6x,y"=6x-6=6(x-1)；令y"=0，得x=1；(3)列表考察y〃的符號(hào)(表中“U”表示曲線是凹的，“尸、”表示曲線是凸的)：廣州市技師學(xué)院

廣州市高級(jí)技工學(xué)校x(-8,1)1Iy" 0+曲線yc拐點(diǎn)G,-2）由上表可知，曲線在（-應(yīng)1）內(nèi)是凸的，在Q+8）內(nèi)是凹的；曲線的拐點(diǎn)為（1,-2）.二總

、結(jié)。（10分鐘）小結(jié)本講內(nèi)容：1.函數(shù)圖形凹凸性的判斷、函數(shù)圖形的拐點(diǎn)求法。播放觀看通過課件課件總結(jié)，強(qiáng)調(diào)、質(zhì)疑思考評(píng)價(jià)、引導(dǎo)理解提高檢驗(yàn)教學(xué)分析自我成果建構(gòu)廣州市技師學(xué)院廣州市高級(jí)技工學(xué)校作業(yè)與預(yù)習(xí)教材第2