專題12探索性問題(第01期)-2021年中考數(shù)學(xué)試題分項版解析匯編(原卷版)

1.（2021浙江衢州第7題）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項中作法錯誤的是（）A．①B．②C．③D．④2.（2021浙江衢州第10題）運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。則圖中陰影部分的面積是（）25244D.245A.B.C.1023.（2021山東德州第9題）公式LLKP0L表示當(dāng)重力為P時的物體作用在彈簧上時彈簧的長度.表0示彈簧的初始長度,用厘米(cm)表示，K表示單位重力物體作用在彈簧上時彈簧的長度，用厘米(cm)表示。下面給出的四個公式中，表明這是一個短而硬的彈簧的是（）A．L=10+0.5PB．L=10+5PC．L=80+0.5PD．L=80+5P4.（2021山東德州第12題）觀察下列圖形，它是把一個三角形分別連接這個三角形的中點，構(gòu)成4個小三角形，挖去中間的小三角形（如題1）；對剩下的三角形再分別重復(fù)以上做法，……，將這種做法繼續(xù)下去（如圖2，圖3……），則圖6中挖去三角形的個數(shù)為（）A．121B．362C．364D．7295.（2021浙江寧波第12題）一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標(biāo)號為①和②的兩個小矩形為正方形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個大矩形的面積，則n的最小值是()6.（2021重慶A卷第10題）下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個圖形中一共有3個菱形，第②個圖形中一共有7個菱形，第③個圖形中一共有13個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑨個圖形中菱形的個數(shù)為（）C繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到PA'B'是的中點，是的中點，連接，若4321A．B．C.D．8.（2021湖北武漢第10題）如圖，在RtABC中，C90，以ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）A．4B．5C．6D．79.（2021貴州黔東南州第10題）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項和（a+b）n的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．.10.（2021四川瀘州第12題）已知拋物線y=x2+1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點到定點F（0，2）的13距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點M的坐標(biāo)為（，3），P是拋物線y=x2+1上一個動點，則△PMF4周長的最小值是（）A．3B．4C．5D．611.（2021四川自貢第11題）填在下面各正方形中四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律m的值為（）A．180B．182C．184D．1861.（2021浙江衢州第14題）如圖，從邊長為（a+3）的正方形紙片中剪去一個邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的另一邊長是．2.（2021浙江衢州第15題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，點P為x3．（2021浙江衢州第16題）如圖，正△ABO的邊長為2，O為坐標(biāo)原點，A在軸上，B在第二象限?！鰽BOx沿軸正方向作無滑動的翻滾，經(jīng)第一次翻滾后得△A1B1O，則翻滾3次后點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)是__________；翻滾2021次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為__________4.（2021浙江寧波第15題）如圖，用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：則第⑦個圖案有個黑色棋子．5.（2021浙江寧波第17題）已知△ABC的三個頂點為A1,1，B1,3，C3,3，將△ABC向右平3x.6.（2021甘肅慶陽第18題）下列圖形都是由完全相同的小梯形按一定規(guī)律組成的．如果第1個圖形的周長為5，那么第2個圖形的周長為，第2021個圖形的周長為．7.（2021貴州安順第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，點A2，A3，…在直線l上，點B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第n個等腰直角三角形ABB頂點Bn的橫坐標(biāo)nn1n﹣為．8.（2021貴州安順第17題）如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為．9.（2021湖南懷化第16題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC120°，AB10cm，點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以P,B,C為頂點的三角形是等腰三角形，則P，A(P，A兩點不重合)兩點間的最短距離為cm.10.（2021甘肅蘭州第20題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABCO的頂點A，B的坐標(biāo)分別是A3,0，3B0,2，動點P在直線yx上運(yùn)動，以點P為圓心，PB長為半徑的⊙P隨點P運(yùn)動，當(dāng)⊙P與四邊形2ABCO的邊相切時，P點的坐標(biāo)為.11.（2021貴州黔東南州第16題）把多塊大小不同的30°直角三角板如圖所示，擺放在平面直角坐標(biāo)系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點A的坐標(biāo)為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點B3；…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點B2021的坐標(biāo)為．12.（2021江蘇徐州第18題）如圖，已知OB1OB，以為直角邊作等腰直角三角形ABOOA.再以為直11角邊作等腰直角三角形AAO21OA，如此下去，則線段的長度為．nntanBAC1，tanBAC1，計算tanBAC，……按此規(guī)律，寫出tanBAC37nn（用含的代數(shù)式表示）．3045ABCDEFBCEF14.（2021浙江嘉興第16題）一副含和角的三角板和疊合在一起，邊與重合，BCEF12cm（如圖1），點G為邊BC(EF)FDABH的中點，邊與相交于點，此時線段的長BH是．現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），在CGF060從到的變化過程H中，點相應(yīng)移動的路徑長共為．（結(jié)果保留根號）三、解答題1.