定積分的計算教案(五篇)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——定積分的計算教案(五篇)作為一位不辭辛勤的人民教師,往往要根據(jù)教學(xué)需要編寫教案,教案有利于教學(xué)水平的提高,有助于教研活動的開展。那么教案應(yīng)當(dāng)怎么制定才適合呢？下面是我整理的優(yōu)秀教案范文，歡迎閱讀共享，希望對大家有所幫助。

定積分的計算教案篇一

授課計劃（教案）

課程名稱：高等數(shù)學(xué)

章節(jié)名稱：第六章第一節(jié)定積分的概念使用教材：趙樹媛主編，《微積分》（第四版），北京：中國人民大學(xué)出版社，2023.8教學(xué)目的：把握定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、從具體到一般的抽象思維方式；從已知到未知的研究問題的方法，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。

教學(xué)重點：定積分的概念

教學(xué)難點：定積分概念建立、分割的思想方法及應(yīng)用

教學(xué)方法：教學(xué)采用啟發(fā)式、數(shù)形結(jié)合，用多媒體輔助教學(xué)。適用層次：應(yīng)用型本科。教學(xué)時間：45分鐘。

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計

引言

介紹牛頓和萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家以及在微積分方面的研究成果，重點展示在積分方面的成果。（簡單提及積分產(chǎn)生背景）

（ppt展示肖像，簡歷和成就。2分鐘）

一、引例

已經(jīng)會用公式求長方形、梯形、三角形面積。但對一些不規(guī)矩平面圖形的面積計算，需要尋求其他方法計算。

（ppt展示封閉的圖形及分塊，特別強調(diào)曲邊梯形。2分鐘）

（一）求曲邊梯形的面積（板書）

由xa,xb,y0與yfx0圍成平面圖形，求面積a=?（如圖）（ppt展示）

1.分析問題

（1）用小曲邊梯形的面積相加就是a；（ppt展示）

（2）用小矩形代替小曲邊梯形有誤差，但有計算表達(dá)式（ppt放大圖形）

（3）分的越細(xì)，其和精度越高（ppt）（4）最好是都很細(xì)，或最大的都很?。╬pt）

（ppt展示，4分鐘）

2.分割

（1）在a,b內(nèi)任意插入n1個分點：

ax0x1x2xi1xixnb

這樣，把a,b分成了n個小區(qū)間x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并記小區(qū)間的長度為xixixi1,i1,2,n（ppt演示，重點說明其目的是準(zhǔn)備用小矩形代替小曲邊梯形，以便提高精度。2分鐘）

（2）過每一個分點作平行于y軸的直線，這樣一來，大的曲邊梯形被分成n個小曲邊梯形ai（小范圍）。

3.近似代替

f(在第i個小曲邊梯形上任取i[xi-1,xi]，作以[xi,x

為底，i)為高的小矩形,1i]并用此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積

ai,得

aif(i)xixixixi1，i1,2,.,n

（ppt演示，重點說明乘積的量表示什么。2分鐘）

（1）求和

把n個小曲邊梯形相加，就得到大曲邊梯形面積的近似值

aaifixi（板書）

i1i1nn（ppt演示，重點說明，兩個量的區(qū)別，讓學(xué)生記住后一個表達(dá)式，這是將來應(yīng)用的核心部

分。3分鐘）

（2）取極限

當(dāng)分點的個數(shù)無限增加，且小區(qū)間長度的最大值，即趨近于零時，上述和式極限就是梯形面積的準(zhǔn)確值。

nn

alimai=limfixi即max{xi},（板書）001ini1i1

（ppt演示，重點說明三個符號構(gòu)成一個新的記號，重點。3分鐘）

（二）變速直線運動的路程（板書）

求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s。

n設(shè)某物體作直線運動，已知速度vv(t)是時間間隔t1，t2上t的連續(xù)函數(shù)，且v(t)0,s=limviti（板書）

0i1（ppt展示上述結(jié)論，與

（一）比較，只是將符號變更，另一方面乘積的量發(fā)生了變化。

3分鐘）

二、定積分的定義

定義：設(shè)函數(shù)fx在a,b上有定義，任意取分點

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n個小區(qū)間，xi-1，xi稱為子區(qū)間，其長度記為xixixi1,i1,2,n。在每個子區(qū)間xi-1，xi上，任取一點ixi-1，xi，得函數(shù)值fnf()x。i，作乘積

