2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用第2講第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性練習(xí)理北師大版

第2講第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性一、選擇題1.函數(shù)f(x)＝xlnx，則( )A.在(0，＋∞)上遞加B.在(0，＋∞)上遞減11C.在0，e上遞加D.在0，e上遞減1分析f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0得x>e，令f′(x)<01得0<x<e，應(yīng)選D.答案D2.下邊為函數(shù)y＝xsinx＋cosx的遞加區(qū)間的是( )π3πA.2，2B.(π，2π)3π5πD.(2π，3π)C.2，2分析y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，當(dāng)x∈3π，5π時(shí)，22恒有xcosx>0.答案C133.已知函數(shù)f(x)＝2x＋ax＋4，則“a>0”是“f(x)在R上單一遞加”的( )A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件32分析f′(x)＝2x＋a，當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)≥0恒建立，故“a>0”是“f(x)在R上單一遞加”的充分不用要條件.答案A4.已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是以下四個(gè)圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像如下圖，則該函數(shù)的圖像是( )1分析由y＝f′(x)的圖像知，y＝f(x)在[－1，1]上為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1，0)上增長(zhǎng)速度愈來(lái)愈快，而在區(qū)間(0，1)上增加速度愈來(lái)愈慢.答案B5.設(shè)函數(shù)f(x)＝12－9lnx在區(qū)間[a－1，＋1]上單一遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )2xaA.(1，2]B.(4，＋∞]C.[－∞，2)D.(0，3]129分析∵f(x)＝2x－9lnx，∴f′(x)＝x－x(x>0)，9當(dāng)x－x≤0時(shí)，有0<x≤3，即在(0，3]上原函數(shù)是減函數(shù)，則[a－1，a＋1]?(0，3]，a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.答案A二、填空題ex6.函數(shù)f(x)＝x的單一遞加區(qū)間為_(kāi)_______.分析函數(shù)的定義域?yàn)閧|x≠0}，且′( )＝ex（x－1），令′( )>0得x>1.2xfxxfx答案(1，＋∞)7.已知a≥0，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是單一減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.分析f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由題意當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f′(x)≤0恒建立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]時(shí)恒建立.令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，g（－1）≤0，則有g(shù)（1）≤0，（－1）2＋（2－2a）·（－1）－2a≤0，解得a≥3.即21＋2－2－2≤0，4aa2答案3，＋∞48.(2017·合肥模擬)若函數(shù)f( )＝－13＋12＋2ax在2，＋∞上存在單一遞加區(qū)間，則x3x2x3實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.2121分析對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝－x＋x＋2a＝－x－2＋4＋2a.當(dāng)x∈23，＋∞時(shí)，22f′(x)的最大值為f′3＝9＋2a.21令9＋2a>0，解得a>－9.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是1.－，＋∞9答案1－，＋∞9三、解答題9.(2016·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)＋4.x(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單一區(qū)間.解(1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.f（2）＝2e＋2，a－22e＋2b＝2e＋2，由題意得′（2）＝e－1，即f－ea－2＋＝e－1，b解得a＝2，b＝e.(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)與1－x＋ex－1同號(hào).令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上遞加，∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒建立，∴f′(x)>0在R上恒建立.f(x)的單一遞加區(qū)間為(－∞，＋∞).3a2設(shè)函數(shù)f(x)＝x－x＋1.23若a>0，求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)存在單一遞減區(qū)間，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.因此函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為(－∞，0)，(，＋∞)，a單一遞減區(qū)間為(0，a).(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依題意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0建立，即x∈－，－1)時(shí)，a<x＋2＝－，(2xmax22當(dāng)且僅當(dāng)x＝2即x＝－2時(shí)等號(hào)建立.x因此知足要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－22).11.(2017·承德調(diào)考)已知f(x)是可導(dǎo)的函數(shù)，且f′(x)<f(x)關(guān)于x∈R恒建立，則( )A.f(1)<ef(0)，f(2017)>e2017f(0)B.f(1)>ef(0)，f(2017)>e2017f(0)C.f(1)>ef(0)，f(2017)<e2017f(0)D.f(1)<ef(0)，f(2017)<e2017f(0)（x）分析令g(x)＝ex，f（x）xx）′f′（x）－f（x）則g′(x)＝f′（x）e－f（x）（e＝<0，e′＝eexx（x）因此函數(shù)()＝x在R上是單一減函數(shù)，gxe因此g(1)<g(0)，g(2017)<g(0)，f（1）f（0）f（2017）f（0）即1<1，2017<，ee1故f(1)<ef(0)，f(2017)<e2017f(0).答案D112.(2016·全國(guó)Ⅰ卷)若函數(shù)f(x)＝x－3sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上單一遞加，則a的取值范圍是()4A.[－1，1]B.－1，13111C.－3，3D.－1，－3分析1x＋asinx，∵f(x)＝x－sin232425∴f′(x)＝1－3cos2x＋acosx＝－3cosx＋acosx＋3.由f(x)在R上單一遞加，則f′(x)≥0在R上恒建立.425令t＝cosx，t∈[－1，1]，則－3t＋at＋3≥0，在t∈[－1，1]上恒建立.∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒建立.令g(t)＝4t2－3at－5，g（1）＝－3a－1≤0，11則解之得－≤≤.g（－1）＝3a－1≤0.3a3答案C1213.已知函數(shù)f(x)＝－2x＋4x－3lnx在區(qū)間[t，t＋1]上不但一，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.（x－1）（x－3）分析由題意知′( )＝－x＋4－＝－，由f′( )＝0得函數(shù)f(x)的fxxxx兩個(gè)極值點(diǎn)為1和3，則只需這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t，t＋1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，＋1]上就不但一，由t<1<t＋1或t<3<＋1，得0<<1或2<<3.tttt答案(0，1)∪(2，3)已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R).求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，關(guān)于隨意的t∈[1，32m2]，函數(shù)g(x)＝x＋x·f′（x）＋2在區(qū)間(t，3)上總不是單一函數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，a（1－x），且f′(x)＝x當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0，1)，減區(qū)間為(1，＋∞)；當(dāng)<0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0，1)；a5當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單一函數(shù).a(2)由(1)及題意得f′(2)＝－2＝1，即a＝－2，f(x)＝－2lng(x)＝x3＋

2x－2x＋2x－3，f′(x)＝.m22＋2x－2x，g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.g(x)在區(qū)間(t，3)上總不是單一函數(shù)，即g′(x)＝0在