線性代數(shù)相關(guān)知識(shí)培訓(xùn)教程

線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型1.行列式的定義一、行列式N階行列式是一個(gè)數(shù),該數(shù)是n!項(xiàng)的代數(shù)和,每項(xiàng)為取自表中不同行不同列n個(gè)元素的乘積,符號(hào)由這n個(gè)元素列標(biāo)排列的逆序數(shù)決定(行標(biāo)按自然順序排列),奇排列帶負(fù)號(hào),偶排列帶正號(hào).2.行列式的性質(zhì)利用行列式性質(zhì)，將行列式化成上三角，再按上式計(jì)算余子式與代數(shù)余子式3.行列式按行（列）展開(kāi)例14.克拉默法則定理定理二、矩陣1.矩陣的概念記作簡(jiǎn)記為幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱(chēng)為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣(或列向量).

稱(chēng)為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,記作

（4）元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如(5)單位陣：對(duì)角線上全為1的對(duì)角陣稱(chēng)為單位矩陣（或單位陣）.(6)對(duì)稱(chēng)矩陣定義設(shè)為階方陣，如果A的元素滿(mǎn)足那末稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣.對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等.說(shuō)明2）兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱(chēng)矩陣相等,記作例如為同型矩陣.同型矩陣與矩陣相等1）兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱(chēng)為同型矩陣.1)加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為2.矩陣的運(yùn)算2)數(shù)與矩陣相乘矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算.并把此乘積記作3)矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例１注：（1）矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律(2)矩陣乘法不滿(mǎn)足消去律,即（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：?jiǎn)挝痪仃嘐在矩陣乘法中的作用類(lèi)似于數(shù)1）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例4）矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)注：若A為對(duì)稱(chēng)陣，則5）方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)伴隨矩陣定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣伴隨矩陣性質(zhì)稱(chēng)為矩陣的伴隨矩陣.6）逆矩陣逆矩陣定義

對(duì)于階方陣，如果有一個(gè)階方陣

則說(shuō)方陣是可逆的，并把方陣稱(chēng)為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階矩陣的逆矩陣用該公式求，三階及以上矩陣的逆矩陣用初等變換求。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)解：矩陣方程解定義1下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換:3.初等變換和初等矩陣定義2矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換定義由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱(chēng)為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.初等矩陣注:初等矩陣都是可逆的,其逆矩陣仍為與原矩陣同類(lèi)型的初等矩陣.

定理設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.初等矩陣的作用可逆陣與單位陣等價(jià)矩陣的等價(jià)利用初等變換求逆陣的方法：

定理設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣4.矩陣的秩如果矩陣A的秩等于該矩陣的行數(shù)(或列數(shù)),則稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣,可逆矩陣就是滿(mǎn)秩矩陣.例7：求矩陣的秩。解：但A中有2階子式不為零，故例7解求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例8解由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知?jiǎng)t這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.矩陣A與之對(duì)應(yīng)的三階子式與矩陣的秩有關(guān)的結(jié)論1.初等變換不改變矩陣的秩2.等價(jià)矩陣有相同的秩3.設(shè)則當(dāng)B是可逆矩陣時(shí),有4.設(shè)則三、n維向量

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．1.向量組的線性相關(guān)性一個(gè)向量由一個(gè)向量組線性表示解：考慮定義2設(shè)有兩個(gè)向量組（1）若向量組B中每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱(chēng)向量組B能由向量組A線性表示。（2）若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià)。兩個(gè)向量組等價(jià)向量組的線性相關(guān)性則稱(chēng)向量組是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)．由定義3可得：1、任一向量組不是線性相關(guān)就是線性無(wú)關(guān)。2、含零向量的向量組一定線性相關(guān)。3、單個(gè)非零向量一定是線性無(wú)關(guān)。4、兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。定理2解例11與線性相關(guān)性有關(guān)的結(jié)論:（1）部分相關(guān)整體相關(guān)。（2）m個(gè)n維向量，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)。2.最大無(wú)關(guān)組與向量組的秩定義１注：只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.與向量組的秩有關(guān)的結(jié)論3.等價(jià)向量組有相同的秩.1.線性方程組的三種表達(dá)方式若記（1）四、線性方程組則上述方程組（1）可寫(xiě)成矩陣方程如果將矩陣A的列向量組記為則方程組（1）還可表為向量方程2.線性方程組有解的判定條件齊次線性方程組解的性質(zhì)3.線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系的定義齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的性質(zhì)其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組Ax=b的通解為齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解；3.線性方程組的解法例11

求解齊次線性方程組解即得與原方程組同解的方程組由此即得例12

求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有所以方程組的通解為五、矩陣的特征值和特征向量求矩陣特征值與特征向量的步驟：特征值、特征向量性質(zhì)（1）屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)。解例13

六、矩陣相似與對(duì)角化1、相似矩陣與相似變換的概念2、相似矩陣的性質(zhì)（1）相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系（4）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值。3、方陣的對(duì)角化如果方陣A與一對(duì)角陣相似,則稱(chēng)方陣A可對(duì)角化.4、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)(1)特征值為實(shí)數(shù)；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；

(4)必存