（2021浙江衢州第23題）問題背景如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形。類比研究如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點（D，E，F(xiàn)三點不重合）。（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進(jìn)行證明；（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；（3）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BDa，ADb，ABc，請?zhí)剿?，a12.（2021山東德州第24題）有這樣一個問題：探究同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y=x與kkkk1yy=x與y=x，當(dāng)k>0時y=（k0）的圖象性質(zhì).小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)=（k0）xxk的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究，下面是小明的探究過程：kx圖像的交點為A,B.已知A的坐標(biāo)為(-k，-1)，則B點的坐標(biāo)1（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)y=x與y=k為.(2)若P點為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點B的任意一點.①設(shè)直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N.求證：PM=PN.k證明過程如下：設(shè)P(m，)，直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).mkab-+=-1a則k解得mabb+=m所以,直線PA的解析式為．請把上面的解答過程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明.②當(dāng)P點坐標(biāo)為(1,k)(k≠1)時，判斷ΔPAB的形狀，并用k表示出ΔPAB的面積.11(1)如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B∠D，∠C∠A，求∠B與∠C的度數(shù)之和；22(2)如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BDBO，∠OBA的平分線交OA于點E，連結(jié)DE并延長交AC于點F，∠AFE2∠EAF.求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；(3)如圖3，在(2)的條件下，過點D作DGOB于點H，交BC于點G，當(dāng)DHBG時，求△BGH與△ABC的面積之比.4.（2021重慶A卷第25題）對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”，將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）計算：F（243），F(xiàn)（617）；Fs()（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k=，當(dāng)F（s）+F（t）=18時，求k的最大值．5.（2021湖南懷化第24題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax2bx5與x軸交于A1,0，B5,0兩點，與y軸交于點C.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點D是y軸上的一點，且以B,C,D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標(biāo)；(3)如圖2，CE∥x軸瑋拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別交于點F，G，試探究當(dāng)點H運(yùn)動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標(biāo)及最大面積；(4)若點K為拋物線的頂點，點M4,m是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標(biāo).6.（2021江蘇無錫第25題）操作：“如圖1，P是平面直角坐標(biāo)系中一點（x軸上的點除外），過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q．”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換．3（1）點P（a，b）經(jīng)過T變換后得到的點Q的坐標(biāo)為；若點M經(jīng)過T變換后得到點N（6，﹣），則點M的坐標(biāo)為．3（2）A是函數(shù)y=x圖象上異于原點O的任意一點，經(jīng)過T變換后得到點B．2①求經(jīng)過點O，點B的直線的函數(shù)表達(dá)式；②如圖2，直線AB交y軸于點D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．7.（2021江蘇鹽城第24題）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部．（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運(yùn)動的路徑長．8.（2021江蘇鹽城第26題）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最的大矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最，大隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最面大積與原三角形面積的比值為．【拓展應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為．（用含a，h的代數(shù)式表示）【靈活應(yīng)用】如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．【實際應(yīng)用】4如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，3木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．9.（2021山東煙臺第23題）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，ABC為等邊三角形，先將三角板中的600角與ACB重合，再將三角板繞點按順時針CABD方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于00且小于300）.旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點.在三角板斜邊上取一點F，使CFCD，線段AB上取點E，使DCE300AFEF，連接，.①求EAF的度數(shù)；DEEF②與相等嗎？請說明理由；