(完整版)高中文科數(shù)學(xué)立體幾何知識點總結(jié)

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立體幾何學(xué)問點收拾（文科）

一．

直線和平面的三種位置關(guān)系：

1.線面平行

l

符號表示：

2.線面相交

符號表示：

3.線在面內(nèi)

符號表示：

二．平行關(guān)系：

1.線線平行：

辦法一：用線面平行實現(xiàn)。

m

l

m

l

l

//

//

?

?

?

?

?

?

=

?

?

β

α

β

α

辦法二：用面面平行實現(xiàn)。

m

l

m

l//

//

?

?

?

?

?

?

=

?

=

?

β

γ

α

γ

β

α

辦法三：用線面垂直實現(xiàn)。

若α

α⊥

⊥m

l,，則m

l//。

辦法四：用向量辦法：

若向量和向量共線且l、m不重合，則m

l//。

2.線面平行：

辦法一：用線線平行實現(xiàn)。

α

α

α//

//

l

l

m

m

l

?

?

?

?

?

?

?

?

辦法二：用面面平行實現(xiàn)。

α

β

β

α

//

//

l

l

?

?

?

?

?

辦法三：用平面法向量實現(xiàn)。

若n為平面α的一個法向量，

⊥且α

?

l,則α

//

l。

3.面面平行：

辦法一：用線線平行實現(xiàn)。

β

α

α

β

//

'

,'

,

'

//

'

//

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

且相交

且相交

m

l

m

l

m

m

l

l

辦法二：用線面平行實現(xiàn)。

β

α

β

α

α

//

,

//

//

?

?

?

?

?

?

?且相交

m

l

m

l

l

三．垂直關(guān)系：1.線面垂直：

辦法一：用線線垂直實現(xiàn)。

αα⊥????

?

???

?=?⊥⊥lABACAABACABlAC

l,

辦法二：用面面垂直實現(xiàn)。

αββαβα⊥???

?

??

?⊥=?⊥llmlm,

2.面面垂直：

辦法一：用線面垂直實現(xiàn)。

βαβα⊥??

??

?⊥ll

辦法二：計算所成二面角為直角。3.線線垂直：

辦法一：用線面垂直實現(xiàn)。

mlml⊥??

??

?⊥αα

辦法二：三垂線定理及其逆定理。

POlOAlPAlαα⊥?

?

⊥?⊥????

辦法三：用向量辦法：

若向量l和向量m的數(shù)量積為0，則ml⊥。

三．夾角問題。

(一)異面直線所成的角：(1)范圍：]90,0(??(2)求法：辦法一：定義法。

步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。

步驟2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：

ab

c

ba2cos2

22-+=

θ

(計算結(jié)果可能是其補角)

辦法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量

的夾角

(計算結(jié)果可能是其補角)：

=

θcos(二)線面角

(1)定義：直線l上任取一點P（交點除外），作PO⊥α于O,連結(jié)AO，則AO為斜線PA在面α內(nèi)的射影，PAO∠(圖中θ)為直線l與面α所成的角。

(2)范圍：]90,0[??

當?=0θ時，α?l或α//l當?=90θ時，α⊥l(3)求法：辦法一：定義法。

步驟1：作出線面角，并證實。步驟2：解三角形，求出線面角。

(三)二面角及其平面角

(1)定義：在棱l上取一點P，兩個半平面內(nèi)分離作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角θ為二面角α—l—β的平面角。

(2)范圍：]180,0[??(3)求法：辦法一：定義法。

步驟1：作出二面角的平面角(三垂線定理)，并證實。步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。辦法二：截面法。

步驟1：如圖，若平面POA同時垂直于平面βα和，

則交線(射線)AP和AO的夾角就是二面角。步驟2：解三角形，求出二面角。

辦法三：坐標法(計算結(jié)果可能與二面角互補)。

步驟一：計算12

1212

cosnnnnnn?=?uruururuur

步驟二：推斷θ與12nnuruur

的關(guān)系，可能相等或

者互補。

四．距離問題。

1．點面距。辦法一：幾何法。

步驟1：過點P作PO⊥α于O，線段PO即為所求。步驟2：計算線段

PO的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法)

2．線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距。3．異面直線之間的距離辦法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。

m

如圖，m和n為兩條異面直線，α?n且α//m，

則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面α之間的距離。辦法二：直接計算公垂線段的長度。

辦法三：公式法。

如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段，

'

//m

m，則異面直線m和n之間的距離為：

θ

cos

2

2

2

2ab

b

a

c

d±

-

-

=

五．空間向量

(一)空間向量基本定理

若向量,

,

z

y

x、

、，使得z

y

x+

+

=。

(二)三點共線，四點共面問題

1.A，B，C三點共線?

OAxOByOC

=+

uuuruuuruuur

，且1

xy

+=

當

2

1

=

=y

x時，A是線段BC的

A，B，C三點共線?λ

=

2.A，B，C，D四點共面?

