菱形知識(shí)講解

菱形【習(xí)標(biāo)1.理菱形的概念2.掌菱形的性質(zhì)定理及判定定理．【點(diǎn)理【清堂特的行邊（形知識(shí)要】要一菱的義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱.要詮：形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有組鄰邊等即菱是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條.要二菱的質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì).3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條稱軸（對(duì)角線所在的直線稱的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要詮1）菱形是特殊的平行四邊形，中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部.（菱的面積有兩種計(jì)算方法種是平行四邊形的面積公式底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半（）形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問(wèn)題要三菱的定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行邊形是菱.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形菱.3.四條邊相等的四邊形是菱.要詮：兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形一方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相.【型題類一菱的質(zhì)12015石山區(qū)一模）如圖，菱形ABCD，，分為AD，上的點(diǎn)，且AE=AF連接并長(zhǎng)，交CB的長(zhǎng)于點(diǎn)，連接BD．（1求證：四邊形EGBD是行四邊形；（2連接AG，若∠FGB=30求AG的．第頁(yè)頁(yè)

【路撥1連接AC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∥BD根據(jù)對(duì)邊分別平行證明是平行四邊形即可）點(diǎn)A作⊥，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【案解】（1證明：連接AC如圖：∵四邊形ABCD是形，∴AC平∠DAB且ACBD，∵AF=AE，∴AC⊥，∴∥BD又∵菱形ABCD中ED，∴四邊形EGBD是平行四邊形．（2解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30，∴∠DBC=30，∴∠ABH=2∠，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2在eq\o\ac(△,)中∠°∴AH=，．∴GH=2，在eq\o\ac(△,)AGH中根據(jù)勾股定理得AG=．【結(jié)華本題考查了菱形性質(zhì)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判以及直角三角形的性質(zhì)解題．舉反：【變式2015溫州模擬）如圖，在菱形ABCD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE交AC點(diǎn)，接BO，且∠°，∠CBO=度．【案50；解：在菱形ABCD中AB∥CD∴∠CDO=∠AED=50，，∠BCO=∠，∴eq\o\ac(△,)BCOeq\o\ac(△,)，，BCO△（∴∠∠CDO=50．第頁(yè)頁(yè)

【清堂特的行邊（形例1】【變式】菱形中∠∶B＝1，若周長(zhǎng)為，則此菱形的高等()．A.

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B.4C.1D.2【案C；提示：由題意，A＝30°，邊為，菱形的高等于類二菱的定

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×＝1.2、如圖所示，在ABC中CD是∠ACB平分線DEAC，DF∥，邊形是菱形嗎試明理由．【路撥由菱形的定去判定圖形由DEAC∥知邊形是平行四邊形，再由∠1＝∠2得鄰邊相等即可．【案解】解：四邊形DECF是形，理由如下：∵DE∥，∥∴四形DECF是平四邊形∵CD平∠ACB，∴∠＝2∵DF∥，∴∠＝3，∴∠＝3．∴CF＝DF，∴四形DECF是菱．【結(jié)華用形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)判這個(gè)四邊形平行四邊形，再由一對(duì)鄰邊相等來(lái)判定它是菱形．舉反：【變式】如圖所示，是ABC的角平分線EF直平分AD分別交AB于E，交AC于F，則四邊形AEDF是形嗎請(qǐng)說(shuō)明由．【案解：四邊形AEDF是形，理由如下：∵EF垂平分AD，∴△AOF與△DOF關(guān)直線EF成軸稱．第頁(yè)頁(yè)

∴∠ODF，又∵AD平分∠，∠OAF＝OAE∴∠ODF＝OAE．∴AE∥，同理可得：∥．∴四形AEDF是平四邊形∴EO＝又∵AEDF的角線AD、互相直平分．∴AEDF是形．3、如圖所示，在ABC中，∠＝90°，AD⊥BC于，CE平分ACD，AD于點(diǎn)G，交AB于E，EF⊥BC于F求證四邊形AEFG是菱形．【路撥由角平分線性質(zhì)易知AE＝，證四邊形是形，只要再證四邊形AEFG是行四邊形或AG＝GFAE即．【案解】證明：方法一：∵CE平分∠ACB∠BAC90°，EF⊥BC∴AE＝，∠1＋3＝90°，∠＋＝90．∵∠＝2，∴∠＝∠．∵EF⊥，⊥，EF∥AD．∴∠＝∠．∠＝∠．∴AE＝．EFAG．∴四形AEFG是平四邊形又∵AE＝，∴四形AEFG是菱．方法二：∵CE平分ACB，∠90°EF⊥BC，∴AE＝，∠1＋3＝90°，∠＋＝90．∴∠＝4．∵EF⊥，⊥，EF∥AD．∴∠＝5．∴∠＝∠．∴AE＝．在△和△FEG中AE＝EF，3＝∠，EG＝EG∴△AEG．∴AG＝．∴AE＝＝＝．∴四形AEFG是菱．【結(jié)華判定一個(gè)四邊形是菱形，鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件．舉反：【變式】如圖所示，在ABCD中EF分為邊ABCD的中，是對(duì)線，過(guò)A點(diǎn)AG∥DB交CB的長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求：DE∥BF；第頁(yè)頁(yè)

若∠G＝°求證四邊形DEBF是菱．【案證明：ABCD中，AB∥CD，＝CD∵E、F分為AB、CD的點(diǎn)∴DF＝

11DC，BE＝AB22∴DF∥．＝∴四形DEBF為平四邊形∴DE∥(2)證明：∵AG∥BD∴∠＝DBC＝°∴△DBC為直三角形又∵F為CD的中點(diǎn)．∴BF＝

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DC＝DF又∵四形DEBF為平四邊形∴四形DEBF是菱類三菱的用4、如圖所示，是一種長(zhǎng)0.3

m

，寬0.2

m

的矩形瓷磚，E、、、分為矩形四邊BC、、、的中，陰影分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長(zhǎng)4.2，寬m的壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚．試問(wèn)：(1)這面墻最少要貼這種瓷磚多?(2)全部貼滿后，這面墻壁會(huì)出多少個(gè)面積相同的菱【案解】解：墻壁長(zhǎng)4.2m，寬m矩形瓷磚長(zhǎng)m寬0.2，4.20.3142.8÷0.2＝，可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14可毫無(wú)空隙地貼滿墻面．(1)則至少需要這種瓷磚14×＝196(塊．(2)每塊瓷磚中間有一個(gè)白色菱，則共有白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半外同一個(gè)頂點(diǎn)處的磚能夠拼成一個(gè)淡黃色花紋的菱形的面積也等于瓷磚面積的一半，有花紋的菱形橫排有個(gè)