ii

f(i)xi。把所有的乘積加起來，得和式i1當(dāng)n無限增大，且子區(qū)間長度的最大長度趨近于零時，假如上述和式的極限存在，則稱fx在子區(qū)間a,b上可積，并將此極限值稱為函數(shù)fx在a,b上的定積分。記作：

fxdx

ab即

fx

（板書）fxdxlima0iii1bn

（ppt展示定義，重點說明：記號和等號，左邊是新的符號，右邊是其表達(dá)式，即假如可以建立右邊表達(dá)式，就立刻將其用左邊符號表示，換言之，看見左邊符號，立刻聯(lián)想到右邊的表達(dá)式。4分鐘）

（板書）fxdx，變速直線運動的路程可以表示為：s=vtdt（板書）曲邊梯形的面積可以表示為：aabt2t1定理

1設(shè)fx在a,b上連續(xù)，則fx在a,b上可積。

定理2設(shè)fx在a,b上有界，且只有有限個休止點，則fx在a,b上可積。

（ppt展示定理。解釋：只要滿足條件，lim0fx就可以與定積分符號劃等號。

iii1n2分鐘）

三、例題

利用定義計算定積分

10x2dx

（ppt展示全部計算過程及答案，說明幾何意義。特別強調(diào)，以后用牛-萊公式計算，即簡單又快捷，但要用到不定積分的知識，提醒學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的相關(guān)知識。下次課介紹牛-萊公式。2分鐘）

四、總結(jié)（板書）

（ppt展示定義-符號、定理，提醒復(fù)習(xí)不定積分，核心表達(dá)式板書。1分鐘）

五、作業(yè)（板書）

板書設(shè)計框架

第五章第一節(jié)定積分的概念

一、引例

（一）求曲邊梯形的面積

（二）變速直線運動的路程

二、定積分定義

fxfxdxlima0iii1bn

三、例題

10x2dx=

四、總結(jié)

五、習(xí)題與提醒

定積分的計算教案篇二

4.3.1定積分在幾何上的應(yīng)用

教材：

《高等數(shù)學(xué)》第一冊第四版，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室，2023第四章第三節(jié)定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的：

1.理解把握定積分的微元法；

2.會用微元法計算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點：定積分的微元法。

教學(xué)難點：

計算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長、旋轉(zhuǎn)曲面面積時的微元如何選取和理解。

教學(xué)時數(shù)：3學(xué)時

教學(xué)過程設(shè)計：通過大量例題來理解用微元法求定積分在幾何上的各種應(yīng)用。

部分例題：

(1)求平面圖形的面積

由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。

例如：求曲線fx2和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。

分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。

所以該曲邊梯形的面積為

f21x223137xdx

31333222(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積

(i)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a

ab(ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c

cd(iii)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)與直線x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求橢圓221所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋ab轉(zhuǎn)體的體積。

分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓b2yax2(axa)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓ax2y21所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓xa2by2,(byb)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓221所圍成的圖形繞

aby軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲線的弧長

(i)、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程

{x(t)(t)

y(t)給出其中'(t),'(t)在[,]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s'['(t)2][t(2d)。]x()(ⅲ)設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為rr()()，其中r'()在[,]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為sr2()[r()]2d()。

x21例如：求曲線ylnx從x=l到x=e之間一段曲線的弧長。

42解：yx122x，于是弧長微元為

ds1y2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧長為：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2224

定積分的計算教案篇三

高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

第六章

定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的

1、理解元素法的基本思想；

2、把握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。

3、把握用定積分表達(dá)和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點：

1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。

2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點：

1、截面面積為已知的立體體積。

2、引力。

高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

§6.1定積分的元素法

回憶曲邊梯形的面積

設(shè)yf(x)0(x[ab])假如說積分

aaf(x)dx

b是以[ab]為底的曲邊梯形的面積則積分上限函數(shù)

a(x)af(t)dt

x就是以[ax]為底的曲邊梯形的面積而微分da(x)f(x)dx表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值af(x)dxf(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素