OAxOByOCzOD

=++

uuuruuuruuuruuur

，且1

xyz

++=

當

1

3

xyz

===時，A是△BCD的

A，B，C，D四點共面?y

x+

=

(三)空間向量的坐標運算

1.已知空間中A、B兩點的坐標分離為：

111

(,,)

Axyz，

222

(,,)

Bxyz則：

AB=

uuur

;=

B

A

d

,

AB=

uuur

2.若空間中的向量

111

(,,)

axyz

=

r

，)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

=

則ab

+=

rr

ab

-=

rr

1

C

1

B

ab?=rrcosab=rr

六．常見幾何體的特征及運算(一)長方體

1.長方體的對角線相等且相互平分。

2.若長方體的一條對角線與相鄰的三條棱所成的角分離為αβγ、、，則2

2

2

coscoscosαβγ=++

β

γ

αα

βγ

若長方體的一條對角線與相鄰的三個面所成的角分離為αβγ、、，則2

2

2

coscoscosαβγ=++3.若長方體的長寬高分離為a、b、c，則體對角線長為，表面積為，體積為。(二)正棱錐：底面是正多邊形且頂點在底面的射影在底面XXX。(三)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。

(四)正多面體：每個面有相同邊數(shù)的正多邊形，且每個頂點為端點有相同棱數(shù)的凸多面體。(惟獨五種正多面體)

(五)棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相像，且面積比等于頂點到截面的距離與棱錐的高的平方比。

正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。(六)體積：=棱柱V=棱錐V(七)球

1.定義：到定點的距離等于定長的點的集合叫球面。

2.設(shè)球半徑為R，小圓的半徑為r，小圓圓心為O1，球心O到小圓的距離為d，則它們?nèi)咧g的數(shù)量關(guān)系是。

3.球面距離：經(jīng)過球面上兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。

4.球的表面積公式：體積公式：

高考題典例

考點1點到平面的距離

例1如圖，正三棱柱111ABCABC-的全部棱長都為2，D為1CC中點．（Ⅰ）求證：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB--的大小；（Ⅲ）求點C到平面1ABD的距離．

解答過程（Ⅰ）取BC中點O，連結(jié)AO．

ABCQ△為正三角形，AOBC∴⊥．

Q正三棱柱111ABCABC-中，平面ABC⊥平面11BCCB，

AO∴⊥平面11BCCB．連結(jié)1BO，在正方形11BBCC中，OD，分

別為1

BCCC，的中點，1BOBD∴⊥，1ABBD∴⊥．

在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，1AB∴⊥平面1ABD．

（Ⅱ）設(shè)1AB與1AB交于點G，在平面1ABD中，作1GFAD

⊥于F，連結(jié)

AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．

1AFAD∴⊥，AFG∴∠為二面角1AADB--的平面角．

在1AAD△中，由等面積法可求得455

AF=，

又1122AGAB==Q，210sin4

455AGAFGAF∴===∠．

所以二面角1AADB--的大小為10arcsin4

．

（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS===∴=△，，，1BCDS=△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距離為3．設(shè)點C到平面1ABD的距離為d．

由1

1

ABCDCABDVV--=，得1

11333BCDABDSSd=gg△△，

1

322

BCDABDSdS∴==△△．

∴點C到平面1ABD的距離為22

．

考點2異面直線的距離

例2已知三棱錐ABCS-，底面是邊長為24的正三角形，棱

SC的長為2，且垂直于底面.DE、分離為ABBC、的中點，求

A

B

CD

1

A

1

C

1

B

OF

CD與SE間的距離.

解答過程：如圖所示，取BD的中點F，連結(jié)EF，SF，CF，

EF∴為BCD?的中位線，EF∴∥CDCD∴,∥面SEF,CD∴到平面SEF的距離即為兩異面直線間的

距離.又Θ線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD上一點C到平面SEF

的距離，設(shè)其為h，由題意知，24=BC,D、E、F分離是AB、BC、BD的中點，

2,2,62

1

,62=====∴SCDFCDEFCD3

3222621312131=????=????=

∴-SCDFEFVCEFS在RtSCE?中，3222=+=CESCSE

在RtSCF?中，30224422=++=+=CFSCSF

又3,6=∴=

?SEFSEFΘ因為hSVVSEFCEFSSEFC??==?--3

1

，即332331=

??h，解得332=h故CD與SE間的距離為

3

3

2.考點3直線到平面的距離

例3．如圖，在棱長為2的正方體1AC中，G是1AA的中點，求BD到平面11DGB的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離的辦法求解.解答過程：解析一BDΘ∥平面11DGB，

BD∴上隨意一點到平面11DGB的距離皆為所求，以下求

點O平面11DGB的距離,

1111CADB⊥Θ，AADB111⊥，⊥∴11DB平面11ACCA,

又?11DBΘ平面11DGB∴平面1111DGBACCA⊥，兩個平面的交線是GO1,作GOOH1⊥于H，則有⊥OH平面11DGB，即OH是O點到平面11DGB的距離.在OGO1?中，2222

1

2111=??=??=

?AOOOSOGO.B

A

C

D

O

G

H1

A1

C1D

1

B1O

又3

62,23212111=∴=??=??=

?OHOHGOOHSOGO.即BD到平面11DGB的距離等于3

6

2.解析二BDΘ∥平面11DGB，

BD∴上隨意一點到平面11DGB的距離皆為所求，以下求點B平面11DGB的距離.