以[ab]為底的曲邊梯形的面積a就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式以[ab]為積分區(qū)間的定積分

aaf(x)dx

b

一般狀況下為求某一量u先將此量分布在某一區(qū)間[ab]上分布在[ax]上的量用函數(shù)u(x)表示再求這一量的元素du(x)設(shè)du(x)u(x)dx然后以u(x)dx為被積表達(dá)式以[ab]為積分區(qū)間求定積分即得

uaf(x)dx

b

用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)

高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

§62定積分在幾何上的應(yīng)用

一、平面圖形的面積

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成則面積元素為[f上(x)f下(x)]dx于是平面圖形的面積為

sa[f上(x)f下(x)]dx

類似地由左右兩條曲線x左(y)與x右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成設(shè)平面圖形的面積為

sc[右(y)左(y)]dy

例1計算拋物線y2x、yx2所圍成的圖形的面積

解(1)畫圖

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[01](3)確定上下曲線f上(x)x,f下(x)x2

(4)計算積分s0(xx)dx[2213]10333213db

例2計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積

解(1)畫圖

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[24](3)確定左右曲線左(y)1y2,右(y)y4

2(4)計算積分

418

s2(y41y2)dy[1y24y1y3]42622例3求橢圓x2a2y21所圍成的圖形的面積

2b解設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0a]由于面積元素為ydx

所以高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

s40ydxa橢圓的參數(shù)方程為:xacostybsint

于是

s40ydx4bsitdn(acots)

2a02ab02(1co2st)dt2abab

4absi2ntdt022

2．極坐標(biāo)情形

曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素

由曲線()及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積元素為

ds1[()]2d

2曲邊扇形的面積為

s1[()]2d

2例4.計算阿基米德螺線a(a0)上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積

24a23

解:s01(a)2d1a2[13]023322

例5.計算心形線a(1cos)(a0)所圍成的圖形的面積

解:s201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232n1si2n]

a2[32si0a

242

二、體積

1．旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

常見的旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺、球體

旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體

設(shè)過區(qū)間[ab]內(nèi)點x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為v(x)當(dāng)平面左右平移dx后體積的增量近似為v[f(x)]2dx

于是體積元素為

dv[f(x)]2dx

旋轉(zhuǎn)體的體積為

va[f(x)]2dx

例1連接坐標(biāo)原點o及點p(hr)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體計算這圓錐體的體積

解:直角三角形斜邊的直線方程為yrx

hb

所求圓錐體的體積為

2hh1hr2

v0(rx)2dxr2[13]0h33h2y2x例2計算由橢圓221所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)ab的體積

解:這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓

yba2x2

a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積元素為

dvy2dx

于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

22a2vab2(a2x2)dxb2[a2x13]aaab

33aa

例3計算由擺線xa(tsint)ya(1cost)的一拱直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

解

所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

0y2dx0a2(1cots)2a(1cots)dt

a30(13cots3co2stco3st)dt

52a3

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)則

22(y)dy0x1(y)dy

vy0x22a2a22a2t)2asintdt0a2(tsint)2asintdt

2a2(tsin

a30(tsint)2sintdt63a3

2．平行截面面積為已知的立體的體積

設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[ab]過點x且垂直于x軸的平面與立體相截截面面積為a(x)則體積元素為a(x)dx立體的體積為

vaa(x)dx

例4一平面經(jīng)過半徑為r的圓柱體的底圓中心并與底面交成角計算這平面截圓柱所得立體的體積

解取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸那么底圓的方程為x2y2r2立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形兩個直角邊分別為r2x2及r2x2tan因而截面積為

a(x)1(r2x2)tan于是所求的立體體積為

2r2r3tan[r2x13]

vr1(r2x2)tandx1tanr2233rb2

例5求以半徑為r的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積

解:取底圓所在的平面為xoy平面圓心為原點并使x軸與正劈錐的頂平行底圓的方程為x2y2r2過x軸上的點x(r

§6定積分的應(yīng)用

體得等腰三角形這截面的面積為

a(x)hyhr2x2

于是所求正劈錐體的體積為

vrhrxdx2rh02cos2d1r2h

2r222

三、平面曲線的弧長

設(shè)ab是曲線弧上的兩個端點在弧ab上任取分點am0m1m2mi1mimn1mnb并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小段mi1mi都縮向一點時假如此折線的長|mi1mi|的極限存在則稱此極限為

i1n曲線弧ab的弧長并稱此曲線弧ab是可求長的

定理

光滑曲線弧是可求長的

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程

yf(x)(axb)給出其中f(x)在區(qū)間[ab]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度