設(shè)點B到平面11DGB的距離為h，將它視為三棱錐11DGBB-的高，則

，因為632221

,111111=??=

=?--DGBGBBDDGBBSVV3

4

222213111=

????=-GBBDV,

,3

6

26

4=

=

∴h即BD到平面11DGB的距離等于

3

6

2.小結(jié)：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準恰當?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是按照選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.

考點4異面直線所成的角

例4如圖，在RtAOB△中，π6

OAB∠=，斜邊4AB=．RtAOC△可以通過RtAOB△以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)

得到，且二面角BAOC--的直二面角．D是AB的中點．（I）求證：平面COD⊥平面AOB；

（II）求異面直線AO與CD所成角的大?。獯疬^程：（I）由題意，COAO⊥，BOAO⊥，

BOC∴∠是二面角BAOC--是直二面角，

COBO∴⊥，又AOBOO=QI，CO∴⊥平面AOB，

又CO?平面COD．∴平面COD⊥平面AOB．

（II）作DEOB⊥，垂足為E，連結(jié)CE（如圖），則DEAO∥，CDE∴∠是異面直線AO與CD所成的角．

在RtCOE△中，2COBO==，112

OEBO==

，CE∴O

C

A

D

B

E

又12DEAO==∴在RtCDE△

中，tanCECDEDE==∴異面直線AO與CD

所成角的大小為

小結(jié)：求異面直線所成的角經(jīng)常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上挑選“特別點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補形法：把空間圖形補成認識的幾何體，其目的在于簡單發(fā)覺兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.普通來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選辦法.同時要特殊注重異面直線所成的角的范圍：??

???2,

0π.

考點5直線和平面所成的角

例5.四棱錐SABCD-中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知45ABC=o∠，2AB=

，BC=

SASB==

（Ⅰ）證實SABC⊥；（Ⅱ）求直線SD與平面SAB所成角的大?。獯疬^程：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC⊥

底面

ABCD，得SO⊥底面ABCD．

由于SASB=，所以AOBO=，

又45ABC=o∠，故AOB△為等腰直角三角形，

AOBO⊥，由三垂線定理，得SABC⊥．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依題設(shè)ADBC∥，故SAAD⊥，

由ADBC==

，SA=AO=得1SO=

，SD=．SAB△

的面積112

SAB=連結(jié)DB，得DAB△的面積21

sin13522

SABAD=

=og設(shè)D到平面SAB的距離為h，因為DSABSABDVV--=，得12113

3

hSSOS=gg

，解得h=設(shè)SD與平面SAB所成角為α

，則sinhSDα==

所以，直線SD與平面SBC

所成的我為

小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注重的問題是（1）先推斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證實——論證作出的角為所求的角，

D

B

C

S

O

D

B

C

A

S

③計算——常用解三角形的辦法求角，④結(jié)論——點明直線和平面所成的角的值.考點6二面角

例6．如圖，已知直二面角PQαβ--，APQ∈，Bα∈，Cβ∈，CACB=，45BAP∠=o，直線CA和平面α所成的角為30o．（I）證實BCPQ⊥（II）求二面角BACP--的大?。?/p>

過程指引：（I）在平面β內(nèi)過點C作COPQ⊥于點O，連結(jié)OB．由于αβ⊥，PQαβ=I，所以COα⊥，又由于CACB=，所以O(shè)AOB=．

而45BAO∠=o，所以45ABO∠=o，90AOB∠=o，從而BOPQ⊥，又COPQ⊥，

所以PQ⊥平面OBC．由于BC?平面OBC，故PQBC⊥．（II）由（I）知，BOPQ⊥，又αβ⊥，PQαβ=I，

BOα?，所以BOβ⊥．過點O作OHAC⊥于點H，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BHAC⊥．故BHO∠是二面角BACP--的平面角．

由（I）知，COα⊥，所以CAO∠是CA和平面α所成的角，則30CAO∠=o，

不妨設(shè)2AC=

，則AO=

sin302

OHAO==

o

．在RtOAB△中，45ABOBAO∠=∠=o，所

以BOAO==，于是在RtBOH△中

，

tan2BO

BHOOH

∠=

==．故二面角BACP--的大小為arctan2．小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱確實定有以下三種途徑：①由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補形構(gòu)造幾何體發(fā)覺棱；解法二則是利用平面對量計算的辦法，這也是解決無棱二面角的一種常用辦法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面對量計算的辦法求出二面角的大小.

A

B

C

Q