取橫坐標(biāo)x為積分變量它的變化區(qū)間為[ab]曲線yf(x)上相應(yīng)于[ab]上任一小區(qū)間[xxdx]的一段弧的長度可以用該曲線在點(xf(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替而切線上這相應(yīng)的小段的長度為

(dx)2(dy)21y2dx

從而得弧長元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx為被積表達(dá)式在閉區(qū)間[ab]上作定積分便得所求的弧長為

sa1y2dx

b

在曲率一節(jié)中我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為ds1y2dx這也就是弧長元素因此高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

例1計算曲線y22上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度

3解yx2從而弧長元素

ds1y2dx1xdx13因此所求弧長為

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]

3333

3例2計算懸鏈線ycchx上介于xb與xb之間一段弧的長度

c

解yshx從而弧長元素為

cds1sh2xdxchxdx

cc因此所求弧長為

bbb

sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2．參數(shù)方程情形

設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出其中(t)、(t)在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

由于dy(t)dx(t)dt所以弧長元素為dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧長為

s2(t)2(t)dt

例3計算擺線xa(sin)ya(1cos)的一拱(02)的長度

解弧長元素為

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind

2所求弧長為高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

28a

s02asind2a[2cos]0222

3．極坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程

()()給出其中r()在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得

x()cos

y()sin()于是得弧長元素為

dsx2()y2()d2()2()d

從而所求弧長為

s2()2()d

例14

求阿基米德螺線a(a0)相應(yīng)于從0到2一段的弧長

解

弧長元素為

dsa22a2da12d

于是所求弧長為

2s0a12da[2142ln(2142)]高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

§6.3功

水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

例1把一個帶q電量的點電荷放在r軸上坐標(biāo)原點o處它產(chǎn)生一個電場這個電場對周邊的電荷有作用力由物理學(xué)知道假如有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點o為r的地方那么電場對它的作用力的大小為

fkq(k是常數(shù))

r2當(dāng)這個單位正電荷在電場中從ra處沿r軸移動到rb(a

例1

電量為+q的點電荷位于r軸的坐標(biāo)原點o處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(a

提醒:由物理學(xué)知道在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為fkq(k是常數(shù))r

2解:在r軸上當(dāng)單位正電荷從r移動到r+dr時

電場力對它所作的功近似為k即功元素為dwk于是所求的功為

wabkq2qdr

r2qdr

r211drkq[1]bakq()

rabr

例2

在底面積為s的圓柱形容器中盛有一定量的氣體在等溫條件下由于氣體的膨脹把容器中的一個活塞(面積為s)從點a處推移到點b處計算在移動過程中氣體壓力所作的功

解取坐標(biāo)系如圖活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示由物理學(xué)知道一定量的氣體在等溫條件下壓強p與體積v的乘積是常數(shù)k即

pvk或pk

v

解:在點x處由于vxs所以作在活塞上的力為高等數(shù)學(xué)教案

§6定積分的應(yīng)用

fpsksk

xsx當(dāng)活塞從x移動到xdx時變力所作的功近似為kdx

x即功元素為dwkdx

x于是所求的功為

bbwakdxk[lnx]bakln

xa

例3一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3m桶內(nèi)盛滿了水試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？

解作x軸如圖取深度x為積分變量它的變化區(qū)間為[05]相應(yīng)于[05]上任小區(qū)間[xxdx]的一薄層水的高度為dx水的比重為98kn/m3因此如x的單位為m這薄層水的重力為9832dx這薄層水吸出桶外需作的功近似地為

dw882xdx

此即功元素于是所求的功為

225(kj)

xw088.2xdx88.2[]5088.222

5二、水壓力

從物理學(xué)知道在水深為h處的壓強為ph這里是水的比重假如有一面積為a的平板水平地放置在水深為h處那么平板一側(cè)所受的水壓力為

ppa

假如這個平板鉛直放置在水中那么由于水深不同的點處壓強p不相等所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算

例4一個橫放著的圓柱形水桶桶內(nèi)盛有半桶水